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FIG. SI.

PROPOSITION IV.

Theorême.

1.6. LA mème hyperbole IDH, dont l'axe déterminé eft Dd, le centre K, le diametre ou l'axe conjugué RV perpendiculaire à Dd, une ordonnée IL parallele à RV, étant mife fur un Plan. Je dis qu'ayant fait au fommet D, DB & DE paralleles, & égales à KR, ou KV; les lignes KB, KE menées du centre K par les points B, É, & indéfiniment prolongées, ne rencontreront jamais l'hyperbole, & qu'elles s'en approcheront de plus en plus à l'infini.

DEMONSTRATION.

IP

AYANT mené du fommet D, les droites DG, DO paralleles à KB, & à KE; du point I, les droites IM, paralleles aux mêmes KE, KB, & prolongé IL de part & d'autre, en forte qu'elle rencontre KB & KE en C, & F; & nommé, comme dans la propofition précedente, les données DK, a; DB, ou DE, b; KỘ, ou GD, ou KG, ou OD, qui font toutes égales, c; les indéterminées KL, x; LI, ou LH,y; IP ou MK, f; IM, ou PK, z.

=

=

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z

Les triangles femblables KDB, KLC, donnent KD(a). DB (b) :: KL (x). LC; donc IC-y & IF = bx +y: car puifque (conft.) DB = DE, LC fera =LF; & puifque ( n°. 4.) LI — LH, IC fera HF. De plus, les triangles semblables DBG, ICM, & DEO, IFP donnent, b (DB). c (DG) :: bx—y (IC). Z (IM), & b (DE). c ( DO) :: bx+y (IF). (IP), d'où l'on tire ces deux équations by bcy, & bf bx+cy: mais l'on a par la Propofition précedente xx ; c'eft pourquoi fi on fait évanouir x & y, le moyen de ces trois équations, l'on aura celle-ci sz= cc:

par

aa =

=

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substituant les valeurs de xx & yy dans D, on aura

aal+2aafz+aazz X bb

4CC

= -

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divifant tout par aabb après avoir multiplié par 4cc on aura
—2f2+zz qui fe réduit à 4/2
『+ཟ/༢+༢༢— 4¢ =
4cc ou fz = cc; c'est-à-dire, PI IMKG × GD,
qui fait voir que f, ou PI, ou MK croiffant, ou MI
diminue; ce qui peut aller à l'infini. Et comme , ou
PI × IM, doit toujours être = KG × GD; il fuit que
quelque grande que l'on fuppofe f, ou PI, ou KM, il
faut que MI ait encore quelque longueur, & partant KM
ne rencontrera jamais l'hyperbole IDH. C. Q. F. D...

D E F IN ΙΤΙΟ Ν.

LEs lignes KC, & KF font nommées afymptes de l'hyperbole.

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COROLLAIRE sa 201

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IL eft clair que tous les parallelogrammes, comme
KIMP, font égaux entr'eux, & au parallelogramme

Kij

KGDO, en quelqu'endroit de l'hyperbole que
ne le point I.

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l'on prèn

V.

FIG. 52. 17. SOIT ĄB une fuperficie cylindrique coupée par un Plan AB qui paffe par l'axe du cylindre. Je dis que fi l'on coupe la fuperficie cylindrique par un autre Plan dIÓÍd perpendiculaire au Plan AB, & incliné à l'axe du cylindre, la commune Section dIDHd de ce Plan, & de la fuperficie cylindrique, fera une ellipfe.

DEM. ONSTRATION.

