COROLLAIRE III. 4. L'on voit par l'équation précedente fax=yy que x croissant y croît aussi ; & qu'ainsi la parabole s'éloigne toujours de plus en plus de son axe à mesure que le point P s'éloigne du sommet A, & que cela peut aller à l'in.

& fini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini.

COROLLAIR E IV. s. D'où il suit que les lignes comme EM meneés paralleles à AP passent au-dedans de la parabole étant prolongées vers R , & ne la rencontrent qu'en un seul point M.

ÇOROLL AIR Ė V. 6. SI dans l'équation 4ax=yy, l'on fait x=

x=d, P tombera en F, & l'on aura 4aa=yy; donc 2a=y; c'est-à-dire que l'appliquée FO qui part du foyer est égale à la moitié du parametre ; & si l'on fait x=4a, l'on aura 16aa =yy, ou 4a=y, c'est-à-dire que AP, &

=

- =y PM seront chacune égale au parametre. COROLLA IR E

VI. 7. Il est manifeste que la quantité constante qui accompagne l'inconnue ou l'indéterminée qui n'a qu'une dimenfion dans un des membres de l'équation, est l'expression du parametre de l'axe de la parabole, lorsque le quarré de l'autre indéterminée est seul dans l'autre membre:

par exemple dans cette équation aat=yy, est l'expression du parametre de l'axe de la parabole dont l'abcisse est xi & l'appliquée y.

le point

44X

>

.X

PROPOSITION I f.

Theorême.' 8. Les quarrez des ordonnées PM, QN font entr'eux F16.5ši comme les abcisses correspondantes AP, AQ.

Ayant nommé comme dans la Proposition précedente AB, 40; AP, *; PM,y; & AQ, J; QN 2

Il faut prouver que PM? (yy). QN2 (22) :: AP (*).ARN.

D E' MONSTRATION. L'On

On a par la Proposition précedente 4ax = yy, & 4af=; donc yy. 23:: 4ax. 40%:: x.f. C. QiF. D. PROPOSITION III.

Theorême. ?13 9. Les mêmes choses étant toujours supposées

. Je disques si d'un point quelconque m pris sur la parabole., on mene me parallele à PĀ, qui rencontrerà la generatrice en e, & le rommet A, la droite AC paralleled De qui rencontrera em en C; le cercle mle décrit sur le diametre me coupera AC

C par le milieu en I.

Ayant nommé la donnée AD, ou eC; 4; & les indés terminées AP,ou Cm, xi Pm, ou AC, y; & CI,f. Il faut prouver que CI (S=AC (2)

ÀC

.. ،

& par

)

D E' MONSTRATION.

. :" را

&

L'On a par la premiere proposition 4ax =yy, & par la proprieté du cercle ax ( eC x cm) =SS (CI'), oa 4ax=45%; donc y=25, ou y=s.C.C.F. D.

PROPOSITION :IV.

Theorême.
F 19.53.: 10. E n. supposant encore les mêmes choses , fi l'on prend AG,

menée par le sommet A parallele aux appliquées PM , pour

de la parabole , GM parallele à AP, pour l'appliquéc, en nommant AG ou PM, x; GM , ou AP, y; & le parametre 4AF, 4a. Je dis que 4AF GM= AG?.

l'axe de

1

DEMONSTRATION.
L'Ona a par la premiere Proposition 4ay = xx. C. Q.
F. D.

L'on n'a mis ici cette Proposition que pour faire voir
qu'il est indifferent de prendre celui qu'on voudra des
deux axes conjuguez pour l’abcisse , & l'autre pour l'ap-
pliquée ; ce qui convient à toutes les courbes Geometri-
ques,

où les deux indéterminées forment toujours un pa-
rallelogramme que nous avons nommé (art. 3. no. 16. j le
parallelogramme des coordonnées.
PROPOSITION V.

Problêmë.
u: UN Ę équation à la parabole , bx = yy, étant don-
née , décrire la parabole , lorsque les coordonnées sont perpen-
at kane

à l'autre.
b, 10.) le parametre ; x ; l'abcisse ; & y, l'ap-
pliquée de la parabole qu'il faut décrire, comme il est
démontré dans la premiere Proposition.

Soit A le commencement de x, qui va vers P; & de
qui va vers B, ayant pris AB=b, & prolongé AP du

6 côté de A , on fera AF, & AD chacune égale à

у

و

4

D' AB, & l'on décrira une parabole A M par la
premiere Proposition qui satisfera au Problême , & dont
A sera le sommer, F le foyer, & D le point generateur.

D E'MONSTRATION.
ANT mené une ordonnée quelconque PM; AF

;
étant , -6; AP, X; PM,'y; FP , sera x
b

6 b, ou -6- *;& FM=PD(n°, 2.),*+ - 6. Et le trian

=

I

I

4

.

4

4

gle rectangle FPM donnera xx +

bx +

bb = X X

2

16

I

I

bx+

2

16

bb + yy qui se réduit à bx=yy.C. Q. F.D.

R E MARQUE. 12. Si l'on avoit nommé (Prop. 1.) DP , *; & DF, a; l'on auroit trouvé zax – aa=yy ; & si l'on avoit nom

~ mé FP,x; & DF, a; l'on auroit trouvé 2 ax + aa=yy. Ce qui fait voir que lorsqu'une équation à la parabole a' plus de deux termes, l'origine des inconnues n'est point au sommet de l'axe. PROPOSITION V I.

Problême. XI. UN E parabole AM , dont l'axe eft AP , le sommet A, F16.ss. le foyer F, le point generateur D, e la ligne generatrice EDH , étant donnée. On propose de mener d'un point quelconque M, donné sur la parabole, la tangente MT.

Ayant mené par le point donné M la droite MH parallele à l'axe AP , & joint les points F, H; la ligne MOT menée du point M par le point o milieu de FH,

M sera la tangente cherchée.

DEMONSTRATION. PUISQUE ( Art. 10. no. 2. ) MF=MH, & que FH est coupée par le milieu en 0; la ligne MO est perpendiculaire à FH ; c'est pourquoi si l'on prend sur MO prolongée ou non prolongée un point quelconque , d'où l'on mene GF, & GH, & GI parallele à AP, le triangle FGH sera isoscele : mais à cause de l'angle droit GIH, GH surpasse GI ; c'est pourquoi GF surpasse aussi GI; & par consequent le point G est hors de la parabole , & partant MO ne la rencontre qu'au point M, où elle la-touche. C. Q. F. D.

On peut ajouter pour confirmer cette Démonstration, que si d'un point quelconque R pris au dedans de la

parabole, on mene RF du point R au foyer, & RH parallele à AP qui rencontre la parabole en M, & la generatrice en H , la ligne RH surpassera toujours RF: car ayant mené MF, elle sera ( Art. 10. no. 2.) = MH: mais RM + MF surpassent RF; & partant RH surpasse RF; c'est pourquoi puisque GF surpasse GI, le point G est hors de la parabole. On ne peut pas

dire point G soit sur la parabole: car GF(=GH ) seroit=GI. COROLLA IR E

I. 1. Il est clair que Mo prolongée rencontre l'axe AP aussi prolongé en T: car l'angle FOT est droit, & l'angle OFT aigu.

COROLLAIRE : 2. Si l'on prolonge HM vers R, & la tangente MO du côté de M vers S ; l'angle RMS sera égal à l'angle OMF=OMH.

COROLLAIRE I I I. 3.

les loix de la Catoptrique que si le foyer F étoit un point lumineux, les rayons refléchis à

à la rencontre de la parabole seroient paralleles à l'axe;

que le

I I.

D'où il suit par