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Où l'on démontre les principales propriete de l'Ellipfe décrite par des points trouvez fur un Plan.

FIG. 58. XII.

U

PROPOSITION I.

Theorême.

NE ligne droite AB, divifée par le milieu en C, & deux points fixes F, G également diftans du milieu C, ou des extrémitez A & B, étant donnée de grandeur & de pofition ; fi l'on prend entre F & G un point quelconque H, & que du centre F & du rayon AH; du centre G & du rayon BH, l'on décrive deux cercles; ces deux cercles fe couperont en deux points M, m de part & d'autre de la ligne AB; puifque leurs demi diametres furpaffent FH + HG. Et je dis que les points M&m, & tous ceux qui feront troude la même maniere, en prenant d'autres points H, seront à une Ellipfe dont C eft le centre, AB le grand axe, DE l'axe conjugué à l'axe AB, qui eft double de la moyenne proportionnelle entre AF & FB, ou AG & GB.

༧༩༢.

DEMONSTRATION.

D'UN des points M, trouvez comme on vient de di-
re, ayant abbaissé la perpendiculaire MP, mené F M
& GM, & nommé les données AC, ou CB, a ; FC,
ou CG, c; & les indéterminées CP, x; PM, y; AP
fera, a―x; PB,a+x; FP, c—x ou, x—c;&PG,c+x.
Il est clair par la defcription que FM+ MGA B
2a; puifque F M=AH, & MGHB; nommant
donc la difference de F M, & MG, 2f; F M sera a —
:-/
& MG, a + f. Cela pofé.

=

Les triangles rectangles FPM, GPM donneront, CC — 2cx + xx + yy: = da - zas + ss, & cc+2cx + xx + yy = aa + 2af+, & en ôtant la premiere de la feconde, le premier membre du premier & le second du second, l'on aura 4cx = 4af, d'où l'on tire

сос

S = =

a

& mettant cette valeur de f, & celle de fon

quarré dans l'une des deux premieres équations, l'on

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tire en réduifant, tranfpofant, & divifant par aa - cc,

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Mais lorsque le point P tombe en C, PM (y) devient CD, & ( x ) devient nulle, ou = 0; c'est pour

quoi en effaçant le terme xx, l'on a aa —

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=

aa

aayy

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CC

ou ad

cc = yy = = CD, & partant y +CD: nommant donc CD, b; l'on a, aa—cc bb; d'où l'on tire a-t (AF). b(CD) :: b (CD). a + c (FB). Qui eft une des chofes qu'il faloit démontrer. Or mettant b6 dans l'é

quation aa - xx —

a, da -xx

aayy

bb

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Et comme cette équation est la

même que celle qu'on a trouvée (Art. 9. n°. 10.) il fuit que la courbe ADBE est une Ellipse. Ce qui eft une des autres chofes proposées.

Si dans l'équation aa — xx —

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aura xx aa; donc xa, ce qui fait voir que l'Ellipfe paffe par les points A & B. Et en faisant x = o l'on a trouvé y +CD qui montre que l'Ellipfe AM paffe auffi par les points D & E, en faifant CE CD; c'est

=

=

FIG. 59.

pourquoi (Art. 9. n°. 6. ) AB, est le diametre principal de I'Ellipfe; DE fon axe conjugé, & C le centre. Ce qu'il faloit enfin démontrer.

On peut réfoudre cette équation aa-xx =

le cercle. Mais il faut la changer en celle-ci aa

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aayy

aa

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CC

par

yy

a+ x

On fera enfuite cette

puis faire cette analogie, B. a + x.y::y

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¢ = ༢.

Pour trouver toutes les inconnues, u, x, y, z, 10. d'un དྱཱ,༢,10.d’un rayon qui ne foit pas moindre que la moitié d'AB=2a décrivez le cercle ABG, infcrivez-y la corde AB=2a, fur laquelle vous prendrez AD=a+c,&DB=a—c par le point D menez une autre corde EG. Et parce que dans l'analogie D, a eft plus petit que z, il faut prendre DG u plus grand que AB.

