Imágenes de páginas
PDF
EPUB

FIG. 43:

[ocr errors]

X

[ocr errors]

E aC

&y=

.

E X EMPLE V I.

Theorême. 6. Les parallelogrammes BD, CE, & les triangles ABC, DCF qui ont même hauteur AG, font entr'eux comme leurs bases BC, CF.

Ayant nommé BC, a; CF, 6; & la hauteur AG, (; l'on aura ac = au parallelogramme B D que je nomme *, & bc=au parallelogramme CE, que je nomme y; il faut démontrer que x(BD). y.(CE) :: a. b.

D E'M ONS I RATION.
PUISQUE x = ac, & y be, l'on a x. y :: ac. bc;
donc box=acy, ou bx=ay; donc x.y::a.b.c.Q.F.D.
C'est la même chose pour les triangles.
EX EMPLE VII.

Theorême.
F16.44.7. Les triangles semblables ABC, DEF; font entr'eux

comme les quarrez de leurs côtex homologucs AB, , DE.

Ayant nommé AB, a; BC,b; De,c; EF,d; le triangle ABC, *;& le triangle DEF,y; les produits ab(AB x BC), & cd ( DER BF) seront en même raison que

les triangles ABC, & DEF, ou x, &y; c'est pourquoi l'on aura ab.

, cd :: x. y; donc cdx = aby : mais la ressemblance de ces triangles donne a.(AB) 6:: (BC)::((DE) d.(EF); donc ad=bc; donc d=b; & mettant cette valeụr de d dans la premiere équation, l'on aura bet = aby , ou

= ccx=aay; donc x.y::aa. cc :: AB?. DEP. C. Q.F.D.

L'on démontrera de même, que tous les polygones semblables sont entr'eux comme les quarrez de leurs côtez homologues. Et comme les cercles sont aussi des polygones semblables d'une infinité de côtez, dont les

E

.

[ocr errors]
[ocr errors]

>

diametres sont les côtez homologues ; il suit que les cer-
cles sont entr'eux comme les quarrez de leurs diametres,
ce que l'on démontre aussi facilement que pour les crian- .
gles semblables.
EX EMPLE. VIII.

Theoréme.
8.LES solides semblables sont entr'eux comme les cubes de
leurs côtez homologues.

Soient deux Spheres AB & CD; ayant nommé le F 16.45, diametre AB de la Sphere AB, a; la circonference r; 46. le diametre CD de la Sphere CD, b; la circonference, d; la Sphere AB, x; & la Sphere CD, y. Il faut démontrer que x.y :: à", b'.

DE'MONSTRATION. LA Sphere AB est égale à re, & la Sphere CD=6d; donc x. y:: 4. bbd :: aac . :: aac. bbd ; donc bbdx

aacy: Mais les cercles étant des polygones semblables, leurs diametres sont comme leurs circonferences ; c'est pourquoi a. b :: C.

a. 6::c.d; donc ad = bc; & partant d=b; mettant donc cette valeur de d dans la premiere équation, l'on a aacy, ou b'x=dy; donc x. y::a'. b'. C. Q. F.D.

On démontrera la même chose , & de la même maniere pour les autres solides semblables.

bhd

6)

[ocr errors]

=

di

bc

b'cx

[ocr errors]

EX EMPLE IX.

Theorême. ES triangles ABC, DEF dont les bases B C, EF, & FIG. 47. les hauteurs AG, DH sont en raison reciproque , sont égaux.

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

لا

bd

[ocr errors]

AC
2

[ocr errors]
[ocr errors]

2

[ocr errors]

Ayant nommé BC, a; EF, b, AG,C; DH,d; le
triangle ABC, *; & le triangle DEF,y; l'on aura le
triangle ABC= the =*, & le triangle DEF=
=y; donc x.y :: b :: ac. bd ; donc bdx = acy:
=

=
Mais ( Hyp) a. b::d.

donc ac = bd; c'est pourquoi
la premiere équation bdx

acy
devient

x=y, ABC
- DEF. C. l. F. D.
On démontrera de la même maniere

que

les parallepipedes, les prismes, les cilindres, les cones & les pirami. des, dont les bases & les hauteurs sont en raison reciproque, sont en raison d'égalité.

On ne donnera pas davantage d'exemples de la Méchode de démontrer par l’Algebre les Theorêmes de Geometrie : car les quatre Sections suivantes, l'on démontrera les proprietez les plus considerables des Sections coniques, en fourniront un assez grand nombre.

