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le terme connu de l'équation; fa racine quarrée exprimera le demi diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & la racine quarrée du conféquent exprimera le demi diametre conjugué.

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10. LORSQUE cet antecedent est le double de la racine quarrée du terme connu, il exprimera le diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & le conféquent exprimera fon parametre.

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HIEN tout autre cas ce raport marque le raport du
diametre, dont une partie est exprimée par l'autre incon
nue, à fon
à fon parametre, ou le raport du quarré du même
diametre au quarré du diametre conjugué. Tout cela est
évident (n°. 6 & 8 ).

OROLLAIRE VIHI, no emb 12. D'où il fuit qu'une équation à l'Ellipfe renferme les expreffions des deux diametres conjuguez, qui forment le parallelogramme des coordonnées, ou de l'un de ces diametres, & de fon parametre, ou la raifon du quarré de l'un des diametres au quarré de l'autre, ou enfin celle de l'un des deux à fon parametre: de forte qu'on aura toujours les deux diametres conjuguez par le moyen de l'équation.

Par exemple, dans l'équation aa - xx 477 le terme FIG. 58. connu aa eft le quarré du demi diametre AC; l'antecedent aa du raport qui accompagne yy eft femblable & égal au terme connu aa; c'eft pourquoi le conféquent bb eft le quarré du demi diametre conjugé CD à l'axe ou au diametre principal AC. Dans l'équation aa - xx 247, l'antecedent 2a étant double de la racine du ter. me connu aa; za fera le diametre AB, & P fon parametre: & partant, fi l'on fait za. p:: aa. 1⁄2 ap;

N

ap sera

l'expreffion du quarré du demi diametre conjugué CD; &
partant CD=Vap. Enfin dans léquation aa—xx —
my, aa exprime le quarré du demi diametre AC dont
les parties CP font nommées x &
; partant AB = ra.
Mais pour avoir l'expreffion du demi diametre DE con-
jugué au diametre: AB, l'on fera m. n::aa."; & par-
tant √ aa=CD, & 2√ aa = DE. Et pour avoir l'ex-
preffion du parametre du diametre AB, l'on fera m. n :: 1a.
24, & cette quantité a fera l'expreffion cherchée.

m

m

m

COROLLAIRE IX.

FIG. 58. 13. SI l'on nomme AP, x; BP fera, 2a

aayy

za—x, & l'on aura (no. 5.) zax-xx (APx PB). yy (PM3) :: aa (AC). bb (CD'); donc 2ax - xx — , qui montre que lorfque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l'Ellipfe, il fe trouve des feconds termes dans fon équation', & qu'une équation locale appartiendra toujours à l'Ellipfe, lorfqu'elle renfermera deux quarrez inconnus, l'un defquels ou tous deux feront accompagnez de quelque quantité connue, & auront différens fignes dans les deux membres de l'équation, ou même figne dans le même membre, quelque mêlange de conftantes qu'il s'y rencontre, & pourvu que les deux inconnues ne foient point multipliées l'une par l'autre.

,

COROLLAIRE X.

aayy
663

ou

14. SI dans l'équation à l'Ellipfe aa— xx —
ay, a=b, l'on aura aa-xxyy ou

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zax

xx

xxyy; qui eft une équation au cercle, pourvû que les coordonnées x & y faffent un angle droit: car l'une & l'autre de ces deux équations donne AP × PB = PM2 qui eft la principale propriété du cercle. D'où l'on voit auffi que l'équation à l'Ellipfe ne différe de celle du cercle, qu'en ce que l'un des quarrez inconnus eft accompagné de quelque quantité connue dans l'équation

à l'Ellipfe, & qu'ils en font tous deux délivrez dans l'équation au cercle. En effet le cercle peut être regardé comme une Ellipfe dont les foyers font confondus avec le centre, & dont tous les diametres font par conféquent égaux entr'eux, & à leurs parametres.

