=

élevée au

cause du demi cercle; CB sera = Vaa—bb. La même
chose s'execute encore en la maniere suivante. Soit dé. Fig. 13.
crit un demi cercle sur le diametre AB=2a,
centre C la perpendiculaire CH, prise CG= 6 racine
du quarré negatif, menées EF, & FD paralleles à AB, &
à HC, & mené le rayon CF; GF ou CD sera=Vaa—bb;
puisque CF=a,& CG, ou DF=b. Cette derniere ma.
niere convient mieux à la construction des équations que
la précedente.

4. Il y a des quantitez Algebriques plus composées
que celles dont on vient de parler (no. 1, 2, 3 ;) & que
l'on ne peut exprimer geometriquement, qu'après.y avoir
fait certains changemens. Or ces changemens consistent
particulierement à mettre l'expression Algebrique d'un
quarré en la place de l'expression Algebrique d'un rectan-
gle, ou de mettre l'expression Algebrique d'un rectangle
dont un côté soit donné en la place d'un autre rectangle,
ou d'un quarré. Ainsi pour exprimer geometriquement

94 + bbcd cette quantité fractionnaire

dont le numerateur n'est point le produit de deux quantitez que l'on puisse séparer par la division, & qui ne peut par

consequent être réduite en analogie ; il faut donc changer le quarré Algebrique bb, en un rectangle dont un côté soit a, & le rectangle Algebrique cd, en un autre rectangle Algebrique, dont un côté soit aussi a, afin

que

la lettre a se trouve dans tous les termes. Soit pour ce sujer x, le côté du rectangle qui doit être égal à bb, dont l'autre côté est la ligne donnée, exprimée par a; l'on aura,

selon les termes de la question, ax = bb ; donc x=

bb ayant donc ( no. 1.) exprimé geometriquement & l'ayant nommée f; l'on aura f=x; & partant af=bb. Soit semblablement

у

le côté du rectangle qui doit être égal à cd, dont l'autre côté est la même donnée a; l'on

E

b

bb

j a

a

cd

cd

b

b

,

aura ay=cd; donc y=-: & ayant nommé g l'expref

=sion de trouvée (no. 1.); l'on aura ag=id; la no

quan

aa+af-ag tité precedente sera donc changée en celle-ci, en mettant pour bb, & pour cd, leurs valeurs af, & ag que l'on vient de trouver, qui est facile à exprimer ; puisqu'on la peut à present réduire en l'analogie suivante b. . a ::a+f-8.

an + af — ag. On auroit pâ changer le quarré aa, & le ređangle cd , au lieu que l'on a changébb, & cd.

s.Pour exprimer la quantité Vaa — bc, il faut changer le quarré aa en un rectangle, dont un côté soit b ou c; ou bien le rectangle bc en un autre, dont un côté soit a ; & on en aura ensuite facilement l'expression geometrique (no. 2.) Il en est ainsi des autres. 6. Les manieres dont nous venons de nous servir

pour exprimer geometriquement les quantitez Algebriques sont generales : on les peut souvent abreger par le moyen de quelques lignes menées paralleles à quelques autres lignes données de position, ou en décrivant quelques cercles, selon

que l'indique la figure de chaque Problême que l'on construit : mais comme ces manieres sont particulieres, on n'en peut rien dire ici, cela dépend du genie du Geometre, qui veut résoudre & construire les Problêmes le plus élegamment qu'il lui est possible. On les trouvera prati. quées dans plusieurs exemples.

CONSTRUCTION Des Equations déterminées du premier degré, @z de

celles du second qui n'ont point de second terme. 7.

N
O

N voit clairement que les expressions geometri. la résolution des équations du premier degré, & de celles du second, qui n'ont point de second terme ; car fi ces mêmes quantitez étoient égalées à des lettres inconnues leur valeur seroit déterminée par ces expressions. Par exemple, pour construire cette équation xx=aa — bc, d'où l'on tire x=+ Vaa -bc, il n'y a qu'à exprimer Vaa—bc, comme on vient de faire ; & l'expression prise de part & d'autre, de l'origine de x sera fa valeur positive & negative. Il en est ainsi des autres.

