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tire x =

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de trouver une équation du second degré, qui donneroit une construction beaucoup plus Limple , plus élegante, & plus naturelle. Prenons donc B D pour l'inconnue ; & F 16. 31. l'ayant nommée x; BC sera 6+x; BE, įx; & EC, I x+b; & l'on aura à cause de l'angle droit B AC, BE * EC = ***+ bx= AE : & à cause du triangle rectangle =1 AEB, l'on aura BE' + A E=***+ * *x+ { bx=aa = AB, qui se réduit à xx=- bx + 2aa; d'où l'on

{bEV166+ 2aa, qui donne cette construction,

D, étant le commencement de x qui va vers B, on Fig. 32 prendra sur CD=b, prolongée de part & d'autre, DG —20=1AB, & DH=a=AB, & ayant décrit sur =: le diametre GH, le demi cercle GRH, on élevera au point D la perpendiculaire DR, qui rencontrera la circonference en R. Er du centre O, milieu de DC=b, on décrira par R le demi cercle BRK qui coupera DG au point cherché B. De sorte que DB sera la valeur positive de x, & DK fa valeur negative; c'est pourquoi ayant décrit sur l'hypothénuse BC, le triangle rectangle BAC, dont le petit côté AB soit=a, le Problême sera réfolu.

D E M O N S T R A TI O N. Par la construction AB=a, & DC=b; il ne reste donc qu'à prouver que la perpendiculaire AE qui tombe de l'angle droit A sur l'hypothénuse BC, divise BD par le milieu en E.

La proprieté du cercle donne BD x DK=DR* GD X DH; donc BD. GD ou 2 DH :: DH. DK, ou en prenant la moitié des consequens, BD. DH OU AB :: AB. DK; donc BD x DK, ou { BD x DK= A B'; donc DK, ou CB. AB :: AB. BD: Mais les triangles semblables CBA, ABE donnent CB. AB :: AB. BE; donc AB. BD:: AB. BE; donc BD= BE.

į C. Q. F. D.

F 16.33.

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*

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PROBLÊ ME P L A N. 33. 14. Un quarré ABCD dont les cotez AB, AD font pro

longez étant donné ; il faut trouver sur l'un des prolongemens , le point E, en sorte que la ligne menée par E, & par l'angle C, terminée par l'autre prolongement BF, soit égale à une autre ligne donnée KL, qui ne soit pas moindre que le double de la diagonale du quarré.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé AD, ou A B, a; KL, b; & les inconnues A E, X; AF, Y; DE sera, x-a; le triangle rectangle FAE donnera A E + AF = xx+yy=bb=l hyp.) EF', qui est une équation au cercle. Ét les triangles semblables FAE, CDE; donneront y.(FA.) *(AE)::a (CD).x-a

-a (DE); donc

xy - ay=ax, qui est une équation à l'hyperbole par raport à ses asymptotes ; & ayant fait évanouir y, & ore donné l'équation, on aura: A. ** - 2ax' + 2aaxx + 2abbx -- aabb=0,

.

bbxx qui est une équation du quatriême degré, & qui ne peut être divisée par aucun binome ; c'est pourquoi pour déterminer quelle est la nature du Problême, il faut , suivant les principes de M'Descartes, & ce que nous avons dit article 4. no, 18, faire évanouir le second terme. Soit pour ce sujet x-{a=h; donc x=2+{a;x=+ az + aa; x'='+{ark+ 1 aaz + a'; x'='+ zaz' + aaza + { dat is a*, & mettant ces valeurs de x,

de x', & de x* dans l'équation A, elle deviendra, celle ci.

B. z* + aack + a'r + is a'

- bbzz + abbxaabb, où il n'y a point de second terme.

4

8

16

de xx,

Pour transformer presentement l'équation Ben une équation du troisième degré, on se servira de ces deux équations:

C. 32-9-S=n.

D. 25+92+t=0, que je multiplie l'une par l'autre, pour avoir celle-ci: E. * - /-- syk-ts=o. qui est semblable à

yutya

د"

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at

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l'équation B. Mais pour abreger le calcul, j'égale les quantitez connues de chaque terme de l'équation B a de simples lettres connues; sçavoir,

į aa— bb=p at abb

to ai - aabb=r. De sorte que l'équation B devient celle-ci.

