du premier qui lui soit égale, pour la réduire, si cela se peut, à une équation déterminée du second degré. Si par ce moyen on n'y réussit point, il faudra, si elle est du quatriême degre, faire évanouir le second terme; la transformer en une équation du troisiême, & voir fi elle ne peut point ensuite être divisée par quelque binome, composé d'un des diviseurs de deux dimensions du dernier terme, & du quarré de l'inconnue qu'elle renferme, & la réduire par ce moyen à une équation du second degré. Mais si l'on ne trouve aucun binome plan, qui puisse diviser l'équation transformée, le Problême sera solide, & on pourra le construire avec les deux équations indéterminées, de la maniere qu'on dira dans la neuvième Section; & la construction sera même beaucoup plus simple, & plus élegante que celle qu'on tireroit de l'équation déterminée, qui résulte de l'évanouissement de l'une des inconnues, comme on pourra voir en comparant les constructions des Problêmes solides de la neuvième Section, avec celles de la dixiême. 19. Si par la seule division l'équation déterminée peut être réduite à une équation du second degré, le Problême sera plan, & on le construira par le moyen de l'équation réduite à deux dimensions, comme on enseignera dans la Section suivante. Si pour réduire l'équation déterminée à une équation du second degré, il faut employer la transformation; on pourroit encore le construire par le moyen de l'une des deux équations du second degré que l'on en tire : mais la construction en sera beaucoup plus simple, si en abandonnant ce qui est dit dans la premiere Observation, on prend d'autres lignes pour inconnues, & que l'on en tire de nouvelles, felon qu'on le jugera necessaire, & que par ce moyen on puisse venir à une équation déterminée du second degré. Et fi on n'y réussit pas du premier coup, il faudra encore tenter d'autres voyes; car quand un Problême est simple, on peut trouver une équation simple, & conforme à sa nature, soit d'une maniere, soit d'une autre, 20. Si aucune des deux équations indéterminées ne se rapporte au cercle, & n'y peut être réduite par la combinaison de l'une avec l'autre, ou autrement ; & que l'équation qui résulte de l'évanouissement de l'une des inconnues, soit du troisième ou du quatrième degré, & ne puisse être réduite par la division, ou par la transformation à une équation du second degré; il faudra par son moyen construire le Problême, comme il sera enseigné dans la dixiême Section: car il sera necessairement folide; & quand on chercheroit d'autres équations par d'autres voyes, elles ne pourroient être plus simples que par leurs termes, un Problême ne pouvant jamais changer de nature. 21. Enfin fi l'équation qui résulte de l'évanouissement de l'une des deux lettres inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées, excede le quatrième degré, & n'y peut être réduite par la division; le Problême sera lineaire, & on le construira par le moyen des deux équations indéterminées, comme on le dira dans la douziême Section. 22. La raison de tout ceci, est que pour construire les Problêmes simples, & plans, on ne doit employer que la ligne droite & le cercle; puisqu'on le peut toujours. Et fi on les construisoit par le moyen des deux équations indéterminées que l'on trouve en employant deux lettres inconnues, on y employeroit souvent d'autres courbes, qui ne sont pas si simples que le cercle.' Pour construire les Problêmes solides dont les équations sont du troisième ou quatriême degré, on ne doit employer que le cercle, & une courbe du premier genre, puisque cela se peut aussi toujours. Mais parceque pour construire les Problêmes lineaires, dont les équations excedent le quatrième degré, l'on ne peut faire servir le cercle; leur construction sera plus fimple par le moyen des deux équations que l'on trouve en employant deux inconnues, felon la premiere Observation, que de toute autre maniere: car, à mon avis, c'est en quelque façon gêner la Geometrie que d'y introduire, A