AYANT divifé Dd qui eft la commune Section des Plans AB,& dIDHd par milieu en K, & pris librement un point Z fur la même Dd; fi l'on fuppofe la fuperficie cylindrique coupée par deux Plans paralleles entr'eux, & perpendiculaires à l'axe du cylindre, qui paffent par les points K&L, les communes Sections SVTR, MHNI de ces deux Plans, avec la fuperficie cylindrique, feront deux cercles dont les communes Sections VKR, HLI, avec le Plan dIDHd, feront perpendiculaires à Dd, à ST, & à MN; & dont les communes Sections ST, MN, avec le Plan AB, font les diametres ; d'où il fuit que KV=KR, & LH=LI, & que le point K qui divife Dd par le milieu, divife de même ST; & partant le point K eft le cen tre du cercle SKT» A "CC{!?、Î

Ayant donc nommé les données KD, on Kd, a ; SK ; ou KT, où KR, ou KV, b; & les indéterminées KL ̧ x ; LI,y; DL fera 4+x, & Ld a-x.

ab + bx

Pareille

Les triangles femblables DKS, DLM donnent DK ( a ), KS (b) :: DL ( a + x). LM : ment les triangles femblables dKT, dìN donnent dK

ab

a

bx

( a ) . KT ( b ) :: dL (a—x). LN

Mais à

cause du cercle MIN, ML x LN — LI', c'est-à-dire en

termes Algebriques

aayy

bb

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=

yy, ou aa -xx

& comme cette équation eft la même que la précedente

(no. 10 ). Il fuit que la courbe dIDHd, eft une ellipse. C. Q. F. D.

PROPOSITION VI.

Theorême.

18. SI les bafes des fuperficies coniques ; & par confequent les FIG. 48, courbes IMH, qui font les communes Sections des mêmes fu- 49, 50. perficies coniques par des Plans paralleles aux bafes, ont cette proprieté qu'une puissance quelconque de leurs appliquées LH, ou LI, foit égale au produit de deux puiffances de LM, & LN, telles que la fomme de leurs expofans, foit = à l'expofant de la puissance de LI, c'est-à-dire par exemple, que LIP+9=LM2 × LN × LN2, ou LMa × LN2. x LN2. Je dis que les Sections coniques IDH, telles que nous les avons définies (no. 5, 6, & 7.) font de même genre que les courbes IMH.

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En donnant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a données (n°. 8, to, & 11), & faifant p+q=m, p & q, fignifient tels nombres qu'on voudra entiers ou rompus.

Soit premierement le Plan coupant EDF parallelé à AC. Il faut prouver que la courbe IDH, eft une parabole du même genre que la courbe IMH.

DE'MONSTRATION.

L'ON trouvera, comme on a fait (no. 8.) LM

donc LM

=

сх

=

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b

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LN'-c': mais par la proprieté de la courbe IMH,
LM2 × LN2 = LI", c'est-à-dire, en termes Algebriques,

bp

m

=y, qui eft une équation à une parabole du même genre que la courbe IMH, puifque l'inconnue y, dont l'expofant eft plus grand que celui de x, est élevée à la même puiffance que LI=y, dans l'équation à la courbe IMH. C. Q. F. D.

Ce fera la même Démonstration pour l'ellipfe & pour l'hyperbole, & pour la Section du cylindre.

Mr De la Hire qui eft le feul que je fçache qui a parlé de ces courbes, les appelle cercles du second, troisième, quatrième, cinquième genre, &c.

m

=

Si dans l'équation précedente ZITM LMP x LN, on fait p=2, & q=1, ou p= 1, & q = 2; m =p+q & l'équation deviendra LI' — LM2 × LN, oụ LI' = LM × LN2, & la courbe IMH, fera un cercle du fecond genre.

fera-3,

=

Dans la même fuppofition de p=2, &q=1, l'équa

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degré que celle de la courbe IMH, & qui appartient par confequent à une parabole du second genre, qu'on appelle feconde parabole cubique.

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b

Si p= 1,

૮૧¢P P

&q= 2, l'équation

=y" deviendra

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=y', qui fe rapporte encore à une parabole du fe

cond genre, qu'on appelle premiere parabole cubique. Il en eft ainfi des autres,

19.

REMARQUE.

ON détermineroit avec la même facilité la nature, & le genre de la courbe IDH, dans le Cone, & dans le Cylindre; fi la courbe IMH, dont le Plan eft parallele à la base BC, étoit une Section conique d'un genre quelconque. Et en general, la nature de la cour

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