CONSTRUCTION Des Equations du second degré, qui ont un

second terme. VI. Es Equations du second degré qui ont un se

peuvent toutes réduire à quelqu'une des quatre formules suivantes. . 1. XX= ax + bb.

ax + bb.
3. XX = ax
4. xx=-ax-bb, dont les racines sont,

= —
a +Vaa+bb.

£

atviaa+66. 3. x=a+Vlaa—bb.

IV 4. x= - atviaa-bb.

cond terme,

fe

2. XX=

.bb.

I

I. X =

ad

2

.

2. X

2

1.

2

yat

2

2

CONSTRUCTION

De la premiere e seconde Formule.
.Pour la premiere & la seconde Formule. Soit dans

la figure sur laquelle on opere, & d'où l'on a tiré l'équaFig. 14. tion que

l'on veut construire, A le commencement de x & 15. qui va vers H. Ayant élevé au point A la ligne AB per

pendiculaire à AH,&=b racine du dernier quarré bb; on prendra AC (Fig. 14.)=-a du côté de H, par raport à A pour la premiere formule où il y à + -a; & de l'autre côté de H (Fig.:15.) pour la seconde formule, où il y a --ai & du centre Ċ l'on décrira par B, le cercle DBE, qui coupera AH en E, & en D. Je dis que A E sera la valeur positive de x, & AD sa valeur negative.

D ' M O N Š T R À T 1 o N.
PUISQUE AC=",, & AB=b; CB=CE sera

à
Vaa+b6; & par consequent x=AE=
Vaa + bb. C. Q. F. D.

On prouvera de même que AD, est la valeur negative de x qui doit être prise de l'autre côté de A par raport à H.

CONSTRUCTION

De la troisième & quatrième Formule. Fig. 13. 2. IT A le commencement de x qui va vers P. & 16. Ayant pris AC du côté de P, par raport à A pour la troiGême formule , où il y a +

a (Fig. 13.); & de l'autre côté de P sur le prolongement de AP pour la qua

adt

+

a to

2

2

I

I

,

triême formule , où il y a - a ( Fig. 16.); l'on dé-
crira du centre C & du demi diametre CA=;
C

a le demi cercle AHB, on élevera ensuite CH perpendiculaire à A B, sur laquelle ayant pris CG=b, racine du der. nier quarré, on menera EF parallele à AB, qui coupera le demi cercle aux points E & F, d'où l'on abaissera les perpendiculaires FÒ, El. Je dis que AD & AI, seront les deux valeurs positives de x(Fig. 13), pour la troisiême

.
Formule; negatives (Fig. 16), pour la quatriême. .

DEMONSTRATION.
PUISQUE AC ou CF= a, & CG=b; GF, ou CD
sera =V aa-bb, & par consequent AD=x=+;.
+viaa—bb, & AI=x=+;a È V4 aa

IVA — 66,

lesquelles valeurs sont toutes deux réelles & positives dans la Fig. 13. qui appartient à la troisiême formule, & toutes deux réelles, mais negatives dans la Fig. 16. qui appartient à la quatrième formule. C. Q. F. D.

REMARQU E. 3. Sub=CG est='a=CH, le point G tombera en H, les points D & I en C, & les deux valeurs de seront égales.

4. Si CG est plus grande que CH; les deux mêmes valeurs de x seront imaginaires, & le Probleme sera impossible. Ce qui se connoît aussi par l'inspection des deux formules que l'on construit.

s. On peut encore construire ces équations, en faisant évanouir le second terme , après quoi on trouvera les valeurs de l'inconnue par l'art. 5. no. 2.

s

I

2

X,