ou, ce qui est la même chose, les rayons paralleles à l'axe venant d'un point lumineux infiniment éloigné, se reAéchissant à la rencontre de la parabole , leurs refléchis passeroient tous au foyer F. PROPOSITION VII.

Theorême. 4. En supposant la même chose que dans la Proposition précedente. Je dis que, si l'on mene par le point touchant M, la droite MQ parallele à HF, qui rencontrera l'axe AP en Q, la partie de l'axe PQ, comprise entre le point Q, & l'ordonnée PM qui part du point M , sera égale à la moitié du parametre de l'axe de la parabole.

D e'M ON S T R AT IO N. A Cause des paralleles HF, MQ, & HM, FQ, les triangles MPQ, HDF sont semblables & égaux ; c'est pourquoi PQ=DF=( Prop. 1.) à la moitié du para. metre de l'axe.

D E'FINITION s. L A ligne PT est nommée foutangente , MQ perpendiculaire ; & PC, souperpendiculaire , ou founormale. PROPOSITION VIII.

Theorême. 6. Les choses demeurant dans le même état que dans la

ES Proposition précedente. Je dis que la foutangente PT est doublc de l’abcisse AP, comprise entre le sommet A & l'ordonnée PM qui part du point touchant M.

Ayant nommé comme dans la premiere Proposition les données A F, ou AD, a; Plino. 5.) 2a; & les variables AP, *; PM,y; PT, t.

Il faut prouver que t=2x.

x

D E'M ON STRATION. L'ANGLE FOT étant (Prop. 6.) droit, l'angle QMT (no. 4.) sera ausli droit ; c'est pourquoi 2a (QP)., (PM) :: y.t(PT); donc zat=yy : Mais ( Prop. 1.) 4ax=yy; donc zat = 40x; & partant t=2x. C. I. F. D.

7. Cette Proposition fournit un moyen aisé de mener une tangente à la parabole ; car fi d'un point quelconque M, on mene l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axe AP; ayant fait AT=AP, la ligne MT sera la tangente cherchée. PROPOSITION IX.

Theorême.
F16.56.8. U N E parabole AM dont AP et l'axe ; A le sommet;

F, le foyer; D, le point generateur; DE, la ligne generatrice.
Si par un point quelconque M pris sur la parabole, on mene
(no. 7:) la tangente MT, & par quelqu'autre point L, la
ligne LG parallele à la tangente MT. Je dis que
MR menée par le point touchant M parallele à l'axe AP,
coupera

GL le milieu en 0.
Ayant mené par les points 1, M,0, & G. Les lignes

L
BLI qui rencontrent MR prolongée en I, MP, OC,
&GRS perpendiculaires à l'axe AP, & nommé AF, ou
AD, a; le parametre de l'axe sera ( Art. 10.) 4a=4AF;
AP, *;PM; ou BI, ou SR, Y; AC,m; BC, ou 10,
Si CS, ou OR, R; AB sera, m - /; AS, m+2; CP,

mtoki
ou OM, m— .*; & PT (no. 6.), 2x.

Il faut prouver que OG=OL, ou ce qui revient au même OR=01, ou s=2

DEMONSTRATION. Les triangles semblables (Const.) TPM,ORG, OIL, donnent les deux Analogies suivantes.

TP

la ligne

par

yz TP (2x). PM (y) :: OR (2). RG= *,& T P (2x). PM(y) :: 01(5).IL='S donc SG

ys =y+*, & Bl=y-? mais ( Art. 10. no: 8.)

* (AP).m +2(AS):: yy ( P M'). yy + 2yy2 + yyzz

2X

yz

:

2X

2X

(SGʻ). & * (AP). M -S(AB) :: yy (PM2), yy

( 2yys +yys (BZ?), d'où l'on tire ces deux équations

B. myy - yy=xyy - 2xyys + xyyl, & ôrant le pre

–

mier membre de la seconde équation B du premier membre de la premiere A, & le second de la seconde du second de la premiere, l'on a yyz + yyf = 2xyy2 + 2xyys

=

+ xyy23 — xyyl, d'où l'on tire z=s, ou OR=01; +

4XX

:

donc OL=0G. C. Q. F. D.

Il peut arriver differens cas:car le point o s'éloignant de M, le point L tombera en A, ou de l'autre côté de A par raport à M: mais on le prouvera toujours de la même maniere que 2=S, OG=OL; c'est pourquoi la Proposition est generalement vraye.

D E' FINI I IONS. 9.

L A ligne MR parallele à l'axe AP est appellée F16.56. diametre, parcequ'elle coupe toutes les GL par le milieu en 0; le point M, le sommet du diametre MR; MO,

M

,

l'abscisse , ou coupée ; OL, OU OG , l'ordonnée, ou l'appli. quée à ce diametre.

PROPOSITION X.

Theorême. 1o. En supposant les mêmes choses que dans la Proposition précedente. Je dis que le quarré d'une ordonnée quelconque OL, ou O G au diametre MR, est égal au rectangle de l'abscisse MO par 4MF, ou ( Art. 10.no, 2. ), ayant prolongé OŃ en H, par 4MH.

Ayant nommé l'abscisse M0, t; l'ordonnée OL, ou OG, u; MF, ou MH,b; & les autres lignes comme dans la Proposition precedente. Il faut prouver que tbt =uu, ( 4MFX MO=OG?).

D E' M O N S T R A TI O N. Si l'on ajoute les deux premiers & les deux seconds membres des deux équations A & B de la Proposition précedente , après avoir mis & en la place de S; puisque (Prop. préced.)2=; l'on aura zmyy = 2xyy + ou = 4mx - 4xx, ou x=4tx, en mettant t pour

, mn -x=PC=MO : mais le triangle rectangle ORG, ou OIL donne x (ORP) + (RG2. Prop. préced. ) =uu (G?, ou O L2), qui devient 47x + 4at = uu en mettant pour 22 sa valeur 4tx, & pour yy

sa valeur (Prop: 1.) 4ax: mais x +a =PD=MF=MH=b; donc en substituant b en la place de x+ a dans l'équation précedente, elle deviendra 4bt=uu, ou 4MF * MO

OGP. C. l. F. D.

2.xyyzz

4XX

yyzz

4XX

D E' FINITION s.

11. L A ligne égale à 46=4MF= 4MH est nommée le parametre du diametre mo.

MO

elt ax = yy.

PROPOSITION X I.

Theorême. 12. Une équation à la parabole ( ax = yy) dont les coordonnées x & y ne font point perpendiculaires, étant donnée, décrire la parabole.

Soit M le sommer du diametre MO, dont le parame- F16.57. tre est a, & l'origine des variables x, qui va vers 0, & y qui va vers K en faisant avec MO l'angle oblique OMK. Il faut décrire par M la parabole LMG dont l'équation Ayant prolongé OM & pris MH= м

sa=( Prop: préced.) au quart du parametre du diametre Mo, on

M0, menera par H la droite HE perpendiculaire à H0, qui sera (Prop. préced.) la ligne generatrice ; & ayant fait l'angle KMF= l'angle KMH , pris MF= MH . & mené par F la ligne FD parallele à Mo qui coupera la generatrice HE en D. Par la Proposition précedente, & par la sixiême, F sera le foyer; FD, l'axe ; D le point generateur, & A milieu de FD le sommet de l'axe de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la premiere Proposition.

D E'M ON S T R A TI O N. Elle est claire par la Proposition précedente, & par la fixiême.

=