SECTION XII. Des Courbes méchaniques , ou transcendentes , de leur description, et des Problèmes qu'on peut construire par

leur

moyen. XXVI. Outes les Courbes geométriques ren

trent en elles mêmes, ou s'étendent à l'infini ; de maniere que leurs axes, ou leurs coordonnées les rencontrent en un nombre déterminé de points , ce qui fait que les lettres indéterminées des équations qui en expriment la nature , ou, ce qui est la même chose, qui expriment la relation que leurs coordonnées ont entr'elles, ont un nombre déterminé de dimensions, & qu'on peut par conséquent trouver tous les points de ces Courbes geométriquement, c'est-à-dire , par l'intersection de deux lignes geométriques droites, ou courbes

. Toutes les courbes méchaniques rentrent aussi en ellesmêmes, ou s'étendent à l'infini : mais on ne peut point trouver d'équations qui expriment geométriquement la relation de leurs coordonnées : car il y a des Courbes méchaniques dont une des coordonnées est une ligne droite , & l'autre une ligne courbe dont la rectification est geométriquement impossible. Il y en a d'autres done les coordonnées sont deux lignes courbes ; d'autres dont les appliquées partent toutes d'un même point, & d'au. tres qui sont figurées de maniere que leurs axes les rencontrent en une infinité de points ; d'où il suit qu'afin qu'une équation en pût exprimer la nature ; il faudroit qu'au moins une de ses inconnues eût une infinité de dimentions , ce qui est impossible ; & c'est pour cela que ces Courbes sont aussi nommées transcendentes. · Il suit de tout ceci que l'on ne peut geométriquement trouver tous les points des Courbes méchaniques, puisque leurs équations n'en expriment que méchaniquement la nature.

Gg iij

Il y a même des Courbes méchaniques dont on ne connoît que certaines proprierez , d'où l'on ne peut tirer d'équations en termes finis. Il faut alors avoir recours à l'infini , en regardant les Courbes comme des Polygones d'une infinité de côtez , & en comparant les côtez d'un triangle infiniment petit , formé par une petite portion de la Courbe comprise entre deux appliquées infiniment proches , par la difference de ces deux appliquées ; & par la distance de l'une à l'autre, & que l'on regarde comme un triangle rectiligne , aux côtez d'un grand triangle formé

par la tangente , ou la perpendiculaire , par l'ap-
pliquée , & par la soûtangente , ou par la foûperpendi.

,
culaire, & les équations que l'on tire de la comparaison
des côtez de ces deux triangles , sont nommées équations
différentielles ; parce que les côtez du petit triangle font
les différences de la Courbe , des deux appliquees infini-
ment proches, & des deux abscisses qui correfpondent à
ces deux appliquées.

On n'entreprend point ici de donner une Theorie com-
plete des Courbes mechaniques ; mais plutôt une simple
explication de celles qui se rencontrent le plus ordinai-
rement dans les Ouvrages des Geometres , & particulie-
rement dans l'excellent Livre de l’Analyse des Infiniment
Petits de feu Monsieur le Marquis de l'Hôpital , où il sup-
pofe que fon Lecteur connoisse toutes les courbes dont il
explique les plus belles proprietez.

PROPOS I TI O N. I.
Soit un cercle ABP, dont le centre est C,& un
rayon CA. Si l'on conçoit que le rayon C A fasse un tour
entier autour de fon extrêmité immobile C, de maniere
que le point A fe meuve uniformement sur la circonfé.
rence de A par B en A, pendant qu'un point mobile
parcourera aussi d'un mouvement uniforme, le rayon CA
allant de C en A ; ce point décrira par la composition de
ces deux mouvemens., une Courbe CDMA, qui aura.
cette proprieré dans toutes les situations de AC, par

Fig.113.

1

exemple en celle de CP , que la circonference entiere
ABĀ sera à la partie ABP: comme CA ou CP à CM,
ou (ayant nommé CA, a; ABA, C; ABP, *; CM, y ;)
6.x :: a.y,

d'où l'on cire ax = =cy.
Si l'on suppose que le rayon CA fasse encore un, ou
plusieurs tours , le point décrivant parcourera pendant
chaque tour, sur CÀ prolongée, des parties comme AE
égales à CA, & la courbe fera autant de tours autour
d'elle-même , que CA en aura fait ; & comme on peut
supposer que le rayon CA fasse une infinité de tours ; il
suit que la Courbe peut le rencontrer en une infinité de
points ; & que par conséquent elle est méchanique , ou
transcendente.

Archimede Auteur de cette Courbe l'a nommée Spirale.

