PROPOSITION IV.

Theorême. F16.51.16.L A mème hyperbolc IDH, dont l'axe déterminé eft Dd,

le centre K, le diametre ou l'axe conjugué. R V perpendiculaire à Dd, une ordonnée IL parallele à RV, étant mise sur un Plan. Je dis qu'ayant fait au sommet D, DB & DE paralleles, & égales à KR, ou KV ; les lignes KB, KE menées du centre K par les points B, E, & indéfiniment prolongées, ne rencontreront jamais l'hyperbole, & qu'elles s'en approcheront de plus en plus à l'infini.

DE' M O N S T R A T 1 o N. AYANT mené du sommet D, les droites DG, DO paralleles à KB, & à KE;du point I, les droites IM,1P

IP paralleles aux mêmes KÉ,KB, & prolongé IL de part & d'autre, en sorte qu'elle rencontre KB & KE en C, & F; & nommé, comme dans la proposition précedente, les données DK, a; DB, ou DE, 6; KO, ou GD, ou KG, ou OD, qui sont toutes égales, ć; les indéterminées KL,

C
X; LI, ou LH,y; IP ou MK,S; IM, ou PK, 2

Les triangles semblables KDB, KLC, donnent KD(a). DB (6)::KL (x). LC = b; donc IC= - y&IF=6* +y: car puisque (const.) DB=DE, LC sera = LF; & puisque ( no. 4.) LI=LH; IC sera =HF. De plus, les triangles semblables DBG, ICM , & DEO, IFP donnent, b (DB)..Ć (DG):: 6- (IC).. (IM), & b(DE).((DO):: 6 + y (IF). S(IP), d'où l'on tire ces deux équations bæ= bet — cy; & bf bex + cy: mais l'on a par la Proposition précedente xx

; c'est pourquoi fi on fait évanouir x &y, par

le moyen de ces trois équations, l'on aura celle-ci f="6:

ܪ

.

bcx

aay.

66

substituant les valeurs de xx & yy dans D, on aura

4CC

400

divisant tout par aabb après avoir multiplié par 4cc on aura | +2/2+2-46=1-2/2+ 22 qui se réduit à 4/2 =4cc ou sx=lc; c'est-à-dire, PI X IM KG X GD, qui fait voir que , ou PI, ou MK croissant, 2 ou MI diminue ; ce qui peut aller à l'infini. Et comme sa, ou Pİ * IM, doit toujours être = KG * GD ; il suit

que quelque grande que l'on suppose S, ou PI, ou KM, il

j faut que MI ait encore quelque longueur; & partant ķM ne rencontrera jamais l'hyperbole IDH. C. 2. F. D.

D E' F I NII i 'O' N.
Les lignes KC, & KF sont nommées asymptes de l'hy:
perbole.

COROLLA IRE,
Il est clair que tous les parallelogrammes, comme
KIMP, sont égaux entr'eux, & au parallelogramme

ز

KGDO, en quelqu'endroit de l'hyperbole que l'on prénne le point I. PROPOSITION V.

Theorême. Fig.52. 17.

SOIT AB une superficie cylindrique coupée par un Plan AB qui passe par l'axe du cylindre. Je dis que si l'on coupe la superficie cylindrique par un autre Plan dIDHd perpendiculaire au Plan AB, & incliné à l'axe du cylindre , la commune Section DIDHd de ce Plan, & de la superficie cylindrique , fera une ellipse.

DĖMONSTRATION.
A Yant divisé Dd qui est la commune Section des Plans

Y
AB,&didud par milieu en K, & pris librement un point
I sur la même Õd; si l'on suppofe la superficie cylindri-
que coupée par deux Plans paralleles entr'eux, & perpen-
diculaires à l'axe du cylindre, qui passent par les points
K&L, les communes Sections SVTR, MHNI de ces
deux Plans, avec la superficie cylindrique , seront deux cer-
cles dont les communes Sections VKR, HLI, avec le
Pland DHd, seront perpendiculaires à Dd , à ST , & à
MN; & dont les communes Section's ST, MN, avec le
Plan AB, font les diametres ; d'où il suit que KV=KR,
& LH=LI, & que le point K qui divise Dd par le mi-
lieu ; divise de même ST ; & partant le point K est le cen
tre du cercle SKT., i

