afin que

dra néceffairement nommer AF, f; & AD, Z; les inconnues y & de l'équation à l'Hyperbole, forment un même angle droit FAQ, &c.

5o. On décrira par les règles des Sections 8, ou II. les deux courbes geométriques, chacune dans l'angle, dont les côtez font exprimez par les inconnues de fon équation. Ainfi dans cet Exemple, à caufe de l'équation =fy l'on décrira une Hyperbole N N dans l'angle FAQ, dont les côtez AQ, AF font nommez y & f, & à caufe de l'équation = a; ayant fait AD=a=2, l'on menera DS parallele à AP.

aa=

Avant que de venir à la conftruction des équations différentielles l'on remarquera, 1°. Qu'elles n'appartiennent pas toutes à des courbes méchaniques; il y en a qui appartiennent à des courbes geométriques: mais l'art de les diftinguer dépend du calcul inégal que nous ne pouvons pas expliquer ici. 2°. Que les inconnues dont les différences fe trouvent dans une équation différentielle, expriment ou deux lignes droites, ou l'une exprime une ligne droite, & l'autre une ligne courbe, ce qui fait deux cas. La construction de l'équation de ce Problême, & celle de l'équation du Problême qui fuit, où toutes ces deux courbes font méchaniques, ferviront d'Exemples pour l'un & pour

l'autre cas.

15. Pour construire l'équation adx

aady

y

l'on pren.

dra fur 4Q=y un point quelconque B, & l'on menera par B la droite BC parallele à AF qui rencontrera l'Hyperbole en C, & le point B fera l'origine de la courbe qu'il faut décrire, & ayant pris fur 4Q un autre point quelconque Q, l'on menera par la droite QN parallele à AF qui rencontrera l'Hyperbole en N. Cela fait, on prendra fur DS le point, tel qu'ayant mené VP parallele à AD, l'espace ADVP foit égal à l'espace hyperbolique BCNQ; & le point M où les droites NO, VP, étant prolongées, fe couperont, fera à la courbe cherchée.

ATLICATION DE L'ALGEBRE

ene core 367, lèra femblable au triangle MPT ;
MRR≈ :: y1MP\.a

mya=23, qui et une equation diffe

& comis elf ont de telles equaThe time as Ferences avec fon in

JAS TO 18 membres

& Se les deux

ensation est #tente de

afin que

dra nécessairement nommer AF‚s; & AD, Z;
les inconnues y & fde l'équation à l'Hyperbole, forment
un même angle droit FAQ, &c.

II.

5o. On décrira par les règles des Sections 8, ou 11. les deux courbes geométriques, chacune dans l'angle, dont les côtez font exprimez par les inconnues de fon équation. Ainfi dans cet Exemple, à caufe de l'équation aa=fy l'on décrira une Hyperbole N N dans l'angle FAQ, dont les côtez AQ, AF font nommez y & f, & à caufe de l'équation a; ayant fait AD=a=2, l'on menera DS parallele à AP.

=

Avant que de venir à la conftruction des équations différentielles, l'on remarquera, 1°. Qu'elles n'appartiennent pas toutes à des courbes méchaniques; il y en a qui appartiennent à des courbes geométriques : mais l'art de les diftinguer dépend du calcul inégal que nous ne pouvons pas expliquer ici. 2°. Que les inconnues dont les différences fe trouvent dans une équation différentielle, expriment ou deux lignes droites, ou l'une exprime une ligne droite, & l'autre une ligne courbe, ce qui fait deux cas. La construction de l'équation de ce Problême, celle de l'équation du Problême qui fuit, où toutes ces deux courbes font méchaniques, ferviront d'Exemples pour l'un & pour l'autre cas.

