pour élever a+b à la quatriême puissance, l'on écrira; A. a+ab+aabb+ab+b+. Si le binome est tout pofitif, tous les termes de la puissance auront le signe + ; fi la seconde lettre est négative, les termes où elle se trouvera élevée à une puissance impaire, ou dont l'exposant est un nombre impair, auront le signe-, & tous les autres le signe +, comme on voit dans la puissance A.

Il reste encore à trouver les coefficiens; en voici la Méthode.

On donnera au second terme pour coeficient l'exposant du premier; on multipliera le coefficient du second par l'exposant que la premiere lettre a du binome a au même second & le produit divisé par 2, sera le coefficient du troisiême. De même, le coefficient du troisiême multiplié par l'exposant que la premiere lettre a au même troisiême ; & le produit divisé par 3, sera le coefficient du quatrième; & ainsi de suite. De maniere que le coefficient d'un terme quelconque multiplié par l'exposant que la premiere lettre du binome a dans le même terme, & le produit divisé par le nombre qui marque le lieu que ce même terme occupe dans l'ordre des termes de la puissance, est le coefficient du terme suivant. Ainsi la 4e puissance du binome a + b entierement formée est,

a+4a2b+6aabb+ 4ab + b+. Il en est ainsi des autres. S'il y a quelque nombre entier ou rompu qui précede l'un des deux, ou tous les deux termes du binome, on multipliera le coefficient de chaque terme de la puis, sance par une puissance de ce nombre égale à celle où la lettre qu'il précede y est élevée. Ainsi pour élever a+26 à la ze puissance, l'on y élevera premierement a+b, & l'on aura a3+3aab + 3abb + b3, l'on multipliera ensuite les coefficiens des termes où b se rencontre par la puissance de a égale à celle où b y est élevée, c'est-à-dire que l'on multipliera zaab par 2, 3abb par 4, & b' par 8, & l'on aura a3+6aab+12abb+863, qui fera le cube de

:

On peut aussi élever par les mêmes regles un binome quelconque p + q à une puissance indéterminée m (m signifie un nombre quelconque entier ou rompu, positif ou

négatif) qui sera,

voit que la premiere lettre p du binome a pour exposant

dans tous les termes, m moins un nombre entier; c'est pourquoi si ce nombre entier se trouve dans quelqu'un égal à m, l'exposant de p y sera = 0; & par conféquent = 1, & ce terme fera le dernier de la puissance m du binome p+q. Mais si ce nombre entier ne se trouve jamais = m, la puissance m du binome p + q pourra être continuée à l'infini.

p=

31. Le binome p + q élevé à la puissance m, comme on vient de faire, peut servir de formule generale, pour élever un binome, ou un polynome quelconque à une puissance donnée.

Soit par exemple 2ax-xx qu'il faut élever à la 3 puissance. Ayant suppose 2ax=p, xx=q, &m=3, l'on substituera à la place dep, de q, & dem, leurs valeurs 2ax, - xx, & 3; & en la place des puissances de p & de q, les puissances égales de leurs valeurs 2ax &-xx, & l'on aura 8a3 x3 - 12aax4+6ax - x pour la puissance cherchée: car m devient = 3 au quatrième terme de la Formule. De même pour élever a+b - c à la troisiême puissance. Ayant suppose a=p, b-c=q, & m = 3, l'on aura après les substitutions a3+3aab + 3abb +63 Gabc+3acc-36bc3bcc-c2. Il en est ainsi

заасdes autres.

32. On se contente quelquefois pour élever un polynome à une puissance donnée, d'écrire à sa droite l'exposant de la puissance à laquelle on le veut élever. Ainsi

2

pour élever a + b au quarré, on écrit a + b; pour l'ele

ver au cube, l'on écrit a + b'; & en general, pour éle

m

ver a+b à la puissance m, l'on écrit a+b. m signifie un nombre quelconque entier ou rompu, positif ou négatif.

