le

pour élever a+b à la quatriême puissance, l'on écrira , A. a* + a,b+aabb + abi+b4. Si le binome est tout posi

, tif, tous les termes de la puissance auront le signe +; la seconde lettre est négative, les termes où elle se trouvera élevée à une puissance impaire, ou dont l'exposant est un nombre impair, auront le signe -, & tous les autres le signe +, comme on voit dans la puissance A.

Il reste encore à trouver les coefficiens ; en voici la Méthode.

On donnera au second terme pour coefficient l'exposant du premier ; on multipliera le coefficient du second par l'exposant que la premiere lettre a du binome a au même second & le produit divisé par 2, sera le coefficient du troisième. De même, le coefficient du troisiême multiplié par l'exposant que la premiere lettre a au même troisiême ; & le produit divisé par 3 ,

par 3 , sera le coefficient du quatriême ; & ainsi de suite. De maniere

que coefficient d'un terme quelconque multiplié par l'expo. sant que la premiere lettre du binome a dans le même terme , & le produit divisé par le nombre qui marque le lieu

que ce même terme occupe dans l'ordre des termes de la puissance, est le coefficient du terme suivant. Ainsi la 4e puisance du binome a + b entierement formée est,

a* + 4a'b+baabb + 4ab' + 64. Il en est ainsi des autres.

S'il y a quelque nombre entier ou rompu qui précede l'un des deux, ou tous les deux termes du binome on multipliera le coefficient de chaque terme de la puis, sance

par une puissance de ce nombre égale à celle où la lettre qu'il précede y est élevée. Ainsi pour élever a + 26 à la 3e puissance, l'on y élevera premierement a+b, & l'on aura a} + 3aab + 3abb + b3, l’on multipliera ensuite les coefficiens des termes où b se rencontre par

la puissance de 2 égale à celle où b у

est élevée, c'est-à-dire que l'on multipliera 3 aab par 2, 3abb par 4, & b' par 8, & l'on aura a' + baab+ 12abb+863, qui sera le cube de

2

On peut aussi élever par les mêmes regles un binome quelconque p+q à une puissance indéterminée mam fignifie un nombre quelconque entier ou rompu, positif ou négatif) qui sera,

m

m

Х

m 3 m4 4 Х

•P

P 4

2

3

=

P
q tom x

9.&c. Où l'on voit

que la premiere lettre p du binome a pour exposant dans tous les termes, m moins un nombre entier; c'est pourquoi si ce nombre entier se trouve dans quelqu'un égal à m, l'exposant de p y sera=0; & par conséquent, à

py P=1, & ce terme sera le dernier de la puissance m du binome p+q. Mais si ce nombre entier ne se trouve jamais =m, la puissance m du binome p + q pourra être continuée à l'infini. 31. Le binome

P+9

élevé à la puissance m, comme on vient de faire, peut servir de formule generale , pour élever un binome, ou un polynome quelconque à une puissance donnée.

Soit par exemple zax-xx qu'ilfaut élever à lazpuissance. Ayant supposé 2ax=p, — *x=9, & m=3;

=

l'on substituera à la place de pe de q, & de m , leurs valeurs 2ax, — *x, & 3 ; & en la place des puissances de p& de

9, les puissances égales de leurs valeurs 2ax & xx, & l'on aura 8a' xi - 12aax4+ baxs —x pour la puissance

to cherchée : car m devient = 3 au quatrième terme de la Formule. De même pour élever a+b-c à la troisième puissance. Ayant supposé a=p, b-1=9, &m=, l'on aura après les substitutions a' + 3 aab + ; 3abb + b3

3aac - 6abc + 3 acc -- 3 bbc + 3bcc-. Il en est ainsi des autres,

32. On se contente quelquefois pour élever un polynome à une puissance donnée, d'écrire à sa droite l'exposant de la puissance à laquelle on le veut élever. Ainsi pour élever a + b au quarré, on écrit a +6; pour l’éle.

xx

2

.

2

- 2x3

6

=a+6°

m

ver au cube, l'on écrit a+b'; & en general, pour élever a + b à la puissance m, l'on écrit a+b. m signifie un

, nombre quelconque entier ou rompu, positif ou négatif.