Dans l'équation au cercle aa -xxyy, les coordonnées ont leur origine au centre & dans celle-ci, zax -xxyy, l'origine des coordonnées n'eft point au

centre.

15.

LE

PROPOSITION II.

Theorême.

ES mêmes chofes que dans la premiére Propofition FIG. 58. étant fuppofees. Je dis que l'appliquée FO au foyer F eft égale à la moitié du parametre de l'axe AB.

Il faut prouver que FO = 1⁄2 p.

DEMONSTRATION.

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=c(CF), le point P tombera en F, & PM deviendra

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16. LES deux axes conjuguez AB, DE d'une Ellipse étant donnez, trouver les foyers F, & G.

Soit du centre D, extrêmité de l'axe conjugué DE, & du rayon AC, décrit un cercle qui coupera A B en deux points F & G qui feront les foyers qu'il faloit trouver.

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DE'MONSTRATION,

PAR la construction FD + DG—A B ; donc ( no. 2. )
F & G font les foyers. C. Q. F. D.

PROPOSITION IV.

Problême.

FIG. 58. 17. L E grand axe AB d'une Ellipfe & les foyers F & G étant donnez, déterminer l'axe conjugué à l'axe AB.

la

Soit du foyer F pour centre & pour rayon le demi axe AC décrit un cercle. Il coupera là perpendiculaire à A B menée par le centre C en deux points D & E, & DE sera l'axe conjugué à l'axe A B.

DE'MONSTRATION.

ELLE eft la même que celle de la Propofition précé

dente.

JCTAXT

PROPOSITION V.

Theorême.

que le

FIG. 58. 18. SI l'on fait MQ perpendiculaire à D E. Je dis rettangle des deux parties DQ, QE de l'axe DE faites par l'appliquée MQ, est au quarre de MQ: comme DE' quarré de l'axe DE à AB quarré de l'axe A B.

En laiffant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a donnez dans la premiere Propofition, 'CP, où QM étant x; & PM, ou CQ,y; DQ fera, by ; & Q E, b+y. Il faut démontrer que xx:: 4bb. 4aa.

bb

---

-yy

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DEMONSTRATION.

EN reprenant l'équation de la premiére Propofition aa XX\ a, la multipliant par bb, la divifant par aa & yy, d'où l'on tire cette

tranfpofant l'on aura bb

analogie bbyy. xx:: bb. aa :: 4bb. 4aa. DQ × QE. QM':: DE'. AB3. C. Q. F. D.

DEFINITION.

2na

19.SI l'on fait 26. 2a è: 2a. 24a que je nomme p; la ligne =p eft appellée le parametre de l'axe DE.

COROLLAIRE.

20. b. a:: 2a. p, donne bp 2aa
= ou bbpzaab.

66

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ou ; c'eft pourquoi fi on met en la place de bb 250

=

aa

dans l'équation précedente, l'on aura bbyy=2xx, ou fi l'on fait, l'on aura bb —yy = mxx. ›

bb—yy

On ajoutera à ce Corollaire les raisonnemens que l'on a faits no. 9, 10, 11, 12, 13 & 14.

II,

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née, décrire l'Ellipfe lorfque les coordonnées font un angle droit.

=

Soit premierement trouvé une moyenne proportionnelle entre a, & b'qui foit f; & par conféquent ff - ab; ainfi l'équation sera ff — xx= 2. On fait ce changement parceque ab étant l'expreffion du quarré du demi diametre dont les parties font nommées x, cette expreffion doit auffi être un quarré.

Soit préfentement C, l'origine des inconnues x, qui FIG. 58. va vers A & vers B, & y, qui va vers D & vers E. Le même point C doit auffi être le centre de l'Ellipfe puifque les inconnues x & y n'ont point de fecond terme dans l'équation. Soit fait CA & CB chacune =ƒ; AB fera le grand axe, fic furpaffe d; le petit, fic eft moindre que d. Pour avoir l'axe conjugué à l'axe AB,

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