33. Il est clair que pour élever une puissance quelconque d'un polynome, formée comme on vient de dire, à une puissance donnée, il n'y a qu'à multiplier l'exposant de l'une par l'exposant de l'autre. Ainfi pour élever a+b2 à la ze puissance, l'on écrira a+b

2

m

-2×3

6

=a+b.

pour élever a+b au quarré, ou à la 2e puissance, l'on

2 m

m

écrira a + b Pour élever a+b à la puissance n, l'on

mn

écrira a + b Il en est ainsi des autres.

•

34. Il est encore évident que pour multiplier deux puissances de la même quantité complexe, formées comme on a dit no. 32. il n'y a qu'à ajouter ensemble leurs

2

3

exposans. Ainsi pour multiplier a+b par a+b, l'on

Des quantitez algebriques incomplexes & complexes.
REGLE GENERALE.

35. ON écrira le diviseur au-dessous du dividende en forme de fraction, & l'on prendra cette fraction pour le quotient de la division. En effet, puisque toute division numerique exprimée, comme on vient de dire, est égale à son quotient, par exemple = 3; 1 = 5, & qu'elle peut par consequent être prise pour fon quotient; il en doit être de même des divisions algebriques. Ainfi pour divifer ab parc, l'on écrira; pour diviser aa + bb par c+d, l'on écrira ; &c.

aa+bb
c+d

36. Mais comme il est toujours necessaire de réduire les quantités algebriques à leurs plus simples expressions lorsqu'il est possible, & que les divisions, ou fractions dont on vient de parler, n'y sont pas toujours réduites, il faut donner les regles necessaires pour cet effet.

Il y a differentes manieres, ou plutôt, il y a des cas où il faut operer d'une certaine maniere ; d'autres, où il faut operer d'une autre maniere pour réduire les fractions, ou les divisions à leurs plus simples termes. Nous ne donnerons à present que le cas où l'operation est celle qu'on a toujours nommée division; les autres se trouveront ailleurs.

DIVISION

Des quantités incomplexes.

37. I Lest évident (no. 14 & 15) que lorsque le dividende est le produit du diviseur par une autre quantité quelconque, le quotient sera le dividende, après en avoir effacé le diviseur. Ainsi le quotient de ab divisé par a est b, c'est - à - dire que a = b; le quotient de abc divisé par

Il y a souvent des nombres autres que l'unité qui précedent ou le dividende, ou le diviseur, & quelquefois tous les deux. Il faut aussi avoir égard aux signes. Voici la regle qu'il faut observer.

38. On divisera par les regles de la division numerique, le nombre qui précede le dividende par celui qui précede le diviseur, & (no. 37), les lettres du dividende par celles du diviseur, & l'on donnera au quotient le signe + si le dividende & le diviseur ont tous deux le même

figne + ou -; & fi l'un a + & l'autre, l'on donnera au quotient le signe-. Ainsi le quotient de 12ab par za

De même

3

1246c -4ac

=|

4

-154366
zaab

=

Sab;

120366

46.

36; = 4aab. Il en est ainsi des autres. 39. Si le dividende & le diviseur sont semblables, & égaux, le quotient sera l'unité. Ainfi = 1; = 1. Ce qui suit de ce que toute quantité se mesure, ou se contient elle-même une fois.

1246

1246

40. Il arrive souvent que les nombres se peuvent diviser, & que les lettres ne se peuvent pas diviser ; & au contraire, auquel cas il faut diviser ce qui se peut diviser,

& laisser le reste en fraction. Ainsi

12ab

36

41. Lorsque ni les nombres, ni les lettres ne se peuvent diviser, on écrit le diviseur au dessous du dividende en forme de fraction; & c'est en ce cas qu'il est necessaire de prendre cette fraction pour le quotient de la divifion. Ainsi pour diviser a par b, l'on écrira; pour diviser 3ab par 26, l'on écrira 36 ; pour diviser 30, l'on écrira ou ; pour divifer sab par - 20

; pour diviser-4ab par-3c, l'on

On trouvera ailleurs la raison des

changemens de signes que l'on vient de faire.

Si l'on multiplie le quotient d'une division par le diviseur, il viendra la quantité à diviser: car la multiplication, & la division ont des effets contraires, aussi bien que l'addition & la soustraction.

42. Il est clair (no. 21 & 37) que pour diviser une puif. fance