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ax

(HM).c(HI) ::y (HG). (IR), d'où l'on tire

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a+b

ou acy+bey = axz:

COROLLAIRE I.

5.IL eft clair que lorsque le point B, ou P touchera le cercle ALI en un point 7, larc ALT sera égal à la demi circonférence AFB, & le point décrivant D ou M fera fur le rayon HT en S, de forte que ST=BD.

COROLLAIRE I I.

6. SI le point décrivant D étoit entre C & B, le cercle DGE feroit intérieur au cercle AFB, & lorfque le point B, ou P feroit parvenu en T, le point décrivant D, ou M, ou, ce qui eft la même chofe, le point S de la Courbe feroit fur le rayon HT prolongé au-delà de 7 de la longueur de BD, & l'équation précedente deviendroit acy - bcy axz: car BD6 deviendroit négative de pofitive qu'on l'a fuppofée.

COROLLAIRE III.

7.SI le point Détoit en B, ou ce qui eft la même chofe, fi B devenoit le point décrivant, le cercle DGE se confondroit avec le cercle AFB, & le point S de la Courbe tomberoit en 7, ou le point B toucheroit le cercle ALI; & en ce cas DBb devenant nulle, ou — o, l'équation deviendroit cy=xz.

COROLLAIRE. IV.

8.SI l'on fuppofe que le point H s'éloigne infiniment de A dans la ligne AB, le cercle ALI deviendra une ligne droite perpendiculaire fur AB au point A ; l'arc GM, une autre droite parallele à ALI; & les rayons AH & MH, deviendront infinis, & par conféquent paralleles & égaux; c'est pourquoi e fera égale à 2, & l'équation

précedente (no.4.) fe changera en celle-ci ay+by=ax, en la divifant par les quantitez égales c &, & faisant de nouveau les mêmes raifonnemens que l'on vient de faire dans les trois premiers Corollaires, l'équation du fecond deviendra ay-by= ax; celle du troifiême de

viendra y=x.

La Courbe DMS, eft en ce cas nommée, demi Cycloïde ou demi Roulette à Bafe droite.

=

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9.SI le cercle AFB au lieu de rouler, glifsoit fur la ligne AL droite, ou circulaire, en forte que le point touchant A parcourût d'un mouvement uniforme la ligne ALT AFB, pendant que le point décrivant D parcoureroit auffi d'un mouvement uniforme la demi circonférence DGE>, <, ou=AFB, & en lui demeurant concentrique; il eft clair que la demi roulette décrite par ces mouvemens, feroit la même feroit la même que fi le cercle AF rouloit fur la ligne ALT.

COROLLAIRE V I.

10. MAIS fi le point décrivant D employe plus de temps à parcourir uniformement la demi circonférence DGE, que le point touchant A n'en employe à parcourir auffi uniformement ALT AFB, la demi roulette fera nommée Alongée.

Si au contraire le point D employe moins de temps à parcourir DGE, que le point A n'en employe à parcourir ALT AFB; la demi roulette fera nommée Accourcie.

COROLLAIRE VII.

II.SI le point touchant A, & le point décrivant D se mouvoient avec des viteffes qui fuffent telles que les puiffances m des parties parcourues par le point A fur AL, & les puiffances n des parties parcourues dans des temps. égaux par le point D fur la demi circonférence DEG Ý,

<,ou= AFB, gardassent entr'elles un raport conftant, l'on pourroit avoir par ces mouvemens non feulement toutes les roulettes dont on vient de parler: mais encore, une infinité d'autres de différens genres.

REMARQUE.

12. LES Roulettes & bâses droites, font toutes méchaniques car une ligne droite fe pouvant étendre à l'infini, le cercle mobile AFB, pourra faire une infinité de tours, ou gliffer fur cette ligne infinie AL pendant que le point décrivant D, parcourera une infinité de fois la circonférence du cercle concentrique DGE: mais la roulette décrite par le point D rencontrera à chaque tour, ou la ligne AL, ou une autre, qui lui fera parallele; c'est pourquoi la ligne AL prolongée à l'infini, ou fa parallele, rencontrera en une infinité de points la Roulette DMS qui fera par conféquent méchanique.

