be IMH étant donnée, on déterminera aisément la nature de la courbe IDH; & au contraire. De forte qu'il n'y a point de courbe que l'on ne puisse considerer comme la Section d'une espece de Cone ou de Cylin. dre, & déterminer par son moyen la nature de la courbe IMH parallele à la base de ce Cone, & de ce Cylindre; ou bien qu'il n'y a point de courbe, que l'on ne puisse supposer être la base d'un Cone, ou d'un Cylindre, & déterminer par fon moyen la nature des Sections de ce Cone, & de ce Cylindre. De maniere qu'on peut avoir non seulement une infinité de genres de Sections coniques, mais encore une infinité d'especes dans chaque genre, excepté dans le premier, qui ne renferme que quatre courbes, comme on a déja remarqué. On s'est contenté de démontrer dans le Cone, la principale proprieté des Sections coniques du premier genre, attendu qu'on en va démontrer dans les trois Sections suivantes, toutes les proprietez necessaires pour l'Application de l'Algebre à la Geometrie, en les décrivant par des points trouvez sur des Plans. On ne les a même confiderées dans le Cone que parcequ'elles y ont pris leur ori. gine, & leur nom, pour faire voir que celles qu'on décrit fur des Plans, sont précisément les mêmes que celles qu'on coupe dans le Cone; & qu'on peut par consequent leur donner les mêmes noms. Où l'on démontre les principales proprietez, de la FIG. 53. X. U PROPOSITION I. Theorême. NE ligne droite DFP, & deux points fixes D, F fur cette ligne, étant donnez de position fur un Plan. Je dis que si l'on mene librement la ligne MPm, perpendiculaire à DFP ; & fi du centre F, & du rayon DP, l'on décrit un cercle; il coupera la perpendiculaire MPm, en deux points M&m, qui seront à une Parabole. DEMONSTRATION. IL est clair qu'ayant divisé DF par le milieu en A, le cercle décrit du centre F, & du rayon DA, touchera en A, la perpendiculaire menée par le point A, & ne rencontrera point celles qui feroient menées au-dessus de A par raport à F: mais qu'il coupera en deux points toutes celles qui seront menées au-dessous de A, comme MPm; d'où il suit que la courbe qui passe par les points M, m trouvez, comme on vient de dire, passe aussi par le point A. Ayant mené FM, & nommé les données, ou constantes AF, ou AD, a; & les indéterminées, ou variables AP, x; PM, y; FP fera x -a, ou a - x ; & FM, ou DP, x + a. Le triangle rectangle FPM donne xx - 2x + aa + yy=aa+2ax+xx, qui se réduit à 4ax =yy, ou (en failant 4a=p) px=yy. Or comme cette équation est la même que celle de l'article 9. no. 8; il suit que la courbe MAm, MAm, est une parabole, dont le parametre est p = 4a =4AF=2FD. C. Q. F. D. L'équation px =yy peut être réfolue par le cercle. Car FIG. 54. ayant mené une ligne AB indéfinie, si vous prenez AD = p; & que d'un point quelconque C pris sur AB, & du rayon CA, vous décriviez le cercle AEG, qu'enfin du point D, vous meniez la perpendiculaire DE, cette ligne DE=y & DB = x. Car par la propriété du cercle AD × DB =D E. Or AD=p. Donc AD × DB=px, & 2 ED = yy. C'est-à-dire que DB=x & ED=y. Mais comme le rayon CA du cercle peut augmenter à l'infini, x & y augmenteront à l'infini; & x augmentant, y aug mentera. COROLLAIRE I. IG. 1. IL est évident que 2 FD. PM :: PM. AP: car l'équa- F16.53. tion 4ax = yy, étant réduite en analogie, donne 4a. 2. IL eft clair que si l'on mene par Dla ligne ED paral-F16.53. lele à PM, & par les points M, m qui sont communs à la parabole & à la perpendiculaire MPm, les droites ME, me paralleles à PD, elles seront égales entr'elles, à PD, & à FM, & que les parties PM, Pm de la perpendiculaire MPm, feront aussi égales. DEFINITIONS. 3. LA ligne AP eft nommée l'axe de la parabole; A, FIG. 53. le fommet de l'axe, ou de la parabole; PM, ou Pm l'appliquée ou l'ordonnée; AP, l'abcisse ou la coupée; F, le foyer; D, le point generateur; Ee, la ligne generatrice; AB, quadruple de AF, ou de AD, le parametre de l'axe, L |