II,

nue,

7

le terme connu de l'équation ; sa racine quarrée exprimera le demi diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & la racine quarrée du conséquent exprimera le demi diametre conjugué.

R É MA R QUE I I. 10. Lorsque cet antecedent est le double de la racine quarrée du terme connu, il exprimera le diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & le consé.. quent exprimera son

parametre.

· REMARQUE III. 11.En tout autre cas ce raport marque le raport du

.. diametre, dont une partie est exprimée par l'autre incon,

à son parametre, ou le raport du quarré du même diametre au quarré du diametre conjugué. Tout cela est évident (no. 6 & 8).

COROLLA I RE: VIII, sa: 12. D'où il fuit qu'une équation à l'Ellipse renferme les expressions des deux diametres conjuguez, qui forment le parallelogramme des coordonnées, ou de l'un de ces diametres, & de son parametre, ou la raison du quarré de l'un des diametres au quarré de l'autre, ou enfin celle de l'un des deux à son parametre : de forte qu'on aura toujours les deux diametres conjuguež par le moyen de l'équation.

Par exemple, dans l'équation aa -- xx="%? le terme F16. 58. connu aa est le quarré du demi diametre. AÇ; l'antece. dent aa du raport ii qui accompagne yy est semblable & égal au terme connu aa ; c'est pourquoi le conséquent bb est le quarré du demi diametre conjugé CD à l'axe ou au diametre principal AC. Dans l’equation aa — **

za», l'antecedent 2a étant double de la racine da rera me connu da; 2a sera le diametre AB, fón

parametre:& partant, si l'on fait saip.::aa. I ap; ;'ap fera

N

XX

XX

&

P

туу

X;
x

&

20.

*, & l'on

- =

bb

l'expression du quarré du demi diametre conjugué CD; & partant CD=V_ap. Enfin dans léquation aa – xx = myy, aa exprime le quarré-du demi diametre AC dont les parties C P sont nommées

partant

AB Mais pour avoir l'expression du demi diametre D E conjugué au diametre: AB, l'on fera m. n:: aa. mm; & partant vaa=CD; & 2vaa = DE. Et pour avoir l'ex

2V = pression du parametre du diametre AB, l'on fera m. n:: 2a. minne, & cette quantité - ne sera l'expression cherchée.

zam

COR í L A I R E I X. F.16.58. i 3. Si l'on nomme AP, x; BP sera, 24

*-x, aura (no. 5.) 2ax - xx (A? * PB): yy (PM'):: aa (AC). bb (C D'); donc zax — xx= 1", qui montre

= que lorsque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l’Ellipse, il se trouve des seconds termes dans son équation', & qu'une équation locale appartiendra toujours à l’Ellipse, lorsqu'elle renfermera deux quarrez inconnus, l'un desquels ou tous deux seront accompagnez de quelque quantité connue , & auront différens Tignes dans les deux membres de l'équation, ou même ligne dans le même membre, quelque mélange de conftantes qu'il s'y rencontre , & pourvu que les deux inconnues ne soient point multipliées l'une par l'autre.

COROLLAIRE X. 14. Si dans l'équation à l’Ellipse' aa — xx= 40%", ou zax

anpy; a=b, l'on aura aa — xx = yy ou

: --xx=yy'; qui est une équation au cercle , pourvû que les coordonnées * & y fassent un angle droit: car

x l'une & l'autre de ces deux équations donne A PX PB = PM' qui est la principale propriété du cercle. D'où l'on voit aussi que l'équation à l'Ellipse ne différe de celle du cercle , qu'en ce que l'un des quarrez inconnus est accompagné de quelque quantité connue dans l'équation

- =

y

XX

dayy
66

=

centre.

à l'Ellipse , & qu'ils en sont tous deux délivrez dans l'és quation au cercle. En effet le cercle peut être regardé comme une Ellipse dont les foyers sont confondus avec le centre, & dont tous les diametres sont par conséquent

, égaux entr'eux, & à leurs parametres.

Dans l'équation au cercle aa — xx=yy, les coordonnées ont leur origine au centre , & dans celle-ci, 2ax - ** =ye, l'origine des coordonnées n'est point au PROPOSITION I I.