15. Pour construire l'équation adx

aady
y

&

l'on pren.

dra fur AQ=y un point quelconque B, & l'on menera par B la droite BC parallele à AF qui rencontrera l'Hyperbole en C, & le point B fera l'origine de la courbe qu'il faut décrire, & ayant pris fur AQ un autre point quelconque Q, l'on menera par la droite QN parallele à AF qui rencontrera l'Hyperbole en N. Cela fait, on prendra fur DS le point, tel qu'ayant mené VP parallele à AD, l'espace ADVP foit égal à l'espace yperbolique BCNQ; & le point M où les droites NO, VP, étant prolongées, fe couperont, fera à la Courbe cherchée.

DE'MONSTRATION.

AYANT mené du point m pris fur la courbe BM infiniment proche de M, les droites mqn, mpu, & du point M,les N, la petite droite NI parallele à AQ QN étant, f ; A Q, y ; Q q, ou NI fera dy, & partant le petit rectangle QNIq=fdy: mais comme le petit triangle NIn a tous fes côtez infiniment petits, il doit être nul par raport au petit rectangle QNIq; c'est pourquoi QNIq

aa De même AD, ou PV étant, a ; & AP, x ; Pp

fera, dx ; & partant le petit rectangle PV up — adx. Mais (Conft.) BCNQ = ADVP, & BCnq= ADup ;

donc QNnq = adx. C. Q. F. D.

PV up, ou en termes algébriques

COROLLAIRE

I.

aady y

16. Left clair que la courbe BMm a pour asymptote fon axe AP: car l'efpace Hyperbolique BAFGC étant infini, le rectangle ADVP ne lui peut jamais être égal, à moins qu'on ne fuppofe le point P infiniment éloigné de A.

17.

COROLLAIRE II.

le

L'EQUATION ydx = ady, où l'Hypothefe donne dy. dxy.a, d'où l'on voit que fi l'on fuppofe que dx exprime une quantité conftante, le raport de dx à a fe ra un raport constant & partant celui de dy à y fera auffi; c'eft pourquoi fi l'on prend fur l'axe AP tant de parties égales qu'on voudra PC, CD, DE, &c. chacune dx, & qu'on mene par les points P, C, D, E, &c. des perpendiculaires PM, CF, DG, EH, &c. ces perpendiculaires

=

perpendiculaires feront continuellement proportionnel. les car ayant mené par les points M, F, G, &c. les droites MI, FK, GL, &c. l'on aura par l'Hypothefe PM (y). IF (dy) :: CF . KG ; donc componendo, PM. PM+IF :: CF. CF + KG, c'est-à-dire, PM. CF :: CF. DG. Par la même raifon CF. DG :: DG. EH, &c. De forte que fi les parties de l'axe PC, PD, PE, &c. ou PN, PO, PQ, &c. prifes fur l'axe AP en commençant d'un point quelconque P, croiffent ou diminuent en proportion arithmétique, les perpendiculaires correspondantes CF, DF, EH, &c. ou NR, OS, QV, &c. croîtront, ou diminueront en proportion geométrique ; c'est pourquoi fi l'on prend PC pour l'unité de la progreffion arithmétique PC, PD, PE, &c. & PM pour l'unité de la progreffion geométrique PM, CF, DG, EH, les termes PC ( 1 ), PD ( 2 ), PE ( 3 ), &c. de la progreffion arithmétique, feront les logarithmes des termes correfpondans CF, DG, EH, &c. de la progreffion geométrique, qu'on appelle Nombres, & o, le Logarithme de l'unité PM. C'eft à caufe de cette proprieté que la courbe BM a été nommée Logarithmique.

18. LA perpendiculaire PM étant nommée

3

fi l'on nomme CF, x; DG fera, x'; EH, x'; &c. car à cause de la progreffion geométrique, l'on a PM (1). CF ( x ::CF(x). DG=

I

x2; CF (x). DG (x23) :: DG

(x2). EH — = x3, &c. Par la même raison NR fera,

I

(1). NR=—5 PM (1). NR (-) :: NR (-). OS =

x