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de trouver une équation du fecond degré, qui donneroit une conftruction beaucoup plus fimple, plus élegante, & plus naturelle. Prenons donc BD pour l'inconnue; & FIG. 31. l'ayant nommée BC fera b+x; BE, ¦ x; & EC, ¦ x+b; & l'on aura à cause de l'angle droit BAC, BE × EC = 4 xx + 1 bx = AE: & à caufe du triangle rectangle AEB, l'on aura BE+AE' = 1xx + 1 xx + 1 bx = aa AB', qui fe réduit à xx —— bx+2aa; d'où l'on • ÷ b±√ 1bb+2aa, qui donne cette con

=

tire x = ftruction.

D, étant le commencement de x qui va vers B, on FIG. 32 prendra fur CD=b, prolongée de part & d'autre, DG =2a=2AB, & DH—a— AB, & ayant décrit fur le diametre GH, le demi cercle GRH, on élevera au point D la perpendiculaire DR, qui rencontrera la cirConference en R. Et du centre O, milieu de DC=b, on décrira par R le demi cercle BRK qui coupera DG au point cherché B. De forte que DB fera la valeur pofitive de x, & DK fa valeur negative; c'eft pourquoi ayant décrit fur l'hypothénufe BC, le triangle rectangle BAC, dont le petit côté AB foita, le Problême fera réfolu.

DEMONSTRATION.

PAR la conftruction AB=a, & DC-b; il ne refte donc qu'à prouver que la perpendiculaire AE qui tombe de l'angle droit A fur l'hypothénuse BC, divise BD par le milieu en E.

La proprieté du cercle donne BD x DK - DR' GD x DH; donc BD. GD ou 2 DH:: DH. DK, ou en prenant la moitié des confequens, BD. DH ou AB :: AB.

DK; donc BD DK, ou BD x DK — AB'; donc DK, ou CB. AB :: AB. ¦ BD: Mais les triangles femblables CBA, ABE donnent CB. AB :: AB. BE; donc AB. BD:: AB. BE; donc BD = BE. C. Q. F. D.

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FIG. 33. 14. UN quarré ABCD dont les côtez AB, AD font prolongez étant donné; il faut trouver fur l'un des prolongemens AE, le point E, en forte que la ligne menée par E, & par l'angle C, terminée par l'autre prolongement BF, foit égale à une autre ligne donnée KL, qui ne foit pas moindre que le double de la diagonale du quarré.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé AD, ou AB, a, KL, b; & les inconnues Д E, x; AF, yi DE fera, xa; le triangle rectangle FAE donnera AE+AF — xx+yy: = bb =( hyp.) EF', qui eft une équation au cercle. Et les triangles femblables FAE, CDE; donneront y. (FA.) x (AE) :: a (CD). x — a -a (DE); donc xy-ay=ax, qui eft une équation à l'hyperbole par raport à fes afymptotes; & ayant fait évanouiry, & ordonné l'équation, on aura:

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A. x* — 2ax' + 2aaxx+2abbx — aabb=0,

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qui eft une équation du quatriême degré, & qui ne
peut être divifée par aucun binome; c'eft pourquoi pour
déterminer quelle est la nature du Problême, il faut,
fuivant les principes de M' Defcartes, & ce que nous avons
dit article 4. n°. 18, faire évanouir le fecond terme. Soit
pour ce fujet x-a=z; donc x=2+}a;xx=
xx=22+
az + 1⁄2 aa ; x2 = 2' + { azz+}aaz+ } a'; x'
= 2 x*=2*+ zaz
+ 1⁄2 aazz + 1⁄2 a2z + 1% aa, & mettant ces valeurs de x,
de xx, de x3, & de x* dans l'équation A, elle deviendra
celle ci.

