EXEMPLE V I. FIG. 43. 6. LES parallelogrammes BD, CE, & les triangles ABC, DCF qui ont méme hauteur AG, font entr'eux comme leurs bafes BC, CF. Ayant nommé BC, a; CF,b; & la hauteur AG, c; l'on aura ac = au parallelogramme BD que je nomme, x, & bc = au parallelogramme CE, que je nomme y; il faut démontrer que x (BD). y. (CE) :: a. b. DEMONSTRATΙΟΝ. PUISQUE ISQUE x x = = ac, ac, & y = bc, l'on a x. y :: ac. bc; donc bcx=acy, ou bx=ay; donc x. y :: a. b. C. Q.F.D. C'est la même chose pour les triangles. EXEMPLE VII. Theorême. FIG.44.7. LES triangles semblables ABC, DEF, font entr'eux comme les quarrez de leurs côtez homologucs AB, DE. Ayant nommé AB, a; BC,b; DE, c; EF, d; le triangle ABC, x; & le triangle DEF, y; les produits ab (AB × BC), & cd (DE × BF) seront en même raison que les triangles ABC, & DEF, ou x, & y; c'est pourquoi l'on aura ab. cd :: x. y; donc cdx = aby : mais la ressemblance de ces triangles donne a. (AB) b :: (BC) :: c ( DE )d.(EF); donc ad=bc; donc d= ; & mettant cette valeur de d dans la premiere équation, l'on aura box = aby, ou ccx = aay; donc x. y :: aa . cc :: AB2. DE2. C. Q. F. D. a L'on démontrera de même, que tous les polygones semblables sont entr'eux comme les quarrez de leurs côtez homologues. Et comme les cercles sont aussi des polygones semblables d'une infinité de côtez, dont les diametres font les côtez homologues; il suit que les cercles sont entr'eux comme les quarrez de leurs diametres, ce que l'on démontre aussi facilement que pour les triangles semblables. EXEMPLE VIII. Theoreme. 8.LES folides semblables font entr'eux comme les cubes de leurs còtez homologues. Soient deux Spheres AB & CD; ayant nommé le F 16.45, diametre AB de la Sphere AB, a; sa circonference 6; 46. le diametre CD de la Sphere CD, b; sa circonference, d; la Sphere AB, x; & la Sphere CD, y. Il faut démontrer que x. y :: a, b. DE'MONSTRATION. LA Sphere AB est égale à 6 & la Sphere CD=0; donc x. y::. bd :: aac. bbd; donc bbdx = aacy: Mais les cercles étant des polygones semblables, leurs diametres sont comme leurs circonferences ; c'est pourquoi a. b :: c.d; donc ad = bc ; & partant d = ; mettant donc cette valeur de d dans la premiere équa bc a x. y :: On démontrera la même chose, & de la même ma niere pour les autres solides semblables. EXEMPLE IX. Theorême. 9.LES triangles ABC, DEF dont les bases BC, EF, & F16. 47. les hauteurs AG, DH font en raison reciproque, font égaux. L 2 bd 2 Ayant nommé BC, a; EF, b; AG,c; DH, d; le triangle ABC, x; & le triangle DEF, y; l'on aura le triangle ABC = = x, & le triangle DEF = = y; donc 쓸.쁠 :: ac. bd; donc bdx = acy: acy : Mais (Hyp) a. b :: d.c; donc ac = bd; c'est pourquoi la premiere équation bdx = acy devient x = y, ABC =DEF. C. Q. F. D. x.y :: 2 • 2 On démontrera de la même maniere que les parallepipedes, les prifmes, les cilindres, les cones & les piramides, dont les bases & les hauteurs font en raison reciproque, sont en raison d'égalité. On ne donnera pas davantage d'exemples de la Méthode de démontrer par l'Algebre les Theorêmes de Geometrie : car les quatre Sections suivantes, où l'on démontrera les proprietez les plus considerables des Sections coniques, en fourniront un assez grand nombre. FIG. 48, IX. I. 49, 50. Ο N appelle Section Conique, une ligne courbe IDH, qui est la commune Section d'un Plan EDF, & de la superficie d'un Cone ABC, dont A est le sommet; & la base est un cercle dont le diametre est BC. 2. Le triangle ABC est appellé le triangle par l'axe; parcequ'il est la commune Section du Cone & du Plan qui passe par le sommet A, & par le diametre BC de la base, & que l'axe du Cone, est dans le Plan du même triangle ABC. SUPPOSITION. 