SECTION XII.

Des Courbes méchaniques, ou transcendentes, de leur description, & des Problémes qu'on peut construire par leur moyen.

XXVI.

T

OUTES les Courbes geométriques rentrent en elles-mêmes, ou s'étendent à l'infini; de maniere que leurs axes, ou leurs coordonnées les rencontrent en un nombre déterminé de points, ce qui fait que les lettres indéterminées des équations qui en expriment la nature, ou, ce qui est la même chose, qui expriment la relation que leurs coordonnées ont entr'elles ont un nombre déterminé de dimensions, & qu'on peut par conféquent trouver tous les points de ces Courbes geométriquement, c'est-à-dire, par l'interfection de deux lignes geométriques droites, ou courbes.

Toutes les Courbes méchaniques rentrent aussi en ellesmêmes, ou s'étendent à l'infini: mais on ne peut point trouver d'équations qui expriment geométriquement la relation de leurs coordonnées : car il y a des Courbes mechaniques dont une des coordonnées est une ligne droite, & l'autre une ligne courbe dont la rectification est geométriquement impossible. Il y en a d'autres dont les coordonnées sont deux lignes courbes; d'autres dont les appliquées partent toutes d'un même point, & d'autres qui font figurées de maniere que leurs axes les rencontrent en une infinité de points; d'où il suit qu'afin qu'une équation en pût exprimer la nature; il faudroit qu'au moins une de ses inconnues eût une infinité de dimenfions, ce qui est impossible ; & c'est pour cela que ces Courbes font aussi nommées transcendentes.

Il suit de tout ceci que l'on ne peut geométriquement trouver tous les points des Courbes méchaniques, puifque leurs équations n'en expriment que méchaniquement la nature.

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Il y a même des Courbes méchaniques dont on ne con noît que certaines proprietez, d'où l'on ne peut tirer d'équations en termes finis. Il faut alors avoir recours à l'infini, en regardant les Courbes comme des Polygones d'une infinité de côtez, & en comparant les côtez d'un triangle infiniment petit, formé par une petite portion de la Courbe comprise entre deux appliquées infiniment proches, par la difference de ces deux appliquées ; & par la distance de l'une à l'autre, & que l'on regarde comme un triangle rectiligne, aux côtez d'un grand triangle formé par la tangente, ou la perpendiculaire, par l'appliquée, & par la foûtangente, ou par la foûperpendiculaire, & les équations que l'on tire de la comparaison des côtez de ces deux triangles, font nommées équations différentielles; parce que les côtez du petit triangle font les différences de la Courbe, des deux appliquées infiniment proches, & des deux abscisses qui correfpondent à ces deux appliquées.

On n'entreprend point ici de donner une Theorie complete des Courbes méchaniques; mais plutôt une simple explication de celles qui se rencontrent le plus ordinairement dans les Ouvrages des Geometres, & particulierement dans l'excellent Livre de l'Analyse des İnfiniment Petits de feu Monsieur le Marquis de l'Hôpital, où il suppose que fon Lecteur connoisse toutes les Courbes dont il explique les plus belles proprietez.

FIG. 113. 1.

1.SOIT un cercle ABP, dont le centre eft C, & un rayon CA. Si l'on conçoit que le rayon CA faffe un tour entier autour de fon extrêmité immobile C, de maniere que le point A fe meuve uniformement sur la circonférence de A par B en A, pendant qu'un point mobile parcourera aussi d'un mouvement uniforme, le rayon CA allant de C en A; ce point décrira par la compofition de ces deux mouvemens, une Courbe CDMA, qui aura cette proprieté dans toutes les situations de AC, par exemple en celle de CP, que la circonference entiere ABA sera à sa partie ABP: comme CA ou CP à CM, ou (ayant nommé CA, a; ABA, c; ABP, x ; CM, y;) c. x :: a. y, d'où l'on tire ax = cy.

Si l'on suppose que le rayon CA fasse encore un, ou plusieurs tours le point décrivant parcourera pendant chaque tour, sur CA prolongée, des parties comme AE égales à CA, & la courbe fera autant de tours autour d'elle-même, que CA en aura fait ; & comme on peut supposer que le rayon CA fasse une infinité de tours; il fuit que la Courbe peut le rencontrer en une infinité de points; & que par conféquent elle est méchanique, ou tranfcendente.

Archimede Auteur de cette Courbe l'a nommée Spirale. Pour la décrire, ayant divisé la circonférence ABA, & le demi diametre CA en un nombre égal de parties égales, & mené CP à quelqu'une des divisions, on portera de Cen M autant de parties de CA, que ABP en contient, ou de Pen M, autant de parties de CA que AFP en contient; & de l'une ou de l'autre maniere le point M sera à la Courbe CDM: car l'on aura toujours ABA.ABP :: CA. CM, ou ABA.AFP :: CA.PM.

