mais la ressemblance des criangles AOD, APQ donne b. (AO). - (OD)::(( AP). p (PQ), donc cc = =bp. Mettant donc bp en la place de cc dans la premiere équation, l'on aura px=yy. C. & F. D.

D E É INITION. 9. LA ligne PQ=p, est appellée le parametre de l'axe F 16.48. de la parabole. PROPOSITION II.

Theorême. 10. En supposant les mêmes choses que dans la figure où F10.49. la courbe IDH eft une ellipse ; & outre cela si l'on divise Dd

par le milieu en K, & si l'on mene SKT paralleled MN, VKR parallele à HI; RV, sera la commune Section de l'ellipse, da d'un cercle SRTV, dont le diametre eft ST, & qui eft coupé dans la superficie Conique par un Plan parallele à la base du Cone, ou au Plan du cercle MINH, puisque HI eft (no. 4.) la commune Section de l'elipse, du cercle MINH. De forte que V & R seront dans la circonference du cercle SRTV, & dans celle de l’ellipse. Cela posé,

que

DL x Ld. LI :: DK'. KR'.
Ayant nommé les données DK, ou Kd, a; SK, 8;
KT, f; KV, ou KR, 6; & les indéterminées KL, X;
LI, ou LH,y; DL sera a - *, & dl, a + x.
Il faut démontrer que aa — ** (D L * Id.). yy (LI)

- xx ' :: aa (DK'). bb (KR').

je dis

x

.

D E M O N S T R A TI O N.
LEs triangles semblables dKT,den, & KDS, LDM,

af +fx donnent d K (a). KT (f.)::d2(a +). LN=

3

aa

donc

aafg - afgx + afgx - fgXs par la proprieté du cercle (ZN LM)=yy ( L 12), qui se réduit à aafs — f3xx LN *

=yy: mais fg=TK ~ KS = ( par la proprieté du cercle )

==
KR=bb; c'est pourquoi mettant dans l'équation pré-

=
cedente pour fg sa valeur bb, l'on aura

=yy, d'où l'on tire aa — xx.yy :: aa. bb. C. l. F. D.

Si l'on avoit nommé DL, *; l'on auroit trouvé cette équation 2ax - xx=

aabb

bbxx

aayy

ou ad

XX

bb

aayy

XX =

bb

PROPOSITION III.

Theorême. F16.50. 11. En supposant les mêmes choses que l'on a supposées

dans la Figure où la courbe IDH est une hyperbole, & outre cela , fi l'on divise Dd par le milieu en K, & qu'ayant mené KTS parallcle à MN, on trouve une moyenne proportionnelle KR entre KS, & KT. Je dis que DL x Ld. LI?:: DKP. KR?

?. Ayant nommé les données KD, a; KR, b; KS, KT, f; & les indéterminées KL, X; LI, ou IH, Y; ID sera, * -a; & Ld, x+a.

+ D E M O N S T R À TION. LEs triangles semblables dKT, DIN, & DKS, DLM,

foc + af donnent, dk (a). KT (f):: dL (x + a). IN=

8* -ag & DK (a). KS (8) :: DL (%-a). LM

-ag, donc

gfxx - aafg par la proprieté du cercle

(LM RIN)=yy

(LI).

a

bbxx

aabb

aayy

bb

.

I

(LI"). L'on a ausli par la construction g (KS). 6 (KR) :: 6.(KR). f(KT); donc gf=bb; c'elt pourquoi fi l'on mer dans l'équation précedente, en la place de gf sa valeur bb, l'on aura

Eyy, ou xx d'où l'on tire xx — aa. yy :: aa. bb. C. Q. F. D.

Si l'on avoit nommé DL, *; l'on auroit eu cette équa. tion 2ax to xix =

aayy

bb

DEFINITION. 12. LA ligne VKR double de KR menée par ķ paral- F16.49. lele à IH, est appellée l'axe conjugué à l'axe Dd. so.

13. Dans l’ellipse & dans l'hyperbole , la troisième proportionnelle à deux diametres conjuguez quelconques, est appellée le parametre de celui qui occupe le premier lieu dans la proporcion.

14. Suivant cette Définition, il est aisé de déterminer le

parametre de l'axe Dd dans l’ellipse, & dans l'hyperbole: car il n'y a qu'à prendre DP= 2KT ; & la droite Pl, parallele à MN, qui rencontre le côté AB du cone en sera le parametre qu'on cherche:car, ayant nomné la ligne PQ, P; les triangles semblables DKS, DPQ, donnent a (DK).g (KS):: 2f (DP, ou 2 KT). P (PQ)

8 donc pa=2fg : mais (no. 11, ) fg=bb; donc d'où l'on cire a. b :: 26. p,ou za. 2b :: 26. P

c'est-à-dire Dd. RV :: RV. PQ.

15. Puisque (no. 14.) a. 6:: 26.p::b. Įpi bb :: a. įp :: 2a. p; donc aap = .

zabb; donc ch=; c'est pourquoi, si l'on met dans les deux équations précedentes( no. 10, & 11,) au lieu de inte la valeur q; l'on aura : 20%", & xx - aa= 400); d'où l'on tire aa

2qW — *x, ou xx — aa. yy :: 24.1, c'est-à-dire , DL * LD4. LI:: Dd. PL.

K

på = 266,

P ;

donc aa.

24

=

XX =

=

donc

aafg - afgx + afgx — fgxx par la proprieté du cercle

aa

ad

=

aabb

bbxx

aafg — fgxx (LN * LM)=yy (L I°), qui se réduit à

=yy: mais fg=TK ~ KS = ( par la proprieté du cercle ) KR=bb; c'est pourquoi mettant dans l'équation précedente pour fg fa valeur bb, l'on aura

=yy d'où l'on tire aa — xx.yy:: aa. bb. C. Q. F. D.

Si l'on avoit nommé DL, x; l'on auroit trouvé cette équation 2ax — XX =

=

aa

aayy

XX

XX

bb

aayy

xx

PROPOSITION III.

Theorême. F16.50. 11. En supposant les mêmes choses que l'on a supposées

dans la Figure où la courbe IDH est une hyperbole, & outre cela, si l'on divise Dd par le milieu en K, & qu'ayant mené

fi KTS paralleled MN, on trouve une moyenne proportionnelle KR entre KS, & KT. Je dis que DL x Ld. LI :: DKP. KR?.

Ayant nommé les données KD, a; KR,b; KS,
KT; f; & les indéterminées K L, X; LI, ou IH, Y;
ID sera, * -a; & Ld, x + a.

DEMONSTRATION.
Les triangles semblables dKT, DIN, & DKS, DLM,

fx t af donnent, dk (a). KT (f):: dL (x +a). LN=

8* — ag & DK (a). KS (8) :: DZ (x-a). LM = donc

&

aabb

(LI). L'on a aussi par la conle ulivr. 71, i !

} :: 6. (KR). f (KT); donc j zu met dans l'équation précedente, EI * leur bb, l'on aura d'où l'on tire xx– eg gy::e9.05.2. Si l'on avoit nomme L1,1;: I és Frise.

wayn tion 2ax + x =