F. z* + P22+92 +=0.

Je compare presentement les deux équations Ę & F, terme à terme, chacun à son correspondant ; ce qui me donne les trois équations suivantes : car les deux premiers termes ne donnent rien. G. t-yy-f=p.

- ty -- fy=9. I. - if=r. L'équation 1 donne = = & mettant en la place

I = des, cette valeur dans les deux équations G & H , & multipliant ensuite part, l'on ales deux suivantes. K. tt *-.

tyy +?=pt. L. - tty + ry=qt. L'équation K donne tt = tyy + pt ,

-tyy + pt — 4, & mettant cette valeur de tt dans l'équation L, l'on a — ty' pty + 2ry =qt, d'ou l'on tire M. t=

&

ge + py+q; mettant cette valeur de t dans les équations H &1, l'on

H.

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3

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- 2fry

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4

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aura les deux qui fuivent, N.

-fy=9,&0.

topy tq d'où faisant évanouir l'inconnue f; ôtant gel + py + 9 les fractions, & retranchant ce qui doit être retranché, l'on aura P. + 2py* + PPyy 995Q, qui eft l'équa

- 4ryy tion transformée , & qui se rapporte au troisiême degré; & remettant à present dans l'équation P., en la place de P:9, & r leurs valeurs, l'on aura, Ring + qayt + 6* yg

ao
"
- 26by — ayy— 3a*bb

da bo Si l'on tente presencement toutes les divisions de cette équation par les binomes qu'on peut former par le quarré de l'inconnue %, c'est-à-dire , par yyi ( car il n'est point ici necessaire de les tenter par aucun autre); & par quelqu'un des diviseurs Plans du dernier terme, l'on trouvera qu'elle diviser

par

celui-ci. -aa -bb=0; & le quotient fera S. y + 2aayy +a

bbyy + aabb qui est une équation du second degré; & qui par consequent fait connoître

que

le Probleme est Plan. Si l'on veut le résoudre sans chercher une autre équation du second degré: Voici la méthode qu'on doit suivre.

- 2fry L'on a déja l'equation O.

=%, d'où l'on y + dy + 9

Il ne s'agit plus que de chercher une valeur semblable de ti.ce qui se fait en cette forte. L'équation I donne t =

+= mettant donc cette valeur de : dans les deux équations G & H, l'on aura -fyy-f=pf, & ry - lly' =9f: & faisant, -f

ry + or évanouir le quarré l, l'on aura - Syy

se peut

R. yy.

0.

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tire 7.5=--==

2y

у

zry

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2y

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+

:... : ز: از

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Epf, d'où l'on tires=2; *& cette valeur de s,
Pf

j' + py-9
substituée dans l'équation i, donne après avoir ôté les

y + py-9 fractions, & ce qu'il y a de ôter, Vit

- Si l'on met presentement dans les deux équations 0,& D, en la place de f, & de t leurs valeurs prises dans les deux équations T, & V, l'on aura les deux suivantes.

go+py+q *- yt

0,& (Ceilisiin

532;9.11.30hs

py -9 KK + y2 +

©; ou

.

45FP, sis X. 24+ y2 + y + += 0, & Y. **+ y2 + f g * 4 =0:1 TID Mais l'équation R, donne

11.1

yy aa t Vaa + bb. ; l'on a ausli

pa bb, & qd' + abb; substicuant donc dans les deux équations X, & Y en la place de y, de yy, de p, & de q, leurs valeurs; l'on aura après les réductions ordinaires,

La Vaẻ + bb + 4a +} 4 Vua + b c d &
2K + ? Vaa' + bb + aa - La Vaa + b6 = 0,
K=zVaa + 66 - ad {avaa +bb, &

Jim,
༢༢ = Kvad + bb a +18 Vad tibb, dont
les racines sont,

::( 2= { vaa +66 +V-aa + $bb - ja Vaa + bb, & x=-vaa +66 +V-{aa+156+1 a Vaa+bb. Mais pour ôter le second terme de l'équation A, Pon 'a fait 2=*

c'est pourquoi en mettant dans les deux dernieres équations, en la place de la valeur x

4

a; l'on aura les deux qui suivent.

3

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P

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ou

la at

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