de trouver une équation du fecond degré, qui donneroit une conftruction beaucoup plus fimple, plus élegante, & plus naturelle. Prenons donc BD pour l'inconnue; & FIG. 31. l'ayant nommée BC fera b+x; BE, ¦ x; & EC, ¦ x+b; & l'on aura à cause de l'angle droit BAC, BE × EC = 4 xx + 1 bx = AE: & à caufe du triangle rectangle AEB, l'on aura BE+AE' = 1xx + 1 xx + 1 bx = aa AB', qui fe réduit à xx —— bx+2aa; d'où l'on • ÷ b±√ 1bb+2aa, qui donne cette con = tire x = ftruction. D, étant le commencement de x qui va vers B, on FIG. 32 prendra fur CD=b, prolongée de part & d'autre, DG =2a=2AB, & DH—a— AB, & ayant décrit fur le diametre GH, le demi cercle GRH, on élevera au point D la perpendiculaire DR, qui rencontrera la cirConference en R. Et du centre O, milieu de DC=b, on décrira par R le demi cercle BRK qui coupera DG au point cherché B. De forte que DB fera la valeur pofitive de x, & DK fa valeur negative; c'eft pourquoi ayant décrit fur l'hypothénufe BC, le triangle rectangle BAC, dont le petit côté AB foita, le Problême fera réfolu. DEMONSTRATION. PAR la conftruction AB=a, & DC-b; il ne refte donc qu'à prouver que la perpendiculaire AE qui tombe de l'angle droit A fur l'hypothénuse BC, divise BD par le milieu en E. La proprieté du cercle donne BD x DK - DR' GD x DH; donc BD. GD ou 2 DH:: DH. DK, ou en prenant la moitié des confequens, BD. DH ou AB :: AB. DK; donc BD DK, ou BD x DK — AB'; donc DK, ou CB. AB :: AB. ¦ BD: Mais les triangles femblables CBA, ABE donnent CB. AB :: AB. BE; donc AB. BD:: AB. BE; donc BD = BE. C. Q. F. D. 2 FIG. 33. 14. UN quarré ABCD dont les côtez AB, AD font prolongez étant donné; il faut trouver fur l'un des prolongemens AE, le point E, en forte que la ligne menée par E, & par l'angle C, terminée par l'autre prolongement BF, foit égale à une autre ligne donnée KL, qui ne foit pas moindre que le double de la diagonale du quarré. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé AD, ou AB, a, KL, b; & les inconnues Д E, x; AF, yi DE fera, xa; le triangle rectangle FAE donnera AE+AF — xx+yy: = bb =( hyp.) EF', qui eft une équation au cercle. Et les triangles femblables FAE, CDE; donneront y. (FA.) x (AE) :: a (CD). x — a -a (DE); donc xy-ay=ax, qui eft une équation à l'hyperbole par raport à fes afymptotes; & ayant fait évanouiry, & ordonné l'équation, on aura: A. x* — 2ax' + 2aaxx+2abbx — aabb=0, qui eft une équation du quatriême degré, & qui ne 3 2 ༢ Pour transformer prefentement l'équation B en une équation du troifiême degré, on se servira de ces deux équations: C. ༢༢-༡༢Ñ/=༠ D. zz+yz+to, que je multiplie l'une par l'autre, pour avoir celle-ci: E. 2-s22— Syz — tf = o. qui est semblable à ―yyzz― tyz + ༢༢: l'équation B. Mais pour abreger le calcul, j'égale les quantitez connues de chaque terme de l'équation B à de fimples lettres connues; fçavoir, — aa— bb = p. a' + abb =q. 16 a* — — aabb =r. De forte que l'équation B devient celle-ci. F. 22+pzz+qz+r=0. Je compare prefentement les deux équations Ę & F, terme à terme, chacun à fon correfpondant; ce qui me donne les trois équations fuivantes : car les deux premiers termes ne donnent rien. s= L'équation I donne == & mettant en la place de, cette valeur dans les deux équations G & H, & multipliant enfuite par t, l'on a les deux fuivantes. L'équation K donne tt = tyypt—r, & mettant cette valeur de tt dans l'équation Z, l'on a — ty3 — pty + 2ry=qt, d'ou l'on tire M. t = 2ry y2+py+q 3 mettant cette valeur de t dans les équations & H & I, l'on 1 2fry y3 +py + q =r; d'où faisant évanouir l'inconnue f, ôtant les fractions, & retranchant ce qui doit être retranché, l'on aura P. y + 2py* ✦ppyy — qq = a, qui est l'équa 6 -4ryy tion transformée, & qui fe rapportè au troifiême degré; & remettant à prefent dans l'équation P, en la place de P1 q, &r leurs valeurs, l'on aura, Q. y0 + aay* + b* yy — a° · 2bby" — ayy — za” bb - aa b1 Si l'on tente presentement toutes les divifions de cette équation par les binomes qu'on peut former par le quarré de l'inconnue y, c'est-à-dire, par yy; ( car il n'eft point ici neceffaire de les tenter par aucun autre); & par quelqu'un des diviseurs Plans du dernier terme, l'on trouvera qu'elle fe peut divifer par celui-ci.. bbo; & le quotient fera = bbyy + aabb qui eft une équation du fecond degré, & qui par confequent fait connoître que le Problême eft Plan. Si l'on veut le réfoudre fans chercher une autre équation du fecond degré : Voici la méthode qu'on doit fuivre. L'on a déja l'equation O. tire T. 2y q Il ne s'agit plus que de chercher une valeur femblable de t; ce qui fe fait en cette forte. L'équation I donne t = 7 mettant donc cette valeur de dans les deux équations G & H, l'on aura - [yy. — ff = pfs & ry y=qf: & faifant évanouir le quarré, l'on aura ——— ·Syy·· & cette valeur de f, fubftituée dans l'équation I, donne après avoir ôté les fractions, & ce qu'il y a à ôter, V. t Si l'on met prefentement dans les deux équations C, & D, en la place de f, & de leurs valeurs prifes dans les deúk équations T, & V, l'on aura les deux fuivantes. √aa + bb. ; l'on a aussi paa bb, & q' — a3 + 'abb ; sds not ༢༢ Waa + bb + 2 aa + 3 a Vaa + bb8} & 22 + z Vaa + bb + 1⁄2 aa — SLO 23: 011 3 1⁄2 a Vaa + bb = 0, ou z = 1 Vaa + bb ± √ — ¦ aa + 1 bb — — a √aa + bb, & 5 2 —— {√aa+bb +√ — — aa + 1⁄2 bb + 1⁄2 a √aa+bb. Mais a; |