Pour la décrire, ayant divisé la circonférence ABA, & le demi diametre CA en un nombre égal de parties égales , & mené CP à quelqu'une des divisions, on portera de C en M autant de parties de CA, que ABP en contient , ou de P en M , autant de parties de CA que AFP en contient ; & de l’une ou de l'autre maniere le point M sera à la Courbe CDM : car l'on aura toujours ABA. ABP :: CA.CM, ou ABA. AFP :: CA. PM. On décrira de même le 2e tour, en portant sur le

pro-
longement de CP autant de parties de CA que ABP en
contient , & ainsi des autres , en décrivant pour chaque
tour un cercle dont le rayon soit double , triple, &c. du

Śi l'on suppose que le rayon CA, & le point décrivant,
se meuvent avec des vitesses qui soient en telle raison
qu'on voudra , c'est-à-dire, que ces vitesses soient telles
que l'on ait toujours ABĀ”. ABP:: CA". CP, ou c.
*" :: a". ", d'où l'on tirera do xi" =
x

"y", qui est une
équation pour toutes les Spirales à l'infini.

Ce seroit la même chose si le rayon AC tournoit autour du point c d'un sens contraire, de A par F vers P, pendant que le point mobile descendroit de A vers C; en supposant les vitesses telles qu'on les vient de supposer :

rayon CA.

m

6

m

m

m

n

m

n

car nommant AFP, *; & PM,y;

x ,

l'on auroit encore ".x"::a".g", ou a" x"="y", qui est l'équation pré

c cédente.

Si m & n signifient des nombres positifs , les spirales seront nommées paraboliques ; & fi l'une des deux 'fignifie

& un nombre négatif, elles seront nommées hyperboliques ; parceque fic&

x exprimoient des lignes droites auffi-bien a & y, ces équations appartiendroient à la Parabole dans le premier cas, à l'Hyperbole dans le second. Par exemple, si m=I, &n=2, l'on aura aax = cyy. Si m =1, &n=-1, l'on aura xy=ac. Si m=2, I ,l'on aura xxy = acc ,

&c. L'on décrira ces Courbes comme si elles étoient geométriques, en supposant la quadrature du cercle..

que a &

&n=

PROPOSITION II. Fig. 114. 2.

Soit un quart du cercle ADB , dont le centre est

T C, & les rayons CA & CB. Si l'on conçoit que le rayon CA se meuve uniformement autour du centre C, jusqu'à ce qu'il arrive en CB , & que pendant ce temps-là une perpendiculaire PM au rayon CA, partant du point A, parcourre aussi uniformement le rayon AC, en demeurant parallele à CB ; l'intersection M du rayon CA qui devient CD, & de la perpendiculaire. PM , décrira une courbe AME, qui sera telle que ADB. AD:: AC. AP. Dioclés , son Auteur, l'a nommée Quadratrice.

3. Si le rayon AC au lieu de se mouvoir autour du centre C, se 'mouvoit parallele à lui-même, de forte qu'étant parvenu dans une situation quelconque DF, l'on ait toujours' ADB". AD :: AC. AP ; l'intersection

:. M de la parallele DF avec la perpendiculaire PM; décriroit la Courbe AMB, que Monsicur T chirnhausen a aussi nommée Quadratrice. Si l'on nomme AC, a; ADB,C; AD, * ; AP, Y;

l'on 115. aura c.x::a.y; donc'ax=wy, pour l'équation commune à ces deux courbes..

PROPOSITION

FIG. 11S.

Fig. 114. c

PROPOSITION III. 4. Soient deux cercles AFB, ALI égaux ou inégaux, F1c. 116. qui se touchent en A, dont les centres soient C & H, & les rayons CA, Ou CB & HA: soit de plus un point fixe D,

, pris sur le rayon CB prolongé, ou non prolongé.

Si l'on suppofe présentement que le cercle AFB roule fur le cercle ALI, jusqu'à ce que le point B soit parvenu en T , le point D décrira par ce mouvement une portion de Courbe DMS, que l'on appelle demi Epicycloide , ou demi Roulette.

Pour trouver une équation qui renferme quelque pro-
priere de cette courbe , fuppofons que le demi cercle mo.
bile AFB, soit parvenu en roulant dans la situation KLP
dont le centre soit 0, le point D sera alors en M , qui
est un des points de la courbe , & le point B sera en P.
Ayant décrit du centre C par D le demi cercle DGE, du
centre H par M l'arc MG , qui rencontrera la demi cir-

H
conférence DGE en G, l'on menera du centre H du cer-
cle immobile ALI, les droites HM, qui coupera en I
le cercle ALI , HLO qui passera par le point touchant

,
1, & HG qui coupera l'arc ALI en R, & du centre C
du demi cerele mobile AFB, la droite CG qui coupera
AFB en F.

Il est clair que les triangles HCG, HOM font égaux ,
& équiangles : car HC= HO, HG=HM , & CG=
OM :c'est pourquoi les angles CHG,OHM seront égaux,
& & partant l'arc RI=l'arc AL=(Hyp.).l’arc LK=( à

( 2 cause de l'angle HOM=HCG ) l’arc FB.

Nommant donc les données CB , ou CF, ou LO, exc. a; BD, ou MP, ou AE,b; HA, OU HI, &,c; l'arc

l'arc MG,y; & l'appliquée HM, 2; CD sera', a+b; & les secteurs semblables CDG , CBF,

,

donneront CD (a+b). CB (a) :: DG (*). BF = - RI;

ntb & à cause des secteurs semblables HMG , HIR,

Hh

DG , *;

ax

l'on a