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ou, ce qui eft la même chofe, les rayons paralleles à l'axe venant d'un point lumineux infiniment éloigné, se refléchiffant à la rencontre de la parabole, leurs refléchis pafferoient tous au foyer F.

PROPOSITION VII.

Theorême.

4. EN fuppofant la même chose que dans la Propofition précedente. Je dis que, fi l'on mene par le point touchant M, la droite MQ parallele à HF, qui rencontrera l'axe AP en Q, la partie de l'axe PQ, comprise entre le point Q, & l'ordonnée PM qui part du point M, fera égale à la moitié du parametre de l'axe de la parabole.

DE'MONSTRATION.

A Caufe des paralleles HF, MQ, & HM, FQ, les triangles MPQ, HDF font femblables & égaux; c'est pourquoi PQ = DF=( Prop. 1.) à la moitié du parametre de l'axe.

5.

DEFINITION.

LA ligne PT eft nommée foutangente, MQ perpendiculaire ; & PQ, fouperpendiculaire, ou founormale.

PROPOSITION VIII.

Theorême.

6. LES chofes demeurant dans le mème état que dans la Propofition précedente. Je dis que la foutangente PT eft double de l'abciffe AP, comprise entre le fommet A & l'ordonnée PM qui part du point touchant M.

Ayant nommé comme dans la premiere Propofition les données AF, ou AD, a; PQ (no. 5.) 2a; & les variables AP, x; PM, y; PT, t.

Il faut prouver que t=2x.

DE'MONSTRATION.

L'ANGLE FOT étant (Prop. 6.) droit, l'angle QMT (n°. 4.) fera auffi droit, c'est pourquoi 2a (QP).y (PM) :: y. t (PT); donc 2atyy: Mais (Prop. 1.) 4ax=yy ; donc 2at=4ax; & partant t=2x. C. Q. F. D.

7. Cette Propofition fournit un moyen aifé de mener une tangente à la parabole, car fi d'un point quelconque M, on mene l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axe AP; ayant fait AT=AP, la ligne MT fera la tangente cherchée.

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FIG. 56. 8. UN E parabole AM dont AP eft l'axè; ♬ le fommet; F, le foyer; D, le point generateur; DE, la ligne generatrice. Si par un point quelconque M pris fur la parabole, on mene (no. 7.) la tangente MT, & par quelqu'autre point L, la ligne LG parallele à la tangente MT. Je dis que la ligne MR menée par le point touchant M parallele à l'axe AP, coupera GL par le milieu en O.

a;

Ayant mené par les points L, M, 0, & G. Les lignes BLI qui rencontrent MR prolongée en I, MP, OC, & GRS perpendiculaires à l'axe AP, & nommé AF, ou AD, a, le parametre de l'axe fera (Art. 10.) 4a=4AF; AP, x ; ́ PM; ou BI, ou SR,y; AC, m; BC, ou 10, f; CS, ou OR, Z; AB sera, m —f; AS, m+z; CP, ou OM, m-x; & PT (no. 6.), 2x.

Il faut prouver que OGOZ, ou ce qui revient au même OR 01, ou f=2.

DEMONSTRATION.

T I

LES triangles femblables (Conft.) TPM, ORG, OIL, donnent les deux Analogies fuivantes.

TP.

yz, &

TP (2x). PM (y) :: OR(z). RG=

2X

TP (2x). PM (y) :: 01 (f). I L = donc SG

yz

20

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=y+2, & BL=y: mais (Art. 1o. n°. 8.)

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x (AP). m + z (AS) :: yy ( P M2 ) . yy + zyy1⁄2 +YYZZ

2.3

(SG'). & x (AP). m—[(AB) :: yy (PM2). yy +yyss ( BL2), d'où l'on tire ces deux équations

2yyf

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4XX

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2xyys + xyyss, & ôtant le pre

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mier membre de la feconde équation B du premier membre de la premiere A, & le fecond de la feconde du second de la premiere, l'on a yyz+yyf = 2xyyz→ 2xyy!

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2x

xyy, d'où l'on tire zf, ou OR=01;

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Il peut arriver differens cas: car le point O s'éloignant de M, le point Z tombera en A, ou de l'autre côté de A par raport à M: mais on le prouvera toujours de la même maniere que zf, OGOL, c'eft pourquoi la Propofition eft generalement vraye.

DEFINITION S.

9. LA ligne MR parallele à l'axe AP eft appellée FIG. 56. diametre, parcequ'elle coupe toutes les GZ par le milieu

en 0;

le point M, le fommet du diametre MR; MO,

M

l'abfciffe, ou coupée; O L, ou OG, l'ordonnée, ou l'appliquée à ce diametre.

PROPOSITION X.

Theorême.

10.EN fuppofant les mêmes chofes que dans la Propofition précedente. Je dis que le quarré d'une ordonnée quelconque OL, ou OG au diametre MR, eft égal au rectangle de labfciffe MO par 4MF, ou (Art. 10. no, 2.), ayant prolongé OM en H, par 4MH.

Ayant nommé l'abfciffe MO, t; l'ordonnée OZ, ou OG, u; MF, ou MH, b; & les autres lignes comme dans la Propofition précedente. Il faut prouver que 4bt:

=uu, (4MF × MO— OG2).

DE'MONSTRATION.

=

SI l'on ajoute les deux premiers & les deux seconds membres des deux équations A & B de la Propofition précedente, après avoir mis en la place de ; puifque

(Prop. préced.)<=/; l'on aura 2myy = 2xyy +

2xyyzz

4xx

ou = 4mx — 4xx, ou 4tx, en mettant pour ༢༢ = m — x = PC=MO: mais le triangle rectangle ORG,

ou OIL donne zz ( OR2 ) +

yyzz
4xx

(RG2. Prop. préced.)

=uu ( OG2, ou O L2), qui mettant pour la valeur 4tx, & pour yy fa valeur (Prop: 1.) 4ax: mais x+a PD=MFMH=b;

devient 4tx + 4at = uu en

donc en fubftituant b en la place de x+a dans l'équation précedente, elle deviendra 4btuu, ou 4MF × MO =OG2. C. Q. F. D.

DEFINITION S.

11. LA ligne égale à 4b = 4MF le parametre du diametre MO.

= 4MH eft nommée

PROPOSITION XI.

Theorême.

12. UNE équation à la parabole ( ax = yy) dont les coordonnées x &y ne font point perpendiculaires, étant donnée, décrire la parabole.

& y

Soit M le fommet du diametre MO, dont le parame- FIG. 57. tre eft a, & l'origine des variables x, qui va vers 0, qui va vers K en faisant avec MO l'angle oblique OMK. Il faut décrire par M la parabole LMG dont l'équation

eft ax=yy.

Ayant prolongé OM & pris MH = a = ( Prop. préced.) au quart du parametre du diametre MO, on menera par H la droite HE perpendiculaire à HO, qui fera (Prop. préced.) la ligne generatrice; & ayant fait l'angle KMF = l'angle KMH, pris MF MH & mené par F la ligne FD parallele a MO qui coupera la generatrice HE en D. Par la Propofition précedente, & par la fixiême, F fera le foyer; FD, l'axe ; D le point generateur, & A milieu de FD le fommet de l'axe de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la premiere Propofition.

DE'MONSTRATIO N.

ELLE eft claire par la Propofition précedente, & par

la fixiême.

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