Imágenes de páginas
PDF
EPUB
[ocr errors]

axz

X(HM).c(HI)::y( HG).

(IR), d'où l'on tire

atb cy = ou acy + bey

= axhe atb

COROLLAIRE I. 5. IL

L est clair que lorsque le point B, ou P touchera le cercle ALI en un point T , larc ALT sera égal à la demi circonférence AFB, & le point décrivant D ou M sera sur le rayon HT en S, de sorte que

ST=BD.

[ocr errors]

COROLLA I RE I I. 6. Şi le point décrivant Détoit entre C & B , le cercle DGE seroit intérieur au cercle AFB , & lorsque le point B, ou P seroit parvenu en T , le point décrivant ū, ou M, ou, ce qui est la même chose , le point S de la Cour. be seroit sur le rayon HT prolongé au-delà de T de la longueur de BD, & l'équation précedente deviendroit acy-bcy=axz: car BD=b deviendroit négative de

- = positive qu’on la supposéę.

COROLLA IR E III. 7. Si le point Décoit en B, ou ce qui est la même chose , si B devenoit le point décrivanc , le cercle DGE se confondroit avec le cercle AFB, & le point S de la Courbe tomberoit en T , ou le point B toucheroit le cercle ALI; & en ce cas DB=b devenant nulle, ou = 0, l'équation deviendroit cy=x.

=

CORO L LAIR E. IV. 8. Si l'on suppose que le point H s'éloigne infiniment de

I A dans la ligne AB, le cercle ALI deviendra une ligne droite perpendiculaire sur AB au point A ; l'arc GM, une autre droite parallele à ALI ; & les rayons AH & MH, deviendront infinis , & par conséquent paralleles & égaux ; c'est pourquoi c sera égale à ā, & l'équation

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

précedente (no.4.) se changera en celle-ci ay to by=ax, en la divisant par les quantitez égales c & 2, & faisant de nouveau les mêmes raisonnemens que l'on vient de faire dans les trois premiers Corollaires , l'équation du second deviendra ay --by=ax;, celle du troisième deviendra y=x.

La Courbe DMS, est en ce cas nommée , demi Cycložde ou demi Roulette à Base droite.

COROLLAIRE V. 9. Si le cercle AFB au lieu de rouler , glissoit sur la ligne AL droite , ou circulaire , en sorte que le point touchant A parcourût d'un mouvement uniforme la ligne ALT=AFB, pendant que le point décrivant D parcoureroit aussi d'un mouvement uniforme la demi circonférence DGE>, <, ou=AFB , & en lui demeurant

= concentrique ; il est clair que la demi roulette décrite par ces mouvemens, seroit la même

seroit la même que si le cercle AF rouloit sur la ligne ALT.

CORO LLAIRE V I. 10. Mais si le point décrivant D employe plus de temps à parcourir uniformement la demi circonférence DGE, que le point touchant A n'en employe à parcourir ausli uniformement ALT = AFB , la demi roulette fera nommée Alongée.

Si au contraire le point D employe moins de temps à parcourir DGE, que le point A n'en employe à parcourir ALT = AFB ; la demi roulette sera nommée Accourcie.

COROLLAIRE VII. 11. Si le point touchant A , & le point décrivant D se

D mouvoient avec des vitesses qui fussent telles que les puis. fances m des parties parcourues par le point A sur AL, & les puissances n des parties parcourues dans des temps égaux par le point D sur la demi circonférence DEG>,

[ocr errors]

II

n

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

<,ou=AFB, gardassent entr'elles un raport constant,
l'on pourroit avoir par ces mouvemens non seulement
toutes les roulettes dont on vient de parler: mais encore,
une infinité d'autres de différens

genres.

R E M A R Q U E.
12. Les Roulettes & bâses droites , sont toutes mécha-
niques : car une ligne droite se pouvant étendre à l'in-
fini , le cercle mobile AFB, pourra faire une infinité
de tours , ou glisser sur cette ligne infinie AL pendant
que le point décrivant D, parcourera une infinité de fois
la circonférence du cercle concentrique DGE : mais la
roulette décrite par le point D rencontrera à chaque tour,
ou la ligne AL, ou une autre, qui lui sera parallele ; c'est
pourquoi la ligne AL prolongée à l'infini", ou la paral-
lele , rencontrera en une infinité de points la Roulette
DMS qui sera par conséquent méchanique.

