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FIG. 27.

Figure 26 AG=f. A E=x. AF = x. le point I doit
être pris fur AB du côté de A, en forte que AB. AI ::
m. n. CL parallele à AB doit être menée de l'autre côté
de C, en forte qu'on puiffe tirer GIL.

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10. SI le point D étoit au fommet de l'un des angles
comme en A; il n'y auroit qu'à divifer BC en F; en
forte que BC. BF: m. n, & mener AF: car en ce cas
ABC. ABF :: m. n.

REMARQUE V.

FIG. 28. 11. SI le point D étoit fur un des côtez AB; en nom-
mant AB, a; BC, b; DB, g; qui font les données, &
l'inconnue BF, x; l'on auroit felon l'hypothese ab. gx ::
m. n; & partant mgx
cette construction.

FIG. 29.

= nab; donc x=

=

= qui fournit

On divisera BC en H, en forte que BC. BH::m. n,
& ayant pris BF quatriême proportionnelle à DB, AB,
BH, l'on menera la ligne DF qui fatisfera au Problême.
DEMONSTRATION.

AYANT mené AH, les triangles ABH, DBF
feront égaux; puisque (conft: ) DB. AB :: BH. BF: mais
le triangle ABC eft au triangle ABH :: BC. BH ::m.n;
donc ABC. DBF:: m. n. C. Q. F. D.

12.

COROLLAIRE.

1

ON
peut par le
moyen de ce Problême, & des re-
marques qu'on y a faites, réfoudre toutes les queftions de
la Geodéfie.

2

Soit par exemple, un rectiligne quelconque ABCEGH, & un point D hors de ce rectiligne, donnez de pofition, il faut mener la ligne DOF, qui divife le même rectiligne, de

maniere

0

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ABCF,

maniere que la partie OHGEF soit à la partie OABCF,

comme m à n.

la

On menera du point D aux angles du rectiligne des droites DG, DE, DC, DB. Or puifque l'on connoît la fuperficie du rectiligne entier, & qu'on peut connoître celle de toutes les parties qui le compofent; on connoîtra auffi fi quelqu'une des lignes DB, DC, DE, DG, fatisfait au Problême. Mais fi aucune n'y fatisfait, de forte que la partie LHGE foit trop petite, & la partie KHGEC trop grande, il eft neceffaire, felon cette hypothefe, que la ligne DOF paffe entre les lignes DC, DE, afin que Figure foit divisée dans la raison demandée : mais parceque l'on connoît le raport de toute la Figure à fes parties KABC, LABCE, l'on connoîtra auffi le raport du quadrilatère LKCE à fa partie OKCF; c'eft pourquoi, 1o. Si les lignes KL, CE font paralleles, il n'y a qu'à diviser CE en F, en forte que ce CE foit à CF dans la raison convenable, & mener DOF, qui fatisfera à la question: car CE, KL::CF. KO, ou DCE. DKL :: DCF. DKO; & divi dendo LKCE. DCE :: OKCF. DCF. permutando LKCE. OKCF:: DCE. DCF :: CE. CF.

2o. Si ces lignes CE, KL ne font point paralleles, elles F1 G. 30. concourront de part ou d'autre en un point P, que l'on trouvera en cette forte. Ayant mené ZR & LQ paralleles à KC, & à CF, ces droites feront données de grandeur auffi bien que KQ. Soit donc fait à cause des triangles femblables KQL, KCP; KQ. QL::KC. CP; CP fera donc auffi donnée de grandeur; c'eft pourquoi tirant KS perpendiculaire à CE, qui fera auffi donnée, l'on aura la fuperficie du triangle KCP; & par confequent (no. 9.), le raport de tout le triangle à fa partie OKCF, & le Problême sera réfolu.

13.

PROBLEME

DECR

PLAN.

ECRIRE un triangle ABC rectangle en A, dont FIG. 31. le plus petit côté AB, & la difference DC, des fegmens de l'hypothénufe, faits par la perpendiculaire AE, foient donnez de grandeur.

G

Ayant fuppofe le Problême réfola, l'on décrira du centre A, & du rayon AB, le cercle GBF, qui paffera par le point D; puifque DC, eft la difference des feg. mens BE, EC de l'hypothenufe BC; & ayant prolongé AC en G; GC sera = ABAC; & FC = AC AB. Nommant donc les données AB, a; DC, b; & l'inconnue CF, x ; AC sera a + x ; & GC, 2a + x ; & l'on aura à caufe du cercle CD (b). CF (x) :: CG (2a + x). CB = 14*+**; donc à cause de l'angle droit BAC. DC — AB' + AC, ou en termes Algebriques 4xx+4 ax2+xa = 244 + 2ax + xx ou en ordonnant l'équation,

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=

xx

rabbx

zaabb = o, qui est une

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l'on

équation du quatrième degré & qui ne peut être divifée par aucun binome compofé de l'inconnue & d'un des divifeurs du dernier terme: mais avant que de conclure quelle eft la nature du Problême, il faut faire évanouir le fecond terme. Faisant donc x + a=2, a x = z — a ; & mettant cette valeur de x dans l'équation en la place de x, & les puiffances de cette valeur en la place des puiffances femblables de x, cette nouvelle équation

-

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l'on aura

2αazz+a+= o ; & combbzz - aabb

me le quatriéme terme eft auffi évanoui, il fuit que le Problême eft plan: car faisant ay = zz, l'équation se

changera en celle-ci, aayy

*aay+bb9+abb — as

za3 y + a1 = 0, ou yy =

- abby

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aabb

-^3, que l'on peut ramener à une des quatre formules précedentes, trouver par confequent la valeur de y, & chercher enfuite une moyenne proportionnelle entre y &a, qui fera la valeur de རོ, d'où ayant ôté on aura celle de x qu'il faloit trouver. Mais ces fortes de constructions font très-composées; c'est pourquoi dans de pareils cas, il faut tâcher, en prenant d'autres voyes,

a,

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