SECTION I V.
Des Sećtions du Cone Om du Cilindre.

DÉFINITIONS GENERALES.

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

FIG. 48, IX. 1. N appelle Section Conique , une ligne courbe 49, so

IDH, qui est la commune Section d'un Plan E D F, & de la superficie d'un Cone ABC, dont A est le sommet; & la base est un cercle dont le diametre est BC.

2. Le triangle ABC est appellé le triangle par l'axe; parcequ'il est la commune Section du Cone & du Plan qui passe par le sommer A , & par le diametre BC de la base, & que l'axe du Cone, est dans le Plan du même triangle A BC.

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

SUPPOSITION. 3. ON suppose que le Plan EDF, est perpendiculaire au Plan du triangle ABC, & que le plan du triangle ABC, est perpendiculaire à la base du Cone.

COROLLA IR E. 4. D'où il suit que DG, qui est la commune Se&ion du Plan EDF, & du triangle ABC, est perpendiculaire à EGF, qui est la commune Section du même Plan EDF, & de la base du Cone ; & que la même EGF, est perpendiculaire à BC; & par consequent coupée ( Fig. 48, & so.) par le milieu en G; d'où l'on conclura aussi

que l'on mene par quelque point i de la ligne DG, une ligne MN parallele à BC, & une autre ligne IH parallele à EF; ces deux lignes MN, & IH, leront dans un Plan parallele à la base du Cone, dont la commune Section avec la superficie du Cone, sera un cercle qui passera par les points M,1,N, H, & dont le diametre sera MN, qui coupera à angles droits, & par le milieu en 1, la ligne IH.

Il suit aussi que le point D, qui est commun à la courbe IDH, & au côté À B du triangle ABC, est plus près du sommet A dans les suppositions précedentes, que tout autre point de la même courbe.

1 DE FINITIONS PARTICULIER ES. s. L A Section conique IDH, est nommée parabole , F 16.48 lorsque le Plan coupant E D F, est parallele à un des tez AC du Cone ou du triangle ABC; DG est nommée l'axe de la parabole; D, fon sommet, DL, l'abcisse, ou la coupée ; IL, ou LH, l'appliquée , ou l'ordonnée à l'axe.

6. La Section conique IDH , est appellée, ellipse , lors- F16.49. que le Plan coupant' E DF, coupe les deux côtez AB, AC du Cone ou du triangle par l'axe, & n'est point parallele à la base du Cone, La ligne Dd est nommée l'axe,

2

ou diametre principal; le point K milieu de Dd, le centre ; la ligne VKR menée par le centre K perpendiculaire à Dd, l'axe, ou le diametre conjugué à l'axe Dd; DL, l'ab. cisse ou la coupée ; LI ou LH, l'ordonnée ou l'appliquée à

; l'axe Dd.

Il peut arriver un cas où la Section est un cercle, quoique le Plan coupant ne soit point parallele à la bale du Cone : mais cela ne fait rien à notre dessein.

7. La Section conique IDH, est appellée hyperbole, lorsque le Plan coupant EDF, coupe aussi la superficie conique opposée, & y forme une autre hyperbole edf , opposée à la premiere, que l'on démontrera ailleurs lui être égale, & semblable; Dd est nommée l'axe déterminé de l'hyperbole , ou des hyperboles opposées ; D, & d, le sommet de l'axe Dd; DL, l'abcisse, ou la coupée; LI, ou ZH, l'appliquée ; ou l'ordonnée; le point K milieu de Dd,

FIG. 50.

le centre.

N

PROPOSITION I.

Theorême. F16.48. 8. En supposant les mêmes choses que l'on a supposées dans

la Figure la courbe ID H est une parabole ; & outre cela, fi on mene DO parallele à BC, ou à MN; si on prend AP

DO, & qu'on mene P Q parallele à DO, ou à MN. Je dis que D L x PQ=LI=LH'.

Puisque le Plan coupant EDF est( no. s.) parallele à AC, AP = DO sera

= IN; & ayant nommé les données A0,6; DO, ou AP, ou LN,'; Plip; & les inconnues DL, *; & LI, 3. Il faut prouver que px (PQ DZ)=yy ( ZI').

D E'M ONS I RATIO.N. LEs triangles femblables AOD, DLM, donnent AO 16).0 D (C) :: DL6*). LM=: Or (no. 4.), & par

on la proprieté du cercle ( LMR LN)=(LI)=yy:

[ocr errors]
« AnteriorContinuar »