du premier qui lui soit égale , pour la réduire, si cela se peut, à une équation déterminée du second degré. Si par ce moyen on n'y réussit point, il faudra, si elle est du quatriême degre, faire évanouir le second terme ; la transformer en une équation du troisiême, & voir si elle ne peut point ensuite être divisée par quelque binome, composé d'un des diviseurs de deux dimensions du dernier terme, & du quarré de l'inconnue qu'elle renferme , & la réduire par ce moyen à une équation du second degré. Mais si l'on ne trouve aucun binome plan, qui puisse di. viser l'équation transformée, le Problême fera folide, & on pourra le construire avec les deux équations indéterminées, de la maniere qu'on dira dans la neuviême Section; & la construction sera même beaucoup plus simple, & plus élegante que celle qu'on tireroit de l'équation determinée , qui résulte de l'évanouissement de l'une des inconnues, comme on pourra voir en comparant les constructions des Problèmes solides de la neuvième Şection, avec celles de la dixiême. 19. Si

par la seule division l'équation déterminée peut être réduite à une équation du second degré, le Probleme sera plan, & on le construira par

& que

:20. Si aucune des deux équations indéterminées ne se rapporte au cercle, & n'y peut être réduite

par

la combinaison de l'une avec l'autre, ou autrement; l'équation qui résulte de l'évanouissement de l'une des inconnues, soit du troisiême ou du quatrième degré, & ne puisse être réduite par la division, ou par la transformation à une équation du second degre; il faudra par

son moyen construire le Problême , comme il sera enseigné dans la dixième Section: car il sera 'necessairement folide; & quand on chercheroit d'autres équations par d'autres voyes, elles ne pourroient être plus simples que par leurs termes, un Problème ne pouvant jamais changer de nature.

21. Enfin fi l'équation qui résulte de l'évanouissement de l'une des deux lettres inconnues renfermées dans les deux équacions indéterminées, excede le quatriême degré, & n'y peut être réduite par la division; le Probleme lera lineaire , & on le construira par le moyen des deux équations indéterminées, comme on le dira dans la douziême Section.

22. La raison de tout ceci , est que pour construire les Problêmes simples, & plans, on ne doit employer que la ligne droite & le cercle ; puisqu'on le peut toujours. Et si on les construisoit par le moyen des deux équations indéterminées que l'on trouve en employant deux lettres inconnues , on y employeroit souvent d'autres courbes, qui ne sont pas si simples que le cercle.'

Pour construire les Problêmes solides dont les équations sont du troisième ou quatriême degré, on ne doit employer que le cercle, & une courbe du premier genre, puisque cela se peut aussi toujours.

Mais parceque pour construire les Problêmes lineaires, dont les équations excedent le quatriême degré, l'on ne peut faire servir le cercle ; leur construction sera plus simple par le moyen des deux équations que l'on trouve en employant deux inconnues, selon la premiere Observation, que de toute autre maniere : car, à mon avis, c'est en quelque façon gêner la Geometrie que d'y introduire,

souvent avec beaucoup de difficulté, de certaines courbes préferablement à d'autres qui se presentent naturellement, & dont la description est souvent très simple : en quoi je voudrois que les courbes fussent préferées, sans avoir égard à leur genre, de la maniere qu'on le détermine ordinairement.

A v ERTISSEMENT. Lorsqu'on sçait qu'un Problème est simple , ou plan, il n'est point necessaire d'avoir égard à la premiere Observation , ni a'employer deux lettres inconnues pour le refoudre. Il y a aussi des Problèmes fe fimples, qu'il n'y a aucune difficulté, ni pour nommer les lignes, ni pour trouver des équations.

Tout ce qu'on a dit dans cette premiere Section sera éclairci par toute la suite de cet ouvrage , qui n'en est que l’Application, & un Commentaire.

S E C TI O N I I.