33. Il est clair que pour élever une puissance quelconque d'un polynome, formée comme on vient de dire, à une puissance donnée , il n'y a qu'à multiplier l'exposant de l'une par l'exposant de l'autre. Ainfi pour

élever a+b* à la 3e puissance, l'on écrira a +6

tob pour élever a + b au quarré, ou à la 2e puissance, l'on écrira a + 6 Pour élever a + b à la puissance n, l'on écrira a + b

6. Il en est ainsi des autres. 34. Il est encore évident que pour multiplier deux puissances de la même quantité complexe, formées comme on a dit no. 32. il n'y a qu'à ajouter ensemble leurs exposans. Ainsi pour multiplier a + b par a+ , l'on écrira a to b =a+b; a+b.

-+-6

cx a+b — с
-C =a+b-.; a - b xa-b=

2 m

2

-2 + 3

2

2 - 5

n

at 6

at6
=a+6 =a+b

DIVISION
Des quantitez algebriques incomplexes es complexes.

REGLE GENERALE 35. ON écrira le diviseur au-dessous du dividende en forme de frađion, & l'on prendra cette fraction pour le quotient de la division. En effet, puisque toute division numerique exprimée, comme on vient de dire, est égale à son quotient, par exemple=3; } 5, & qu'elle peut par consequent être prise pour fon quotient; il en doit être de même des* divisions algebriques. Ainsi

ab

pour diviser ab par c, l'on écrira ad ; pour diviser aa to bb

aa+bb par c+d, l'on écrira

36. Mais comme il est toujours necessaire de réduire les quantités algebriques à leurs plus simples expressions lorsqu'il est possible, & que les divisions, ou fractions dont on vient de parler, n'y sont pas toujours réduites , il faut donner les regles necessaires pour cet effet.

Il y a differentes manieres, ou plutôt, il y a des cas où il faut operer d'une certaine maniere ; d'autres , où il faut operer d'une autre maniere pour réduire les fra- . &ions, ou les divisions à leurs plus simples termes. Nous ne donnerons à present que le cas où l'operation est celle qu'on a toujours nommée division ; les autres se trouve. ront ailleurs.

DIVISION

Des quantités incomplexes.
37. Il est évident (no. 14 & 15) que lorsque le dividende est
le produit du diviseur par une autre quantité quelcon-
que, le quotient sera le dividende, après en avoir effa-
cé le diviseur. Ainsi le quotient de abdivisé par a est b,
c'est-à-dire que =b; le quotient de abc divisé par
ab est c, c'est-à-dire que

de même
ab. Il en est ainsi des autres.
Il y a souvent des nombres autres que l'unité qui pré-

ya
cedent ou le dividende, ou le diviseur , & quelquefois tous
les deux. Il faut ausi avoir égard aux signes. Voici la re-
gle qu'il faut observer.

38. On divisera par les regles de la divifion numerique, le nombre qui précede le dividende par celui qui précede le diviseur , & ( no. 37), les lettres du dividende

ab

abo

'

ab

sab

1 2

ab

ܬܘܐܐ

3. 124bc

120366

sab

12ab

1.

124b

12ab

4ab

. ز

30

c

zab

3

signe+ ou -; & fi l'un à + & l'autre, l'on donnera

— au quotient le signe —. Ainsi le quotient de 12ab par za est 46: car = 4, &

b, & partant - 46.

15a366 De même

344b

- gab; 4aab. Il en est ainsi des autres. 39. Si le dividende & le diviseur sont semblables , & égaux, le quotient sera l'unité. Ainsi -=1; Ce qui suit de ce que toute quantité se mesure, ou le contient elle - même une fois. 40. Il arrive souvent que les nombres se

les nombres se peuvent diviser , & que les lettres ne se peuvent pas diviser ; & au contraire, auquel cas il faut diviser ce qui se peut diviser, , & laisser le reste en fraction. Ainsi

85. 41. Lorsque ni les nombres , ni les lettres ne se

peuvent diviser, on écrit le diviseur au dessous du dividende en forme de fraction ; & c'est en ce cas qu'il est necessaire de prendre cette frađion pour le quotient de la divifion. Ainsi pour diviser a par b, l'on écrira-; ; pour diviser 3ab par 26, l'on écrira 346

i pour diviser - 2ab par 3€, l'on écrira

; pour divifer sab par - 20 l'on écrira ; pour diviser--4ab par — 36, l'on

. écrira

On trouvera ailleurs la raison des changemens de signes que l'on vient de faire.

Si l'on multiplie le quotient d'une division par le divi- . seur, il viendrà la quantité à diviser : car la multiplication, & la division ont des effets contraires, aussi bien l'addition & la soustracion.

que 42. Il est clair (no. 21 & 37) que pour diviser une puis. &

. fance