FIG. 43: X E aC &y= . E X EMPLE V I. Theorême. 6. Les parallelogrammes BD, CE, & les triangles ABC, DCF qui ont même hauteur AG, font entr'eux comme leurs bases BC, CF. Ayant nommé BC, a; CF, 6; & la hauteur AG, (; l'on aura ac = au parallelogramme B D que je nomme *, & bc=au parallelogramme CE, que je nomme y; il faut démontrer que x(BD). y.(CE) :: a. b. D E'M ONS I RATION. Theorême. comme les quarrez de leurs côtex homologucs AB, , DE. Ayant nommé AB, a; BC,b; De,c; EF,d; le triangle ABC, *;& le triangle DEF,y; les produits ab(AB x BC), & cd ( DER BF) seront en même raison que les triangles ABC, & DEF, ou x, &y; c'est pourquoi l'on aura ab. , cd :: x. y; donc cdx = aby : mais la ressemblance de ces triangles donne a.(AB) 6:: (BC)::((DE) d.(EF); donc ad=bc; donc d=b; & mettant cette valeụr de d dans la premiere équation, l'on aura bet = aby , ou = ccx=aay; donc x.y::aa. cc :: AB?. DEP. C. Q.F.D. L'on démontrera de même, que tous les polygones semblables sont entr'eux comme les quarrez de leurs côtez homologues. Et comme les cercles sont aussi des polygones semblables d'une infinité de côtez, dont les E . > diametres sont les côtez homologues ; il suit que les cer- Theoréme. Soient deux Spheres AB & CD; ayant nommé le F 16.45, diametre AB de la Sphere AB, a; la circonference r; 46. le diametre CD de la Sphere CD, b; la circonference, d; la Sphere AB, x; & la Sphere CD, y. Il faut démontrer que x.y :: à", b'. DE'MONSTRATION. LA Sphere AB est égale à re, & la Sphere CD=6d; donc x. y:: 4. bbd :: aac . :: aac. bbd ; donc bbdx aacy: Mais les cercles étant des polygones semblables, leurs diametres sont comme leurs circonferences ; c'est pourquoi a. b :: C. a. 6::c.d; donc ad = bc; & partant d=b; mettant donc cette valeur de d dans la premiere équation, l'on a aacy, ou b'x=dy; donc x. y::a'. b'. C. Q. F.D. On démontrera la même chose , & de la même maniere pour les autres solides semblables. bhd 6) = di bc b'cx ። EX EMPLE IX. Theorême. ES triangles ABC, DEF dont les bases B C, EF, & FIG. 47. les hauteurs AG, DH sont en raison reciproque , sont égaux. لا bd AC 2 Ayant nommé BC, a; EF, b, AG,C; DH,d; le = donc ac = bd; c'est pourquoi acy x=y, ABC que les parallepipedes, les prismes, les cilindres, les cones & les pirami. des, dont les bases & les hauteurs sont en raison reciproque, sont en raison d'égalité. On ne donnera pas davantage d'exemples de la Méchode de démontrer par l’Algebre les Theorêmes de Geometrie : car les quatre Sections suivantes, où l'on démontrera les proprietez les plus considerables des Sections coniques, en fourniront un assez grand nombre. SECTION I V. DÉFINITIONS GENERALES. FIG. 48, IX. 1. N appelle Section Conique , une ligne courbe 49, so IDH, qui est la commune Section d'un Plan E D F, & de la superficie d'un Cone ABC, dont A est le sommet; & la base est un cercle dont le diametre est BC. 2. Le triangle ABC est appellé le triangle par l'axe; parcequ'il est la commune Section du Cone & du Plan qui passe par le sommer A , & par le diametre BC de la base, & que l'axe du Cone, est dans le Plan du même triangle A BC. SUPPOSITION. 3. ON suppose que le Plan EDF, est perpendiculaire au Plan du triangle ABC, & que le plan du triangle ABC, est perpendiculaire à la base du Cone. COROLLA IR E. 4. D'où il suit que DG, qui est la commune Se&ion du Plan EDF, & du triangle ABC, est perpendiculaire à EGF, qui est la commune Section du même Plan EDF, & de la base du Cone ; & que la même EGF, est perpendiculaire à BC; & par consequent coupée ( Fig. 48, & so.) par le milieu en G; d'où l'on conclura aussi que l'on mene par quelque point i de la ligne DG, une ligne MN parallele à BC, & une autre ligne IH parallele à EF; ces deux lignes MN, & IH, leront dans un Plan parallele à la base du Cone, dont la commune Section avec la superficie du Cone, sera un cercle qui passera par les points M,1,N, H, & dont le diametre sera MN, qui coupera à angles droits, & par le milieu en 1, la ligne IH. Il suit aussi que le point D, qui est commun à la courbe IDH, & au côté À B du triangle ABC, est plus près du sommet A dans les suppositions précedentes, que tout autre point de la même courbe. 1 DE FINITIONS PARTICULIER ES. s. L A Section conique IDH, est nommée parabole , F 16.48 lorsque le Plan coupant E D F, est parallele à un des côtez AC du Cone ou du triangle ABC; DG est nommée l'axe de la parabole; D, fon sommet, DL, l'abcisse, ou la coupée ; IL, ou LH, l'appliquée , ou l'ordonnée à l'axe. 6. La Section conique IDH , est appellée, ellipse , lors- F16.49. que le Plan coupant' E DF, coupe les deux côtez AB, AC du Cone ou du triangle par l'axe, & n'est point parallele à la base du Cone, La ligne Dd est nommée l'axe, 2 ou diametre principal; le point K milieu de Dd, le centre ; la ligne VKR menée par le centre K perpendiculaire à Dd, l'axe, ou le diametre conjugué à l'axe Dd; DL, l'ab. cisse ou la coupée ; LI ou LH, l'ordonnée ou l'appliquée à ; l'axe Dd. Il peut arriver un cas où la Section est un cercle, quoique le Plan coupant ne soit point parallele à la bale du Cone : mais cela ne fait rien à notre dessein. 7. La Section conique IDH, est appellée hyperbole, lorsque le Plan coupant EDF, coupe aussi la superficie conique opposée, & y forme une autre hyperbole edf , opposée à la premiere, que l'on démontrera ailleurs lui être égale, & semblable; Dd est nommée l'axe déterminé de l'hyperbole , ou des hyperboles opposées ; D, & d, le sommet de l'axe Dd; DL, l'abcisse, ou la coupée; LI, ou ZH, l'appliquée ; ou l'ordonnée; le point K milieu de Dd, FIG. 50. le centre. N PROPOSITION I. Theorême. F16.48. 8. En supposant les mêmes choses que l'on a supposées dans la Figure où la courbe ID H est une parabole ; & outre cela, fi on mene DO parallele à BC, ou à MN; si on prend AP DO, & qu'on mene P Q parallele à DO, ou à MN. Je dis que D L x PQ=LI=LH'. Puisque le Plan coupant EDF est( no. s.) parallele à AC, AP = DO sera = IN; & ayant nommé les données A0,6; DO, ou AP, ou LN,'; Plip; & les inconnues DL, *; & LI, 3. Il faut prouver que px (PQ DZ)=yy ( ZI'). D E'M ONS I RATIO.N. LEs triangles femblables AOD, DLM, donnent AO 16).0 D (C) :: DL6*). LM=: Or (no. 4.), & par on la proprieté du cercle ( LMR LN)=(LI)=yy: |
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