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à l'autre, donneront une équation qui resoudra le Problême, qui sera déterminé, fi elle ne renferme qu'une seule lettre inconnue.

Mais si elle renferme plusieurs lettres inconnues, il faut tâcher

par

le
moyen

des differentes conditions du Problême de trouver autant d'équations que l'on aura employé de lettres inconnues, afin que les faisant évanouir, de la maniere qu'il est enseigné dans tous les livres d’Algebre, l'on ait enfin une équation qui n'en renferme qu'une leule ; cette équation étant reduite , s'il est necessaire , à ses plus simples termes par les manieres ordinaires expliquées dans les mêmes livres d'Algebre, donnera la solution du Problême qui sera encore déterminé.

Si l'on ne peut trouver autant d'équacions que l'on a employé de lettres inconnues, de sorte qu'il reste au moins deux inconnues dans la derniere équation, le Probleme sera indéterminé, & aura une infinité de solucions. Enfin, si dans la derniere équation il restoit trois ou un plus grand nombre de lettres inconnues, le Probleme seroit encore indéterminé, mais il seroit d'une autre espece dont nous ne parlerons point.

il est souvent facile de reconnoître par les qualitez d'un Problême, s'il est déterminé ou indéterminé ; auquel cas on sçait, si ayant employé deux inconnues, on doit trou. ver deux équations, ou si l'on n'en doit trouver qu'une seule : mais il arrive aussi quelquefois que cela n'est pas fi facile à distinguer, & c'est en ce cas qu'il faut râcher de trouver autant d'équations qu'on a employé d'inconnues, afin de déterminer par ce moyen la qualité du Problême.

On n'explique point plus au long ce principe ; car tout ce Traité n'en est que l'application. On se contentera de faire ici quelques réflexions sur les équations qui ne contiennent qu'une seule, ou deux lettres inconnues, c'està-dire sur les équations déterminées, & sur les indéterminées.

DES

کر

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a

1

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-:comme x =

Des EQUATIONS DETERMINE’ES. 3.

ON sçait que la lettre inconnue de ces équations, a autant de valeurs ou de racines, qu'elle a de dimensions dans le terme où elle est le plus élevée, que ces valeurs sont vrayes, fausses, ou imaginaires; on ne dit pas qu'elles soient toutes d'une même espece dans une même équation: car dans une même équation il y en a quelquefois des trois especes, de vrayes, de fausses & d'imaginaires.

Les racines vrayes ou positives sont celles qui sont précedées du signe +: comie x=+a.

Les racines fausses ou negatives sont celles qui font pré. cedées du signe

a. Les racines fausses sont d'un grand usage dans la Geometrie; car comme elles sont autant réelles que les racines positives, elles servent à déterminer les positions des courbes autant que les

positives, dont elles ne different qu'en ce que les positives devant être prises d'un côté d'un point ou d'une ligne, les fausses doivent être prises de l'autre, comme on verra dans la suite.

Les racines imaginaires sont celles qui sont sous un signe radical avec le signe-, dont l'exposant est un nombre pair: comme x=V-ab; & comme la valeur de ces racines ne peut être exprimée, on les regarde comme nulles ou=0; de sorte que x=V-ab doit être regardée comme x=0.

Dans toutes les équations où il n'y a que deux termes tous deux positifs, l'un connu & l'autre inconnu, si l'exposant de l'inconnue est un nombre pair, elle aura deux valeurs réelles, l'une positive & l'autre negative ; toutes les autres seront imaginaires. Par exemple, de xx=aa, l'on tire x=+a, &x=-a; car en quarrant les deux membres de ces deux équations l'on a toujours xx=aa, puisque donne + aussi bien que +x+, & en general de xP = a (p. signifie un nombre pair quelconque ) l'on tire x= + a: ce qui se prouve comme on vient de faire, en élevant l'un & l'autre membre à la puissance paire p; car l'on aura toujours x=+a'.

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X

=

B

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Si l'un des termes est positif & l'autre negatif, toutes les valeurs de l'inconnue feront imaginaires: car on n'aura jamais le signe de après avoir élevé une quantité negative à une puissance paire : par exemple — a'élevé à une puissance paire p donnera toujours +a, & jamais — a?.

Si l'exposant de l'inconnue est un nombre impair, l'inconnue n'aura qu'une racine réelle qui est positive, lorsque

les deux termes des équations sont positifs; negative lorsqu'un d'eux est negatif, toutes ses autres racines sont imaginaires : par exemple, de x=a', on tire x=a,& non pas x=-a,& de x'=-d',on tire x=-a & non pas x=a; car le cube d'une grandeur positive est toujours positif, & celui d'une quantité negative est toujours negatif

. Er en general de x'=+a! ( q lignifie un nombre impair ) on tire x=+a; de même, de x=-al on tire x=-a: car+a élevé à une puissance impaire q donne + a':&-a élevé à une puissance impaire q donne toujours - al.