=

AC

A présent pour avoir x, à cause de l'analogie D, on aura au xu aa, ou, au aaux ; ainfi nous aurons cette analogie E. u. a: a. x. On trouvera x en faisant FIG. 60. l'angle CAF, & prenant AF = u, BF — u — a, =a, les paralleles CF & BD menées, donnent DC=x. Enfin pour avoir y, menez, à cause de l'analogie B, la ligne AB, fur laquelle vous prendrez AD = a + x (AK+DC), DB=z. De C milieu de AE, & de l'intervalle AC ou CB, décrivez le demi cercle ALB, la perpendiculaire DL = y.

FIG. 61.

FIG. 58. I.

DEFINITIONS.

LES points F & G font nommez les foyers de l'Ellipfe, CP, Fabciffe, ou coupée, & PM ou Pm l'ordonnée, ou l'appliquée à l'axe AB.

2.

COROLLAIRE I.

IL eft clair que les lignes FM, GM menées des foyers à la circonference de l'Ellipfe font, par la defcription, ensemble égales à l'axe AB, & que PM = Pm.

3.

COROLLAIRE II.

IL est auffi évident que le rectangle des deux parties AF, FB ou AG, GB de l'axe AB faites par un des foyers F, ou G, est égal au quarré du demi axe conjugué DC: car dans la Démonstration précedente l'on a trouvé CC= CD2. Or aa FB CD.

aa

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cc = a + c xa

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-C, AF x

4. ON voit par les termes de l'équation aa — xx — aayy & par les fignes + & qui les précedent que x

bb

croiffant, y diminue car plus x devient grande, plus aa -xx diminue, & par confequent auffi yy; puifque les quantitez conftantes aa, & bb demeurent toujours de même grandeur; ce qui fait voir que les points M & m de l'Ellipfe, s'approchent d'autant plus de l'axe AB, que le point P s'éloigne de C. On voit auffi que l'on ne peut augmenter x que jufqu'à ce qu'elle devienne = a; auquel cas da xx devient aa = 0 & par quent auffi yo, ce qui fait voir que les points M & m fe confondent alors avec les points A & B, & que l'Ellipfe coupe l'axe en ces points, comme on a déja remarqué.

= aa

COROLLAIRE IV.

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confe

aay étant ré

bb

5. L'EQUATION à l'Ellipse aa — xx = duite en analogie donne aa—xx (AP × PB). yy (PM2) :: aa ( AC2). bb ( C D2) :: 4aa ( AB2) 4bb ( DE2), c'està-dire que le rectangle des deux parties AP, PB de

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l'axe AB faites par l'appliquée PM eft au quarré de l'appliquée PM: comme le quarré de l'axe AB est au quarré de l'axe conjugué DE.

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6. SI l'on fait AB ( 2a). DE (2b) :: DE (2b). 266, la

=

266

a

ligne 2bb que je nomme p.p fera (Art. 9. n°. 13,) le parametre de l'axe AB. Or puifque a. b:: b. p, l'on a auffi a. p: aa. bb; donc abb =

I

2

donc 1 aap;

aa

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24; C'est pourquoi fi l'on met dans l'équation aa

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, en la place de , fa valeur, l'on 24; d'où l'on tire cette analogie aa

xx=

P

xx ( AP × PB ). yy ( PM2) :: 2a ( AB). p, c'est-àdire que le rectangle des deux parties de l'axe faites par l'appliquée, eft au quarré de l'appliquée; comme le même axe, eft à fon parametre.

7.

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IL fuit du Corollaire précédent que le rectangle de l'axe A B par fon parametre est égal au quarré de l'axe conjugué DE; puifque AB. DE :: DE. p.

COROLLAIRE VII.

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quoi l'on fera fur l'équation à l'Ellipfe les trois remarques fuivantes, après avoir délivré l'un des quarrez inconnus qu'elle renferme de toute quantité connue.

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9. LORSQUE l'antécédent du raport qui accompagne un des quarrez inconnus de l'équation à l'Ellipfe eft égal & femblable au terme connu, ou ce qui eft la même chose, fi cet antécédent renferme les mêmes lettres que

le

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