Mais les Roulettes à bales circulaires , ne sont pas de
même : car lorsque les diametres du cercle immobile
ALT , & du mobile ABF seront entr'eux, comme nom.
bre à nombre , leurs circonférences seront aussi comme
nombre à nombre ; c'est pourquoi le point décrivant D,
recombera au même point S après une ou plusieurs ré-
volutions, & si le cercle mobile continue de rouler , ou
de glisser après ce tour au point S, le point D recom-
mencera à décrire la même Roulette & partant un rayon
HM tiré du centre H , la rencontrera en un certain
nombre déterminé de points ; alors la Roulette sera geo-
métrique, & l'on pourra trouver une équation qui servi-
ra à en déterminer tous les points geométriquement ,
comme on pourra voir dans un livre que Monsieur Ni-
cole va donner au public sur toutes les espéces de Rou-
lettes, où il en expliquera très-fçavament toutes les pro-
priétez.

Mais lorsque les diametres du cercle mobile , & du cerfle immobile seront incommensurables , le point décrivant ne retombera jamais dans un même point ; & en

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

A

[ocr errors]

faisant une infinité de tours autour du cercle immobile, il décrira une infinité de Roulettes qui ne seront neanmoins qu'une même Courbe ; & partant un rayon tiré du centre du cercle immobile rencontrera cette Courbe en une infinité de points, & elle sera par conséquent méchanique. PROPOSITION IV.

P R O B L E M E.

PROBLEME. 13. Il faut décrire la courbe BM dont l'axe eft AP, une appliquée PM,& dont une des proprietczest que la foûtangente PT est toujours égale à une ligne donnée KL.

Ayant supposé le Problême résolu , & mené l'appli- Fig.117 quée pm infiniment proche de PM; la ligne MmT, menée par les points M,m infiniment proches, sera une tangente: car la courbe BM , étant regardée comme un polygone d'une infinité de côtez, Mm fera un de ces côtez. Or il est clair que si la courbe BM est toujours convexe d'un même côté , le petit côté Mm érant prolongé , ne la coupera point , & le prolongement MT sera par conséquent une tangente.

Ayant mené mR parallele à AP, RM sera la différence des deux appliquées infiniment proches PM & pm; c'est pourquoi on lui donnera le même nom qu’à PM, précédé de la lettre d, qui signifiera différence , & l'on n'employe. ra point dans la suite la lettre d à d'autres usages. Ainsi nommant l'appliquée PM,y; RM sera dy, c'est-à-dire,

Y différence de y; de sorte que la lettre d ne fait que caractériser y , & n'est l'expression d'aucune quantité : mais & parce qu'il n'y a aucun point fixe sur AP , pour pouvoir nommer l'intervalle qui se trouveroit entre ce point fixe, & le point P par une autre inconnue , * ; on se contenP

. tera de nommer Pp, ou Rm , dx; on nommera aussi la donnée KL, ou ( Hyp. ) PT ,a: or le petit triangle MRm étant regardé comme rectiligne à cause de l'infinie peti.

[ocr errors]

:

X >

[ocr errors]

tesse du petit côté Mm , sera semblable au triangle MPT; c'est pourquoi l'on aura dy (MR). dx ( Rm)::y(MP).a (PT) d'où l'on tire ydx=ady , qui est une équation diffé

= rentielle.

14. Pour construire les courbes qui ont de telles équations , il faut 1°. Que l'une des différences avec son inconnue , si elle s'y rencontre soit dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre , &

que

les deux différences soient dans le numérateur , si l'équation est fractionnaire ; selon cette régle l’équation précédente de

ady vient dx

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

ܪ

[ocr errors]
[ocr errors]

20. Qu'en multipliant ou divisant l'équation , s'il est nécessaire , par une quantité constante , chaque membre soit un plan dont chaque différence soit un côté. Ainsi ady

aady l'équation dx deviendra. adx , en multipliant chaque membre par a.

39. On égalera chaque membre à une nouvelle inconnue, après l'avoir divisé par la différence qu'il renferme, & l'on aura par ce moyen deux équations à deux courbes geométriques, ou une équation à la ligne droite & l'autre à une courbe. Ainsi de l'équation précédente, on tire a=, qui est une équation à la ligne droite, &

=S, ou aa=y/, qui est une équation à l'Hyperbole

par raport à ses asymptotes, F16.118. 4o. Ayant mené deux lignes DQ, F? qui se coupent à

angles droits en A ; on fupposera que les quatre inconnues qui se trouvent dans l'équation différentielle, & dans les deux équations que l'on en a tirées , ont leur origine commune au point d'intersection A, de maniere que les deux inconnues de chaque équation se trouvent sur les deux lignes qui forment un même angle droit , c'est-à-dire , que si l'on nomme AP,x ; & AQ, y ; qui sont les deux inconnues de l'équation différentielle précédente , il fau

aa

[ocr errors]
« AnteriorContinuar »