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bp.

mais la reffemblance des triangles AOD, APQ donne 6. (AO). c (OD) :: c(AP), p (PQ); donc ce= Mettant donc bp en la place de ce dans la premiere équation, l'on aura pxyy. C. Q F. D.

DEFINITION.

9. LA ligne PQ=p, est appellée le parametre de l'axe F 16.48. de la parabole.

PROPOSITION II.

Theorême.

10. EN fuppofant les mèmes chofes que dans la Figure où F10.49. la courbe IDH eft une ellipfe ; & outre cela fi l'on divife Dd par le milieu en K, & fi l'on mene SKT parallele à MN, & VKR parallele à HI; RV, fera la commune Section de l'ellipfe, & d'un cercle SRTV, dont le diametre eft ST, & qui eft coupé dans la fuperficie Conique par un Plan parallele à la bafe du Cone, ou au Plan du cercle MINH, puifque HI eft (no. 4. ) la commune Section de l'ellipfe, & du cercle MINH. De forte que V&R feront dans la circonference du cercle SRTV, & dans celle de l'ellipfe. Cela posé, je dis que DL x Ld. LI' :: DK'. KR'.

Ayant nommé les données DK, ou Kd, a; SK,g; KT, f; KV, ou KR, b; & les indéterminées KL, x; LI, ou LH,y; DZ fera a-x, & dL, a +x.

Il faut démontrer que aa—xx (DL × Ld.). yy (LI) :: aa (DK'). bb (KR3).

DE'MONSTRATION.

LEs triangles femblables dKT, dLN, & KDS, LDM, donnent dK (a). KT (f) :: dL (a+x). LN=2

& KD (a). KS (g) :: LD (a - x) LM =

ag

af+fx

gx

ژ

.

donc par la proprieté du cercle

aafg — afgx + afgx — fgxx

{LN × LM) = yy ( L 12), qui se réduit à

mais fg = TK × KS =

KR2 =

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(par la proprieté du cercle)] bb; c'est pourquoi mettant dans l'équation pré

cedente pour fg fa valeur bb, l'on aura

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aabb bbxx

=yy,

aa

d'où l'on tire aa — xx. yy :: aa. bb.

Si l'on avoit nommé DZ, x; l'on auroit trouvé cette

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FIG. 50. II. EN fuppofant les mèmes chofes que l'on a fuppofées dans la Figure où la courbe IDH eft une hyperbole, & outre cela, fi l'on divife Dd par le milieu en K, & qu'ayant mené KTS parallele à MN, on trouve une moyenne proportionnelle KR entre KS, & KT. Je dis que DL × Ld. LI2:: DK2. KR2.

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Ayant nommé les données KD, a; KR, b; KS, KT, f; & les indéterminées KL, x; LI, ou IH,y; LD fera, x-a; & Ld, x+a.

DE'MONSTRATION.

LEs triangles femblables dKT, dLN, & DKS, DLM,

donnent, dK (a). KT (f) :: dL (x+a). LN

& DK (a). KS (g) :: DL (x—a). LM =

fx+af

a

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(LM × LN)=yy

44

(LI'). L'on a auffi par la conftruction g (KS). b (KR) :: b. (KR). f(KT); donc gf=bb, c'eft pourquoi fi l'on met dans l'équation précedente, en la place de gf fa va

leur bb, l'on aura

bbxx aabb

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yy, ou xx -aa

d'où l'on tire xx-aa. yy :: aa. bb. C. Q. F. D. yy::aa.

Si l'on avoit nommé DL, x;

aayy

bb

l'on auroit eu cette équa

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LA A ligne VKR double de KR menée par K paral- FIG. 49) lele à IH, eft appellée l'axe conjugué à l'axe Dd.

13. Dans l'ellipfe & dans l'hyperbole, la troifiême proportionnelle à deux diametres conjuguez quelconques, eft appellée le parametre de celui qui occupe le premier lieu dans la proportion.

14. Suivant cette Définition, il est aifé de déterminer le parametre de l'axe Dd dans l'ellipfe, & dans l'hyperbole: car il n'y a qu'à prendre DP = 2KT ; & la droite PQ, parallele à MN, qui rencontre le côté AB du cone en Q, fera le parametre qu'on cherche: car, ayant nommé la ligne PQ,p; les triangles semblables DKS, DPQ, donnent a (DK). g (KS) :: 2f (DP, ou 2KT). p (PQ); donc pa2fg: 2fg: mais (n°. 11,) fg= bb; donc pa=2bb, d'où l'on tire a. b:: 2b. p, ou 2a. 2b :: 26. P, c'eft-à-dire Dd. RV:: RV. PQ.

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=

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donc aa.

24

zabb; donc = 1;

15. Puifque (no. 14.) a. b:: 2b. p::b. bb:: a. 1⁄2 p :: 2a. p: 2a. p; donc aap c'est pourquoi, fi l'on met dans les deux équations précedentes (no. 10, & 11,) au lieu de #sa valeur ; l'on aura aa - xx= =2492, & xx - aa — 24; d'où l'on tire aa

— xx, ou xx—aa. yy:: za.p, c'est-à-dire, DL × LDa. LI: Dd. PQ

K

so.

donc par la proprieté du cercle

aafg — afgx + afgx — fgxx

{LN × LM) = yy (L 12), qui se réduit à

mais fg TK × KS

x =

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(par la proprieté du cercle) KR2= bb; c'est pourquoi mettant dans l'équation pré

cedente pour fg fa valeur bb, l'on aura

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aabb bbxx

=yy,

aa

d'où l'on tire aa — xx. yy :: aa. bb.

Si l'on avoit nommé DZ, x; l'on auroit trouvé cette

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PROPOSITION III.
Theorême.

FIG. 50. 11. EN fuppofant les mèmes chofes que l'on a fuppofées dans la Figure où la courbe IDH eft une hyperbole, & outre cela, fi l'on divife Dd par le milieu en K,& qu'ayant mené KTS parallele à MN, on trouve une moyenne proportionnelle KR entre KS, & KT. Je dis que DL × Ld. LI2:: DK2. KR2.

Ayant nommé les données KD, a ; KR, b; KS, g; KT, f; & les indéterminées KL, x; LI, ou IH,y; LD fera, xa; & Ld, x+a.

DE'MONSTRATION.

LEs triangles femblables dKT, dLN, & DKS, DLM,

donnent, dK (a). KT (f) :: dL (x+a). LN=

fx+af

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(LI'). L'on a auffi par la conftruétion & 18, 4
::b. (KR). f(KT); donc
met dans l'équation précedente, er plan

leur bb, l'on aura

گردی

bbxx aabb

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d'où l'on tire xx — aa. yy::aa. ii. 1 1. 1 i

Si l'on avoit nomme LL, z;!or admin only xxx pie.

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