3

2

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Pour transformer prefentement l'équation B en une équation du troifiême degré, on se servira de ces deux équations:

C. ༢༢-༡༢Ñ/=༠

D. zz+yz+to, que je multiplie l'une par l'autre, pour avoir celle-ci:

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E. 2-s22— Syz — tf = o. qui est semblable à ―yyzz― tyz

+ ༢༢:

l'équation B. Mais pour abreger le calcul, j'égale les quantitez connues de chaque terme de l'équation B à de fimples lettres connues; fçavoir,

— aa— bb = p.

a' + abb =q.

16 a* — — aabb =r. De forte que l'équation B devient celle-ci.

F. 22+pzz+qz+r=0.

Je compare prefentement les deux équations Ę & F, terme à terme, chacun à fon correfpondant; ce qui me donne les trois équations fuivantes : car les deux premiers termes ne donnent rien.

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s=

L'équation I donne == & mettant en la place de, cette valeur dans les deux équations G & H, & multipliant enfuite par t, l'on a les deux fuivantes.

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L'équation K donne tt = tyypt—r, & mettant cette valeur de tt dans l'équation Z, l'on a — ty3 —

pty + 2ry=qt, d'ou l'on tire M. t =

2ry

y2+py+q 3

mettant cette valeur de t dans les équations

&

H & I, l'on

1

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2fry

y3 +py + q

=r;

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d'où faisant évanouir l'inconnue f, ôtant

les fractions, & retranchant ce qui doit être retranché, l'on aura P. y + 2py* ✦ppyy — qq = a, qui est l'équa

6

-4ryy

tion transformée, & qui fe rapportè au troifiême degré; & remettant à prefent dans l'équation P, en la place de P1 q, &r leurs valeurs, l'on aura,

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Q. y0 + aay* + b* yy — a°

· 2bby" — ayy — za” bb

- aa b1

Si l'on tente presentement toutes les divifions de cette équation par les binomes qu'on peut former par le quarré de l'inconnue y, c'est-à-dire, par yy; ( car il n'eft point ici neceffaire de les tenter par aucun autre); & par quelqu'un des diviseurs Plans du dernier terme, l'on trouvera qu'elle fe peut divifer par celui-ci..

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bbo; & le quotient fera

=

bbyy + aabb

qui eft une équation du fecond degré, & qui par confequent fait connoître que le Problême eft Plan.

Si l'on veut le réfoudre fans chercher une autre équation du fecond degré : Voici la méthode qu'on doit fuivre.

L'on a déja l'equation O.

tire T.

2y

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q Il ne s'agit plus que de chercher une valeur femblable de t; ce qui fe fait en cette forte. L'équation I donne t = 7 mettant donc cette valeur de dans les deux équations G & H, l'on aura - [yy. — ff = pfs & ry y=qf: & faifant évanouir le quarré, l'on aura ——— ·Syy··

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& cette valeur de f,

fubftituée dans l'équation I, donne après avoir ôté les

fractions, & ce qu'il y a à ôter, V. t

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Si l'on

met prefentement dans les deux équations C, & D, en la place de f, & de leurs valeurs prifes dans les deúk équations T, & V, l'on aura les deux fuivantes.

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√aa + bb. ; l'on a aussi paa bb, & q' — a3 + 'abb ;
fubftituant donc dans les deux équations, &r en la
place de y, de de
yy,
leurs valeurs, l'on aura
p, & de q, leurs valeurs ;
après les réductions ordinaires,

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sds not

༢༢ Waa + bb + 2 aa + 3 a Vaa + bb8} &

22 + z Vaa + bb + 1⁄2 aa —

SLO 23: 011 3 1⁄2 a Vaa + bb = 0, ou

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z = 1 Vaa + bb ± √ — ¦ aa + 1 bb — — a √aa + bb, &

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2 —— {√aa+bb +√ — — aa + 1⁄2 bb + 1⁄2 a √aa+bb. Mais
pour ôter le fecond terme de l'équation A, l'on a faiť
x = x — — a ; c'eft pourquoi en mettant dans les deux
༢=༔
dernieres équations, en la place de 2, la valeur x-
l'on aura les deux qui fuivent.

a;

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