Τ Ι Ο Ν
Où l'on donne la maniere d'exprimer Geometrique-

ment, les quantitez Algebriques, & de resoudre les
Problémes simples, et plans ; ou ce qui est la même
chose, de construire les équations déterminées du pre-

mier @s du second degré.
V.
O

N peut exprimer Geometriquement toutes les
quantitez
Algebriques, par

le moyen des

quatre operations suivantes, qui sont de trouver des troisièmes, quatriêmes & moyennes proportionnelles, & de cirer les racines de la somme , ou de la difference de deux ou de plusieurs quarrez.

1. Pour exprimer Geometriquement ->; ayant mené FIG. 3. une ligne droité AH, dont l'extrêmité A soit fixe, fair

AB=1, AD=a, mené BC=b, qui fasse avec AB un

ab

с

ab

: car

ab

angle quelconque ABC, s'il n'est pas déterminé d'ailleurs, & mené ACG ; la ligne DE parallele à BC sera à cause des paralleles BC, DE, l'on aura AB (c). AD

, (a):: BC (6). DE=-. Ce feroit la même chose s'il faloit exprimer Geometriquement -: car il n'y auroit qu'à faire BC=AD=a, après avoir fait AB=r; où l'on remarquera que toute quantité fra&tionnaire peut être regardée comme le quatriême terme d'une proportion, qui renferme les trois autres, & dont le dénominateur est le premier.

datab De même pour exprimer Geometriquement

C

=

ab en réduisant en proportion l'on a c+d. a+b::a.

c+d Faisant donc AB=c+d, AD=a+b, BC=a; DE

astab .parallele à BC, sera

Ce sera la même chose

c+d si l'on veut exprimer Geometriquement

ad

bb

: car en

réduisant en proportion l'on a.c.a+b::2–6.

cd

aab

.

od

pour les quantitez précedentes, & ensuite Il en est ainsi des autres quantitez fra&tionnaires.

2. Pour exprimer Geometriquement Vab. Il faut pren

F1G. 10. dre sur une ligne droite AH, AD=a,& DB=b,&

6 ayant

décrit un demi cercle sur le diametre AB; la ligne DE perpendiculaire au point D, sera égale à Vab: car nommant DE, *; l'on aura al AD). * (DE) :: *( DE). b (DB); donc xx=ab, & x= Vab. De même pour exprimer Vaa+ab, on voit que ad + ab, est la produite de a+b; par a. Ainsi ayant fait AD=a +6, & DB =a; De, sera Vaa + ab.

Semblablement, pour exprimer Vaa bb ; puisque aa -bb, est le produit de a + b par a - -6, en faisant AD=a+6, & DB=a-b; De sera=Vaa—bb. On peut encore exprimer autrement cette quantité, comme on va voir n?. 3.

Pour exprimer Vaa -bb ; ayant trouvé, comme on vient de faire DE=Vaa—66, & l'ayant nommée; C, l'on aura - au lieu de “Vaa—66, & l'on trouvera (no. 1.)

a

m

C

mc

mc

n

il est clair que

F16. 3. DE=", faisant AB=N, BC=M, & AD=6.

3. Pour exprimer Geometriquement Vaa+bb. Puisque

aa + bb est la somme de deux quarrez, FIG. 11. si l'on décrit un triangle ABC rectangle en B, un de ses

côtez AB étant nommé a, & l'autre BC, b; l'hypothenuse AC sera =Vaa + bb. Il ne seroit pas plus difficile d'exprimer la racine de la somme de plusieurs quarrez, comme Vaa + 6b+cc, &c.

Pour exprimer Geometriquement Vaa—bb, qui est la difference de deux quarrez; il est évident qu'ayant décrit un triangle rectangle dont l'hypothenuse loit= a racine du quarré positif, & un des côtez=b racine du quarré

negatif, l'autre côté sera =vaa – bb. Ce qui se fait en FIG. 12. cette forte; soit décrit sur le diametre AB=a, le demi

cercle ACB, & soit inscrit dans le demi cercle de la ligne AC=b,& mené CB; l'angle ACB, étant droit à