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4. L'ON voit par l'équation précedente 4ax = yy que x croiffant y croît auffi; & qu'ainfi la parabole s'éloigne toujours de plus en plus de fon axe à mesure que le point P s'éloigne du fommet A, & que cela peut aller à l'infini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini.

COROLLAIRE IV.

5.D'Oil fuit que les lignes comme EM meneés paralleles à AP paffent au-dedans de la parabole étant prolongées vers R, & ne la rencontrent qu'en un seul point M.

COROLLAIRE V.

6. SI dans l'équation 4ax=yy, l'on fait x=a, le point P tombera en F, & l'on aura 4aa=yy; donc 2a = y; c'est-à-dire que l'appliquée FO qui part du foyer eft égale à la moitié du parametre; & fi l'on fait x=4a, l'on aura 16aa = yy, ou 4a=y, c'est-à-dire que AP, & PM feront chacune égale au parametre.

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7. IL eft manifeste que la quantité conftante qui accompagne l'inconnue ou l'indéterminée qui n'a qu'une dimenfion dans un des membres de l'équation, eft l'expreffion du parametre de l'axe de la parabole, lorfque le quarré de l'autre indéterminée eft feul dans l'autre membre: par exemple dans cette équation = yy, eft l'expreffion du parametre de l'axe de la parabole dont l'abciffe eft xi & l'appliquée y.

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8. LES quarrez des ordonnées PM, QN font entr'eux Fig. 55. comme les abciffes correfpondantes AP, AQ.

Ayant nommé comme dans la Propofition précedente AB, 4a; AP, x; PM, y; & AQ, f; QN 2

Il faut prouver que PM2 (yy). QN2 ( z ) :: AP ( x ). AQS).

DE'MONSTRATION.

L'On a par la Propofition précedente 4ax = yy, & 4af=zz; donc yy, zz:: 4ax. 4af:: x. f. C. Q. F. D. PROPOSITION III.

9.

Theorême.

LES mèmes chofes étant toujours fuppofées. Je dis que, fi d'un point quelconque m pris fur la parabole, on mené me parallele à PA, qui rencontrera la generatrice en e, & par le fommet A, la droite AC parallele à De qui rencontrera em en C, le cercle mle décrit fur le diametre me coupera AC par le milieu en I.

Ayant nommé la donnée AD, ou e°C, a ; & les indés terminées AP, ou Cm, x; Pm, ou AC, y ; & CI, f.

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DEMONSTRATION.

L'ON a par la premiere propofition 4ax = yy, & par la proprieté du cercle ax (eCx Cm) = f (CI2), on 4ax = 4ss; donc y = 2ƒ, ou — y = f. C. Q. F. D.

I

PROPOSITION IV.

Theorême.

FIG. 53. 10. E N. fuppofant encore les mèmes chofes, fi l'on prend AG, menée par le fommet A parallele aux appliquées PM, pour l'axe de la parabole, & GM parallele à AP, pour l'appliquéc, en nommant AG ou PM, x, GM, ou AP, y; & le parametre 4AF, 4a. Je dis que 4AF × GM = AG'.

DE'MONSTRATION.

I

L'ON a par la premiere Proposition 4ay = xx. C. Q;

F. D.

L'on n'a mis ici cette Propofition que pour faire voir qu'il eft indifferent de prendre celui qu'on voudra des deux axes conjuguez pour l'abciffe, & l'autre pour l'appliquée; ce qui convient à toutes les courbes Geometriques, où les deux indéterminées forment toujours un parallelogramme que nous avons nommé (art. 3. no. 16. j le parallelogramme des coordonnées. ✨

PROPOSITION V.

Problême.

11. UNE équation à la parabole, bx = YY, étant donnée, décrire la parabole, lorfque les coordonnées font perpendiculaires l'une à l'autre.

b, étant ( no.7.) le parametre ; x, l'abciffe ; & y, l'appliquée de la parabole qu'il faut décrire, comme il est démontré dans la premiere Propofition.

y

Soit A le commencement de x, qui va vers P; & de qui va vers B, ayant pris AB =b, & prolongé AP du

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côté de A, on fera AF, & AD chacune égale à

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4

AB, & l'on décrira unė parabole AM par la

premiere Propofition qui fatisfera au Problême, & dont A fera le fommet, F le foyer, & D le point generateur.

DE'MONSTRATION.

AYANT mené une ordonnée quelconque PM; AF

étant, b; AP, x; PM, y ; FP, sera x

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I

-

b

ou

— b — x ; & FM = PD ( n°. 2. ), x + b. Et le trian

4

gle rectangle FPM donnera xx +

2

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-bx+- bbyy qui fe réduit à bx=yy. C. Q. F. D.

16

REMARQUE.

12. SI l'on avoit nommé (Prop. 1.) DP ̧ x ; & DF, a ; l'on auroit trouvé 2ax-aayy ; & fi l'on avoit nommé FP, x; & DF, a; l'on auroit trouvé 2ax +aa = yy. Ce qui fait voir que lorfqu'une équation à la parabole a plus de deux termes, l'origine des inconnues n'est point au fommet de l'axe.

PROPOSITION VI

Problême.

XI. UN E parabole AM, dont l'axe eft AP, le fommet A, FIG.ssi le foyer F, le point generateur D, & la ligne generatrice EDH, étant donnée. On propofe de mener d'un point quelconque M, donné fur la parabole, la tangente MT.

Ayant mené par le point donné M la droite MH parallele à l'axe AP, & joint les points F, H; la ligne MOT menée du point M par le point O milieu de FH, fera la tangente cherchée,

DEMONSTRATION.

PUISQUE (Art. 10. n°. 2.) MFMH, & que FH eft coupée par le milieu en O ; la ligne MO eft perpendiculaire à FH; c'eft pourquoi fi l'on prend fur MO prolongée ou non prolongée un point quelconque, d'où l'on mene GF, & GH, & GI parallele à AP, le triangle FGH fera ifofcele: mais à cause de l'angle droit GIH, GH surpasse GI; c'est pourquoi GF surpasse auffi GI; & par confequent le point G eft hors de la parabole, & partant MO ne la rencontre qu'au point M, où elle la touche. C. Q. F. D.

On peut ajouter pour confirmer cette Démonstration, que fi d'un point quelconque R pris au dedans de la parabole, on mene RF du point R au foyer, & RH parallele à AP qui rencontre la parabole en M, & la generatrice en H, la ligne RH furpaffera toujours RF : car ayant mené MF, elle sera (Art. 10. no. 2.) = MH: mais RM + MF furpaffent RF; & partant RH furpaf. fe RF; c'eft pourquoi puifque GF furpaffe GI, le point G eft hors de la parabole. On ne peut pas dire que point G foit fur la parabole : car GF (=GH) feroit=GI.

J.

COROLLAIRE I.

le

IL eft clair que MO prolongée rencontre l'axe AP auffi prolongé en T: car l'angle FOT eft droit, & l'angle OFT aigu.

2.

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Si l'on prolonge HM vers R, & la tangente MO du côté de M vers S; l'angle RMS fera égal à l'angle

OMFOMH.

3.

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D'où il fuit par les loix de la Catoptrique que fi le foyer F étoit un point lumineux, les rayons refléchis à la rencontre de la parabole feroient paralleles à l'axe;

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