ax

z(HM).c(HI) ::y(HG). (IR), d'où l'on tire

a+b

5.IL est clair que lorsque le point B, ou P touchera le cercle ALI en un point, larc ALT sera égal à la demi circonférence AFB, & le point décrivant Dou M sera sur le rayon HT en S, de forte que STBD.

COROLLAIRE I I.

6. SI le point décrivant D étoit entre C & B, le cercle DGE seroit intérieur au cercle AFB, & lorsque le point B, ou P seroit parvenu en T, le point décrivant D, ou M, ou, ce qui est la même chose, le point S de la Courbe feroit sur le rayon HT prolongé au-delà de T de la longueur de BD, & l'équation précedente deviendroit acy-bcy=axz: car BD=6 deviendroit négative de positive qu'on l'a supposée.

COROLLAIRE ΙΙΙ.

7.SI le point Détoit en B, ou ce qui est la même cho se, si B devenoit le point décrivant, le cercle DGE se confondroit avec le cercle AFB, & le point S de la Courbe tomberoit en T, ou le point B toucheroit le cercle ALI; & en ce cas DB=b devenant nulle, ou o, l'équation deviendroit cy = xz.

COROLLAIRE. IV.

8.SI l'on suppose que le point H s'éloigne infiniment de A dans la ligne AB, le cercle ALI deviendra une ligne droite perpendiculaire sur AB au point A; l'arc GM, une autre droite parallele à ALI; & les rayons AH & MH, deviendront infinis, & par conféquent paralleles & égaux ; c'est pourquoi sera égale à z, & l'équation précedente (no. 4.) se changera en celle-ci ay+by=ax, en la divisant par les quantitez égales c & x, & faisant de nouveau les mêmes raisonnemens que l'on vient de faire dans les trois premiers Corollaires, l'équation du fecond deviendra ay-by=ax; celle du troisiême deviendra y = x.

La Courbe DMS, est en ce cas nommée, demi Cycloïde ou demi Roulette à Bafe droite.

COROLLAIRE V.

9. SI le cercle AFB au lieu de rouler, glissoit sur la ligne AL droite, ou circulaire, en forte que le point touchant A parcourût d'un mouvement uniforme la ligne ALT=AFB, pendant que le point décrivant D parcoureroit aussi d'un mouvement uniforme la demi circonférence DGE>, <, ou=AFB, & en lui demeurant concentrique; il est clair que la demi roulette décrite par ces mouvemens, seroit la même que si le cercle AF rouloit sur la ligne ALT.

COROLLAIRE V I.

10. MAIS fi le point décrivant D employe plus de temps à parcourir uniformement la demi circonférence DGE, que le point touchant A n'en employe à parcourir aufli uniformement ALT = AFB la demi roulette

fera nommée Alongée.

Si au contraire le point D employe moins de temps à parcourir DGE, que le point A n'en employe à parcourir ALT=AFB ; la demi roulette sera nommée Accourcie.

COROLLAIRE VII.

11.SI le point touchant A, & le point décrivant D se mouvoient avec des vitesses qui fussent telles que les puiffances m des parties parcourues par le point A fur AL, & les puissances n des parties parcourues dans des temps égaux par le point D sur la demi circonférence DEG > ,

<, ou=AFB, gardassent entr'elles un raport constant, l'on pourroit avoir par ces mouvemens non seulement toutes les roulettes dont on vient de parler: mais encore, une infinité d'autres de différens genres.

REMARQUE.

12. LES Roulettes & bases droites, font toutes méchaniques : car une ligne droite se pouvant étendre à l'infini, le cercle mobile AFB, pourra faire une infinité de tours, ou glisser sur cette ligne infinie AL pendant que le point décrivant D, parcourera une infinité de fois la circonférence du cercle concentrique DGE: mais la roulette décrite par le point D rencontrera à chaque tour, ou la ligne AL, ou une autre, qui lui fera parallele; c'est pourquoi la ligne AL prolongée à l'infini, ou sa parallele, rencontrera en une infinité de points la Roulette DMS qui sera par conséquent méchanique.