Mais les Roulettes à bafes circulaires, ne font pas de même car lorfque les diametres du cercle immobile ALT, & du mobile ABF feront entr'eux, comme nombre à nombre, leurs circonférences feront auffi comme nombre à nombre; c'eft pourquoi le point décrivant D, retombera au même point S après une ou plufieurs révolutions, & fi le cercle mobile continue de rouler, ou de gliffer après ce tour au point S, le point D recommencera à décrire la même Roulette & partant un rayon HM tiré du centre H, la rencontrera en un certain nombre déterminé de points; alors la Roulette fera geométrique, & l'on pourra trouver une équation qui fervira à en déterminer tous les points geométriquement, comme on pourra voir dans un livre que Monfieur Nicole va donner au public fur toutes les efpéces de Roulettes, où il en expliquera très-fçavament toutes les propriétez.

Mais lorsque les diametres du cercle mobile, & du cercle immobile feront incommenfurables, le point décrivant pe retombera jamais dans un même point; & en

faifant une infinité de tours autour du cercle immobile, il décrira une infinité de Roulettes qui ne feront neanmoins qu'une même Courbe, & partant un rayon tiré du centre du cercle immobile rencontrera cette Courbe en une infinité de points, & elle fera par conféquent méchanique.

13.

PROPOSITION I V.

A

PROBLEM E.

Iz L faut décrire la courbe BM dont l'axe eft AP, une appliquée PM, & dont une des proprietez eft que la foûtangente PT eft toujours égale à une ligne donnée KL.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & mené l'appli- FIG.117. quée pm infiniment proche de PM; la ligne MmT, menée par les points M,m infiniment proches, fera une tangente: car la courbe BM, étant regardée comme un polygone d'une infinité de côtez, Mm fera un de ces côtez. Ór il eft clair que fi la courbe BM eft toujours convexe d'un même côté, le petit côté Mm étant prolongé, ne la coupera point, & le prolongement MT fera par conféquent une tangente.

Ayant mené mR parallele à AP, RM fera la différence des deux appliquées infiniment proches PM & pm; c'est pourquoi on lui donnera le même nom qu'à PM, précédé de la lettre d, qui fignifiera différence, & l'on n'employera point dans la fuite la lettre d à d'autres ufages. Ainfi nommant l'appliquée PM,y; RM sera dy, c'est-à-dire, différence de y; de forte que la lettre d ne fait que caractériser y, & n'eft l'expreffion d'aucune quantité : mais parce qu'il n'y a aucun point fixe fur AP, pour pouvoir nommer l'intervalle qui se trouveroit entre ce point fixe, & le point P par une autre inconnue, x; on se conten. tera de nommer Pp, ou Rm, dx; on nommera aussi la donnée KL, ou (Hyp.) PT,a: or le petit triangle MRm étant regardé comme rectiligne à cause de l'infinie peti

teffe du petit côté Mm, fera femblable au triangle MPT; c'est pourquoi l'on aura dy (MR). dx ( Rm) :: y (MP), a (PT) d'où l'on tire ydx=ady, qui eft une équation différentielle.

14. Pour construire les courbes qui ont de telles équations, il faut 1°. Que l'une des différences avec fon inconnue, fi elle s'y rencontre foit dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, & que les deux différences foient dans le numérateur, fi l'équation eft fractionnaire ; felon cette régle l'équation précédente deady

vient dx =

y

20. Qu'en multipliant ou divifant l'équation, s'il est néceffaire, par une quantité conftante, chaque membre foit un plan dont chaque différence foit un côté. Ainfi l'équation dx , en multipliant

ady

11

y

deviendra adx

chaque membre par a.

aady

y

3o. On égalera chaque membre à une nouvelle inconnue, après l'avoir divifé par la différence qu'il renferme, & l'on aura par ce moyen deux équations à deux courbes geométriques, ou une équation à la ligne droite & l'autre à une courbe. Ainfi de l'équation précédente, on tire az, qui eft une équation à la ligne droite, & =f, ou aa=yf, qui eft une équation à l'Hyperbole

aa

y

par raport à fes afymptotes.

FIG. 118. 4. Ayant mené deux lignes DQ, FP qui fe coupent angles droits en A; on fuppofera que les quatre inconnues qui fe trouvent dans l'équation différentielle, & dans les deux équations que l'on en a tirées, ont leur origine commune au point d'interfection A, de maniere que les deux inconnues de chaque équation fe trouvent fur les deux lignes qui forment un même angle droit, c'eft-à-dire, que fi l'on nomme AP,x ; & AQ,y; qui font les deux inconnues de l'équation différentielle précédente, il fau

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