souvent avec beaucoup de difficulté, de certaines courbes préferablement à d'autres qui se presentent naturellement, & dont la description est souvent très-simple: en quoi je voudrois que les courbes fussent préferées, sans avoir égard à leur genre, de la maniere qu'on le détermine ordinairement. AVERTISSEMENT. Lorsqu'on fçait qu'un Problème est simple, ou plan, il n'est point necessaire d'avoir égard à la premiere Observation, ni d'employer deux lettres inconnues pour le refoudre. Il y a aussi des Problèmes fi fimples, qu'il n'y a aucune difficulté, ni pour nommer les lignes, ni pour trouver des équations. Tout ce qu'on a dit dans cette premiere Section sera éclairci par toute la suite de cet Ouvrage, qui n'en est que l'Application, & un Commentaire. Où l'on donne la maniere d'exprimer Geometriquement les quantitez Algebriques, & de refoudre les Problémes fimples, t) plans; ou ce qui est la même chose, de construire les équations déterminées du premier & du second degré. V. N peut exprimer Geometriquement toutes les met le moyen des quatre operations suivantes, qui sont de trouver des troisiêmes, quatrièmes & moyennes proportionnelles, & de tirer les racines de la somme, ou de la difference de deux ou de plusieurs quarrez. ab C 1. Pour exprimer Geometriquement ; ayant mené FIG. 3. une ligne droite AH, dont l'extrémité A soit fixe, fait AB=c, AD=a, mene BC=b, qui fasse avec AB un ab -: car angle quelconque ABC, s'il n'est pas déterminé d'ailleurs, & mené ACG; la ligne De parallele à BC sera à cause des paralleles BC, DE, l'on aura AB (c). AD (a):: BC (b). DE Ce feroit la même chose s'il faloit exprimer Geometriquement : car il n'y auroit ab C aa C qu'à faire BC=AD=a, après avoir fait AB=c; où l'on remarquera que toute quantité fractionnaire peut être regardée comme le quatrième terme d'une proportion, qui renferme les trois autres, & dont le dénominateur est le premier. De même pour exprimer Geometriquement aa+ab c+d en réduisant en proportion l'on a c+d. a+b :: a. aa + ab Faisant donc AB=c+d, AD=a+b, BC=a; DE aa+ab • c+d Ce sera la même chose aa-bb parallele à BC, sera = C : car en aa-bb Semblablement, pour exprimer Geometriquement aa qui contient deux proportions, c. a :: a., & d. b , comme on vient de voir aab pour les quantitez précedentes, & ensuite Il en est ainsi des autres quantitez fractionnaires. cd 2. Pour exprimer Geometriquement Vab. Il faut pren FIG. 10. dre sur une ligne droite AH, AD=a, & DB=b, & ayant décrit un demi cercle sur le diametre AB; la ligne DE perpendiculaire au point D, sera égale à Vab: car nommant DE, x; l'on aura a(AD). x (DE) :: x (DE). b (DB); donc xx=ab, & x= Vab. De même pour exprimer Vaa+ab, on voit que ad+ab, est la produite de a+b; par a. Ainsi ayant fait AD=a+b, & DB =a; DE, sera Vaa + ab. Semblablement, pour exprimer Vaa-bb; puisque aa-bb, est le produit de a+b par a-b, en faisant AD=a+b, & DB=a—b; DE sera=√aa — bb. On peut encore exprimer autrement cette quantité, comme on va voir no. 3. m n Pour exprimer - Vaa - bb; ayant trouvé, comme on vient de faire DE=Vaa-bb, & l'ayant nommée ; c, l'on aura au lieu de - Vaa-bb, & l'on trouvera (no. 1.) mc mc m FIG. 3. DE=-, faisant AB=n, BC=m, & AD=c. n 3. Pour exprimer Geometriquement Vaa+bb. Puisque aa+bb est la somme de deux quarrez, il est clair que FIG. 11. si l'on décrit un triangle ABC rectangle en B, un de ses côtez AB étant nommé a, & l'autre BC, b; l'hypothenuse AC sera =√aa+bb. Il ne seroit pas plus dificile d'exprimer la racine de la somme de plusieurs quarrez, comme Vaa+bb+cc, &c. Pour exprimer Geometriquement Vaa-bb, qui est la difference de deux quarrez; il est évident qu'ayant décrit un triangle rectangle dont l'hypothenuse soit = a racine du quarré positif, & un des côtez = b racine du quarré negatif, l'autre côté sera=vaa - bb. Ce qui se fait en FIG. 12. cette forte; soit décrit sur le diametre AB=a, le demi cercle ACB, & foit infcrit dans le demi cercle de la ligne AC=b, & mene CB; l'angle ACB, étant droit à cause |