Mais les Roulettes à bases circulaires, ne sont pas de même : car lorsque les diametres du cercle immobile ALT, & du mobile ABF feront entreux, comme nombre à nombre, leurs circonférences feront aussi comme nombre à nombre ; c'est pourquoi le point décrivant D, retombera au même point S après une ou plusieurs révolutions, & fi le cercle mobile continue de rouler, ou de glisser après ce tour au points, le point Drecommencera à décrire la même Roulette & partant un rayon HM tiré du centre H, la rencontrera en un certain nombre déterminé de points; alors la Roulette sera geométrique, & l'on pourra trouver une équation qui servira à en déterminer tous les points geométriquement, comme on pourra voir dans un livre que Monsicur Nicole va donner au public fur toutes les espèces de Roulettes, où il en expliquera très-sçavament toutes les propriétez.

Mais lorsque les diametres du cercle mobile, & du cercle immobile feront incommenfurables, le point décrivant ne retombera jamais dans un même point ; & en

faisant une infinité de tours autour du cercle immobile, il décrira une infinité de Roulettes qui ne feront neanmoins qu'une même Courbe ; & partant un rayon tiré du centre du cercle immobile rencontrera cette Courbe en une infinité de points, & elle fera par conféquent méchanique.

PROPOSITION IV.

A

PROBLEME.

13. IZ L faut décrire la courbe BM dont l'axe 'axe eft AP, une appliquée PM, & dont une des proprietezest que la soûtangente PT eft toujours égale à une ligne donnée KL.

Ayant supposé le Problême résolu, & mené l'appli- FIG.117. quée pm infiniment proche de PM; la ligne MmT, menée par les points M, m infiniment proches, fera une tangente: car la courbe BM, étant regardée comme un polygone d'une infinité de côtez, Mm fera un de ces côtez. Or il est clair que si la courbe BM est toujours convexe d'un même côté, le petit côté Mm étant prolongé, ne la coupera point, & le prolongement MT sera par conséquent une tangente.

Ayant mené mr parallele à AP, RM sera la différence des deux appliquées infiniment proches PM & pm; c'est pourquoi on lui donnera le même nom quà PM, précédé de la lettre d, qui signifiera différence, & l'on n'employera point dans la suite la lettre d à d'autres usages. Ainfi nommant l'appliquée PM, y; RM sera dy, c'est-à-dire, différence de y; de forte que la lettre d ne fait que caratérisery, & n'est l'expreffion d'aucune quantité : mais parce qu'il n'y a aucun point fixe sur AP, pour pouvoir nommer l'intervalle qui se trouveroit entre ce point fixe, & le point IP par une autre inconnue ,x; on se conten. tera de nommer Pp, ou Rm, dx; on nommera aussi la donnée KL, ou (Hyp.) PT, a: or le petit triangle MRm étant regardé comme rectiligne à cause de l'infinie peti

:

tesse du petit côté Mm, sera semblable au triangle MPT c'est pourquoi l'on aura dy (MR).dx (Rm) :: y (MP).a (PT) d'où l'on tire ydx=ady, qui est une équation différentielle.

14. Pour construire les courbes qui ont de telles équations, il faut 1°. Que l'une des différences avec fon inconnue, fi elle s'y rencontre soit dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, & que les deux différences foient dans le numérateur, si l'équation eft fractionnaire ; felon cette régle l'équation précédente de

ady

vient dx = -.

20. Qu'en multipliant ou divisant l'équation, s'il est nécessaire, par une quantité conftante, chaque membre foit un plan dont chaque différence soit un côté. Ainfi

l'équation dx = ady deviendra adx

(

y

chaque membre par a.

=

aady

y

2

en multipliant

39. On égalera chaque membre à une nouvelle inconnue, après l'avoir divisé par la différence qu'il renferme, & l'on aura par ce moyen deux équations à deux courbes geométriques, ou une équation à la ligne droite & l'autre à une courbe. Ainfi de l'équation précédente, on tire a = z, qui est une équation à la ligne droite, & -=f, ou aa=yf, qui est une équation à l'Hyperbole

aa

y

par raport à ses asymptotes.

FIG. 118. 4°. Ayant mené deux lignes DQ, FP qui se coupent à angles droits en A; on supposera que les quatre inconnues qui se trouvent dans l'equation différentielle, & dans les deux équations que l'on en a tirées, ont leur origine commune au point d'interfection A, de maniere que les deux inconnues de chaque équation se trouvent sur les deux lignes qui forment un même angle droit, c'est-à-dire que si l'on nomme AP, x ; & AQ, y ; qui font les deux inconnues de l'équation différentielle précédente, il fau