Theorême. 15. Les mêmes choses que dans la premiere Proposition Fic.s8: étant supposées

. Je dis que l'appliquée FO au foyer F eft égale
à la moitié du parametre de l'axe AB.
Il faut prouver que FO=íp.

DE'M ONS I RATION.
Si dans l'équation aa — *x = on fait x (CP)
=c(CF), le point P tombera en F, & PM deviendra
F0; & l'on aura aa 3- d'où l'on tire y

aayy

yyaa

PROPOSITION I 1 1.

Problême. 16. Les deux axes conjuguez AB, DE d'une Ellipse étant donnen, trouver les foyers F, & G.

Soit du centre D, extrêmité de l'axe conjugué DE, & du rayon AC, décrie un cercle qui coupera A B en deux points F & G qui seronc les foyers qu'il faloit trouver.

D E'M ON S T R A TION,
Par la construction FD + DG =AB; donc ( no. 2. )

+ ;
F & G sont les foyers. C. l. F. D.

PROPOSITION IV.

Problême. F 16.58.17. L E grand axe A B d'une Ellipse & les foyers F&G

étant donnez, déterminer l'axe conjugué à l'axe A B.

Soit du foyer F pour centre & pour rayon le demi axe AC décrit un cercle. Il coupera la perpendiculaire à A B menée par le centre C en deux points D & E, & DE sera l'axe conjugué à l'axe A B.

D E'MONSTRATION.
ELLE

L E est la même que celle de la Proposition précé. dente, PROPOSITION V.

Theorême. F16. 58. 18. S 1. l'on fait MQ perpendiculaire à D E. Je dis que le

TeEtangle' des deux parties D Q; QE de l'axe D E faites par l'appliquée MQ, au quarré de MQ:comme D E' quarré de l'axe DE à AB. quarré de l'axe A B.

En laissant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a donnez dans la premiere Proposition, CP, ou QM étant *; & PM, ou CQ, Y; DQ_lera, by; & Q E, b+y. Il faut démontrer que bb -—yy xx :: 466.4da.

. DEMONSTRATION. EN reprenant l'équation de la premiere Proposition aa

carta, la multipliant par.bb, la divisant par aa & transposant l'on aura bb -yy= blant, d'où l'on tire cette

bbxx

DE

X

.

XX

analogie bb - yy.xx :: bb. aa :: 466.4aa. De* QE. QM':: DE'. AB'. C. l. F. D.

D E F INI T 1 o N.

=P

19. Si l'on fait 26. 2a :: 2a. 2a que je nommep; la ligne p est appellée le parametre de l'axe DE.

COROLLA L R E. 20. b. a :: 2a. p, donne bp= 2aa , ou bbp= zaab, ou = ; c'est pourquoi si on met en la place de ble dans l'équation précedente, l'on aura bb - yy=2**,

уу ou si l'on fait , l'on aura bb-yy=ma

m

On ajoutera à ce Corollaire les raisonnemens que l'on a faits no. 9, 10, 11, 12, 13 & 14.

,

26

66

26
р

mxr

PROPOSITION VI.

Problême.

cyy

XX

d

abi

21.

UN E équation à l'Elipse ab — xx= étant donnée , décrire l’Ellipse lorsque les coordonnées font un angle droit.

Soit premierement trouvé une moyenne proportionnelle entre a, & b' qui foit f; & par conséquent ff

ainsi l'équation sera ff — xx= 2. On fait ce changement parceque ab étant l'expression du quarré du demi diametre dont les parties sont nommées x, cette expression doit aussi être un quarré.

Soit présentement C, l'origine des inconnues x, qui F 16.58. va vers A & vers B, & y, qui va vers D & vers E. Le même point c doit ausfi être le centre de l'Ellipse, puisque les inconnues x

у

n'ont point de second terme dans l'équation. Soit fait CA & CB chacune=f;

= A B sera le grand axe, si c surpasse d; le petit , si c est moindre que d. Pour avoir l'axe conjugué à l'axe AB,

&