On fera les mêmes raisonnemens sur les équations composées : par exemple xx=aa + bb donne x=+ Vaa + bb, xx=aabb donne x=

-bb donne x=+Vaa - 66: mais en ce cas fi b surpasse a, les deux valeurs de x seront imaginaires. xx=+ax F bb donnex=+;a+v1aa76b:ca en transposant l'on aura xx Fax=bb; & ajoutant aa de part & d'autre pour rendre le premier membre quarré, l'on aura xx Fax + aa= aa 7 bb; donc en extrayant la racine quarrée de part & d'autre, l'on a xt 1 La=+VI aa Fbb, ou x=+a+v1 aa Fbb. Il en est ainsi des autres. Mais il faut remarquer que si dans ce dernier exemple, & dans les semblables , bb a le signe de – , & que b surpasse {a, la valeur de x sera imaginaire ; car puisque la quantité aa bb qui est sous le signe radical, est alors negative Vaa66 sera une. quantité imaginaire ; & par consequent aussi + ja+

C

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=

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ab me x =

~ 1 V aa-bb: car une quantité imaginaire érant combinée par

addition ou soustraction avec une quantité réelle, rend le tout imaginaire.

4. On connoît la nature d'un Problême déterminé par le plus haut degré, ou ce qui est la inême chose, par la plus haute puissance de l'inconnue, qui se trouve dans l'équation qui sert à le résoudre, en suppofant que cette équation soit réduite à son expression la plus simple. De sorte que lorsqu'en résolvant un Problême, on vient à une équation où l'inconnue n'a qu'une dimension : com

qui est une équation du premier degré, le Problême est appellé fimple.

Lorsqu'on trouve une équation où l'inconnue a deux dimensions : comme xx=ax+bb, qui est une équation du second degré, le Problême est nommé plan.

Lorsqu'on trouve une équation où l'inconnue a trois ou quatre dimensions, comme x=aab, ou x =a'b,

'

* qui sont des équations du troisiême & du quatriême degré, le Problême est nommé solide.

Lorsqu'on vient à une équation où l'inconnue est élevée au-delà du 4° degré, le Problême est nommé lineaire.

s. Quand une équation déterminée a tous ses termes, le nombre en est plus grand de l'unité , que l'exposant de la plus haute puissance de la lettre inconnue qu'elle renferme. Ainsi une équation du second degré ne peut avoir que trois termes ; une équation du troisième degré, n'en peut avoir que quatre; une du quatriệme, cinq'; & ainsi des autres. Mais il y manque souvent quelqu'un des termes moyens, quelquefois il en manque plusieurs, & quelquefois ils y manquent tous.

Le premier terme d'une équation, est celui où l'inconnue elè élevée à une puissance plus haute que dans tout autre terme. Le second , est celui où elle est moins élevée d'une dimension. Le troisième, celui où elle est moins élevée de deux dimensions ; & ainsi de suite. Le dernier, est celui où elle ne se trouve point du tout.

Mais il faut remarquer qu'il se rencontre souvent dans une équation des termes complexes, ou composez de plusieurs quantitez Algebriques, jointes ensemble par + ou par —, qui sont ceux où l'inconnue se trouve élevée à la même puissance , ou bien ceux où elle ne se trouve point du tout. Par exemple, ces quantitez axx ---b*x+ cxx, ou abb-bec+do, ne doivent être regardées que comme un seul terme.

On écrit ordinairement le premier terme d'une équation seul dans le premier membre, & tous les autres dans le second , selon leur ordre; ou bien on les égale tous à zero , en les écrivant tous dans le premier membre de l'équation, selon leur ordre ; & en écrivant o seul dans le deuxiéme, en observant que le premier soit toujours simple, & délivré de toute quantité connue, comme on voit dans l'équation suivante. x} + bxx abx tea.

Cxx + bcx aab

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DES EQUATIONS INDETERMIN E’E S. 111. Les équations où il se rencontre deux lettres in

. connues, qu'on appelle aussi équations locales, servent à construire les Problêmes indéterminez, comme celles où il ne s'en rencontre qu'une, servent à construire les Problêmes déterminez. Mais parceque tant qu'il y a dans une équation deux lettres inconnues, en les regardant comme telles, on ne peut connoître ni l'une ni l'autre; c'est pour cela qu'on est obligé d'assigner à l'une des deux, une valeur arbitraire ; & la regardant ensuite comme donnée, on pourra connoître la valeur de l'autre.

Et comme on peut assigner à la même inconnue une infinité de valeurs l'une après l'autre, l'autre inconnue en pourra aussi avoir une infinité. Mais en donnant ainsi differentes valeurs à une des inconnues d'une équation,

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