Ayant donc nomme les données KD; on Kd, a ; SK, ou KT, ou KR, ou KV; 6; & les indécerminées KL ; x; LI,y; DL sera

4+*,& Lda Les triangles semblables DKS, DZM donnent DK

- ab + bx (a). KS (6): Dl(a+x). LM= Pareillement les triangles femblables dKT, SZN donnent dK

bx (a). KT (6):: dL (2-x).IN

Mais à

لا

X.

Cab

cause du cercle MIN, ML XLN=LI", c'est-à-dire en

aabb • bbxx termes Algebriques

yy ,

C

XX

aa

aayy

bb

Х

X

& comme cette équation est la même que la précedente (no. 10 ). Il suit que la courbe dIDHd , est une ellipse. C.L.F. D. PROPOSITION VI.

Theorême. 18. Si les bases des superficies coniques; & par consequent les Fig. 48, courbes IMH, qui sont les communes Se{tions des mêmes su- 49, 50. perficies coniques par des Plans paralleles aux bases , ont cette proprieté qu'une puissance quelconque de leurs appliquées LH, ou LI, foit égale au produit de deux puissances de LM, LN, telles que la somme de leurs expofans , soit=à l'expofant de la puissance de LI, c'est-à-dire par exemple , que LIP+9 =LMRxIN?, ou LM9x LNP. Je dis

que

les Seftions coniques IDH, telles que nous les avons définies ( no. 5, 6, & 7:) font de même genre que les courbes IMH.

En donnant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a données, (no.8, 1o, & 11);& faisant p+q=m,p&q, signifient tels nombres qu'on voudra entiers ou rompus.

Soit premierement le Plan coupant EDF parallele å AC. Il faut prouver que la courbe IDH, est une parabole du même genre que la courbe IMH.

D E'MON S.T RATIO N.
L'on trouvera,
N trouvera, comme on a fait (no. 8.) LM= 영

cPxP
donc LM =
?

LN = DO a été nommée ; donc

g? IN'=c': mais par la proprieté de la courbe IMH,

= IMPRIN=LI", c'est-à-dire, en termes Algebriques,

Х

9.P C

m

on fait

m

o Prep

=y", qui est une équation d une parabole du mê. 6?

Ey me genre que la courbe IMH, puisque l'inconnue y, dont l'exposant est plus grand que celui de x, est élevée à la même puissance que LI=y, dans l'équation à la courbe IMH. C. l. F. D.

Ce sera la même Démonstration pour l'ellipse & pour l'hyperbole , & pour la Se&ion du cylindre.

& Mi De la Hire qui est le seul que je sçache qui a parlé de ces courbes , les appelle cercles du second, troisiéme, quatriéme, cinquième genre , &c. Si dans l'équation précedente LI"

IM? x IN', p=2, &q=l, ou p=1,&=2;M=p+q sera =3, & l'équation deviendra LI' = LM’RIN,

=LM LN?, & la courbe IMH , sera un cercle du second

genre. Dans la même supposition de p=2,&q=1, l'équation =y", devient c'ex

=y., qui est du même degré que celle de la courbe IMH, & qui appartient par consequent à une parabole du second genre, qu'on appelle seconde parabole cubique.

c9cPx? Si p=1,&q=2 , l'équation

=yTM deviendra

6? = =y', qui se rapporte encore à une parabole du seo cond genre, qu'on appelle premiere parabole cubique. Il en est ainsi des autres,

REMARQUE. 19.

On détermineroit avec la même facilité la nature, & le genre de la courbe IDH, dans le Cone , & dans le Cylindre ; si la courbe IMH , dont le Plan est parallele à la base BC, étoit une Section conique d'un genre quelconque. Et en general , la nature de la cour

с 9 РР

bb

Р

cx

b