On décrira de même le 2e tour, en portant sur le prolongement de CP autant de parties de CA que ABP en contient, & ainsi des autres, en décrivant pour chaque tour un cercle dont le rayon soit double, triple, &c. du rayon CA.

Si l'on suppose que le rayon CA, & le point décrivant,..." se meuvent avec des vitesses qui foient en telle raifon qu'on voudra, c'est-à-dire, que ces viteffses soient telles que l'on ait toujours ABATM. ABPTM :: CA. CP, ou c xTM :: a". y", d'où l'on tirera axcy", qui est une équation pour toutes les Spirales à l'infini.

m

Ce seroit la même chose si le rayon AC tournoit au tour du point d'un sens contraire, de A par F vers P, pendant que le point mobile descendroit de A vers C, en supposant les vitesses telles qu'on les vient de supposer:

:

L

car nommant AFP, x; & PM, y; l'on auroit encore c. xm : : a" . y", ou a x=cy", qui est l'équation pré

cédente.

11

Si m & n fignifient des nombres positifs, les spirales feront nommées paraboliques ; & fi l'une des deux fignifie un nombre négatif, elles seront nommées hyperboliques; parceque fi c & x exprimoient des lignes droites aussi-bien que a & y, ces équations appartiendroient à la Parabole dans le premier cas, à l'Hyperbole dans le second. Par exemple, si m = 1, & n= 2, l'on aura aax = cyy. Si m = 1, &n=-1, l'on aura xy = ac. Si m =2, & n = 1, l'on aura xxy =acc, = acc &c. L'on décrira ces Courbes comme si elles étoient geométriques, en supposant la quadrature du cercle..

FIG. 114. 2. SOIT un quart du cercle ADB, dont le centre est C, & les rayons CA & CB. Si l'on conçoit que le rayon CA se meuve uniformement autour du centre C, jusqu'à ce qu'il arrive en CB, & que pendant ce temps-là une perpendiculaire PM au rayon CA, partant du point A, parcourre aussi uniformement le rayon AC, en demeurant parallele à CB; l'intersection M du rayon CA qui devient CD, & de la perpendiculaire. PM, décrira une courbe AME, qui sera telle que ADB. AD :: AC. AP. Dioclés, fon Auteur, l'a nommée Quadratrice.

FIG. 115. 3. Si le rayon AC au lieu de se mouvoir autour du centre C, fe mouvoit parallele à lui-même, de forte qu'étant parvenu dans une situation quelconque DF, l'on ait toujours ADB. AD :: AC . AP ; l'interfection M de la parallele DF avec la perpendiculaire PM, décriroit la Courbe AMB, que Monsicur Tchirnbaufen a aussi nommée Quadratrice.

FIG. 114.

Si l'on nomme AC, a; ADB, c; AD, x ; AP, y; l'on 115. aura c.x::ays donc axcy, pour l'équation commune à ces deux courbes..

1.

PROPOSITION

4.SOLENT deux cercles AFB, ALI égaux ou inégaux, Fic. 116.

qui se touchent en A, dont les centres foient C & H, &

les rayons CA, ou CB & HA : soit de plus un point fixe D, pris fur le rayon CB prolongé, ou non prolongé.

Si l'on fuppofe présentement que le cercle AFB roule fur le cercle ALI, jusqu'à ce que le point B soit parvenu en T, le point D décrira par ce mouvement une portion de Courbe DMS, que l'on appelle demi Epicycloïde, ou demi Roulette.

Pour trouver une équation qui renferme quelque proprieté de cette courbe, fuppofons que le demi cercle mobile AFB, foit parvenu en roulant dans la situation KLP dont le centre soit 0, le point D fera alors en M, qui est un des points de la courbe, & le point B sera en P. Ayant décrit du centre C par D le demi cercle DGE, du centre H par M l'arc MG, qui rencontrera la demi circonférence DGE en G, l'on menera du centre H du cercle immobile ALI, les droites HM, qui coupera en I le cercle ALI, HLO qui passera par le point touchant L, & HG qui coupera l'arc ALI en R, & du centre C du demi cercle mobile AFB, la droite CG qui coupera AFB en F.

Il est clair que les triangles HCG, HOM font égaux, & équiangles : car HC=H0, HG=HM, & CG = OM: c'est pourquoi les angles CHG,0HM feront égaux, & partant l'arc RI=l'arc AL=(Hyp.) l'arc LK =(à cause de l'angle HOM=HCG) l'arc FB.

Nommant donc les données CB, ou CF, ou LO, &c. a; BD, ou MP, ou AE,b; HA, ou HI, &c, c; l'arc DG, x; l'arc MG, y; & l'appliquée HM, z; CD fera, a+b; & les secteurs semblables CDG, CBF, donneront

CD(a+b).CB (a) :: DG (x). BF =

ax

n+b

= RI

& à caufe des secteurs semblables HMG, HIR, l'on a

Hh