3. ON suppose que le Plan EDF, est perpendiculaire au Plan du triangle ABC, & que le plan du triangle ABC, est perpendiculaire à la base du Cone. COROLLAIRE. 4. D'où il fuit que DG, qui est la commune Section du Plan EDF, & du triangle A BC, est perpendiculaire à EGF, qui est la commune Section du même Plan EDF, & de la base du Cone ; & que la même EGF, est perpendiculaire à BC; & par confequent coupée (Fig. 48, & 50.) par le milieu en G; d'où l'on conclura aussi que fi l'on mene par quelque point Z de la ligne DG, une ligne MN parallele à BC, & une autre ligne IH parallele à EF; ces deux lignes MN, & IH, seront dans un Plan parallele à la base du Cone, dont la commune Section avec la superficie du Cone, sera un cercle qui passera par les points M, I, N, H, & dont le diametre sera MN, qui coupera à angles droits, & par le milieu en Z, la ligne IH. Il suit aussi que le point D, qui est commun à la courbe IDH, & au côté AB du triangle ABC, est plus près du sommet A dans les suppositions précedentes, que tout autre point de la même courbe. 5. LA Section conique IDH, est nommée parabole, F16.48. lorsque le Plan coupant EDF, est parallele à un des côtez AC du Cone ou du triangle ABC; DG eft nommée l'axe de la parabole; D, son sommet, DL, l'abciffe, ou la coupée ; IL, ou LH, l'appliquée, ou l'ordonnée à l'axe. 6. La Section conique ID H, est appellée, ellipse, lors- F1G. 49. que le Plan coupant EDF, coupe les deux côtez AB, AC du Cone ou du triangle par l'axe, & n'est point parallele à la base du Cone, La ligne Dd est nommée l'axe, ou diametre principal; le point K milieu de Dd, le centre; la ligne KR menée par le centre K perpendiculaire à Dd, l'axe, ou le diametre conjugué à l'axe Dd; DL, l'ab. cisse ou la coupée; LI ou LH, l'ordonnée ou l'appliquée à l'axe Dd. Il peut arriver un cas où la Section est un cercle, quoique le Plan coupant ne soit point parallele à la base du Cone: mais cela ne fait rien à notre dessein. FIG.50. 7. La Section conique IDH, est appellée hyperbole, lorsque le Plan coupant EDF, coupe aussi la superficie conique oppofée, & y forme une autre hyperbole edf, opposée à la premiere, que l'on démontrera ailleurs lui être égale, & femblable; Dd est nommée l'axe déterminé de l'hyperbole, ou des hyperboles opposées ; D, & d, le fommet de l'axe Dd; DL, l'abcisse, ou la coupée ; LI, ou LH, l'appliquée; ou l'ordonnée; le point K milieu de Dd, le centre. FIG. 48. 8. EN supposant les mêmes choses que l'on a supposées dans la Figure où la courbe IDH est une parabole; & outre cela, fi on mene DO parallele à BC, ou à MN; si on prend AP =DO, & qu'on mene PQ parallele à DO, ou à MN. Je dis que D L x PQ=LI=LH'. Puisque le Plan coupant EDF est (no. 5.) parallele à 'AC, AP = DO fera = LN; & ayant nommé les données A0, b; DO, où AP, ou LN, c; PQ, p'; & les inconnues DL, x; & LI, y. Il faut prouver que px (PQ x DL)=yy (LI'). LEs triangles semblables AOD, DLM, donnent AO |