viendroit inutile; c'est pourquoi, dans ces fortes de divifions, il en faut demeurer à l'endroit, où le Quotient eft le plus fimple qu'il puisse être.

54. Il arrive aussi fort souvent que les coeficiens, ou les nombres qui précedent les termes, ou quelqu'un des termes du dividende, ou du diviseur, empêchent que la division ne se fafle, quand même toutes les lettres seroient dans l'une & dans l'autre disposées de maniere que la division se pût faire...

55. Il y a aussi des divisions qui ne se peuvent point du tout faire; ce qui arrive lorsqu'aucun des termes du diviseur ne se trouve point tout entier dans aucun de ceux du dividende: & alors on écrit le diviseur au-dessous du dividende, ce qui forme une fraction que l'on prend pour le Quotient de la divifion, comme on a dit n°. 34.

L'on a souvent besoin de connoître tous les divifeurs d'un nombre donné, & d'une quantité algébrique donnée pour choisir celui d'entr'eux qui convient à de certaines operations que l'on eft obligé de faire; c'est pourquoi nous en allons donner ici la Méthode.

ETHODE

Pour trouver tous les Diviseurs d'un nombre donné. 56. IL faut diviser le nombre donné par 2, s'il est posfible, & autant de fois qu'il est possible; ensuite diviser le dernier Quotient par 3, s'il est possible, & autant de fois qu'il est possible; de même par 5, par 7, par 9, &c. jusqu'à ce que le dernier Quotient foit l'unité, ou que le diviseur devienne le nombre propofé, auquel cas, il n'a aucun diviseur que lui-même, & ayant écrit dans une rangée de haut en bas tous les diviseurs dont on s'est fervi, on multipliera le premier diviseur par le 2o, & on écrira le produit à la droite du 2o. On multipliera enfuite les deux premiers diviseurs, & le produit qu'on a déja trouvé par le troisiême diviseur, & l'on écrira les Produits vis-à-vis le même troisiême diviseur; on multipliera de même tout ce qui est au-dessus du 4o diviseur par le même 4o diviseur, & l'on écrira les Produits à sa droite, & ainsi de suite, & tous ces Produits feront autant de diviseurs du nombre propofé.

EXEMPLE.

SOIT le nombre 150 dont il faut trouver tous les di

viseurs.

Je divise 75 par 3, & j'écris le Quotient 25, & le divi. feur 3 sous A, & fous B; je divise 25 pars, & j'écris le Quotient 5, & le diviseur 5, fous A & fous B; je divise 5, par 5, & j'écris le Quotient 1, & le diviseurs sous A, & Tous B. Cela fait, je multiplie le premier diviseur 2 par le second 3, & j'écris le Produit 6 à côté de 3. Je multiplie tout ce qui est au-dessus du 3a diviseurs par lui-même, & j'écris les Produits 10, 15, 30, à sa droite ; enfin je multiplie tout ce qui est au-dessus du 4o diviseurs, par lui. même, & j'écris les Produits 25, 50, 75, & 150; (car on néglige 10, 15 qui s'y trouve déja) comme on les voit. Il est clair que tous ces nombres qui sont du côté de B peuvent diviser sans reste, le nombre donné 150.

57. C'est la même regle pour les quantitez algebriques. Soit par exemple, la quantité a3+aabb, dont il faut trouver tous les diviseurs.

a+ba+b.aa + ab. a3+aab.ab+bb.aab+abb. a2b+aabb.

Ι.

Je divise a'b+aabb par a, & j'écris le Quotient aab + abb,

fous A, & le diviseur a fous B. Je divise aab+abb encore par a, & j'écris le Quotient ab+bb, & le diviseur a fous A, & fous B. Je divise ab + bb par b, & j'écris le Quotient/ a+b, & le diviseur b sous A, & fous B. Enfin je divise a+b par a+b; & j'écris le Quotient, & le diviseur a+b, fous A & fous B. J'acheve l'operation comme celle des nombres, & je trouve tous les diviseurs de la quantité a3+ aabb au-dessous de B.

RESOLUTION

Des puissances, ou de l'extraction des racines des quantitez algebriques.

38. EXTRAIRE la racine d'une puissance, ou d'une quantité algebrique, c'est trouver, par une operation contraire à celle de la formation des puissances, une quantité plus simple que la proposée, qui étant multipliée par elle-même autant de fois qu'il est necessaire, produise la puissance ou la quantité proposée.

:

Il y a autant de sortes de racines qu'il y a de puissances, & l'on donne à chaque racine le nom de la puissance à laquelle elle se rapporte. Ainsi la quantité qu'il ne faut multiplier qu'une fois par elle-même pour produire la quantité ou la puissance dont elle est la racine, est nommée racine quarrée, ou seconde racine; celle qu'il faut multiplier deux fois par elle- même, pour produire la puissance dont elle est la racine, est appellée racine cube, ou troisième racine; celle qu'il faut multiplier trois fois, eft nommée racine quarrée quarrée, ou quatriéme racine; celle qu'il faut multiplier quatre fois racine quarrée cube, ou cinquiéme racine; celle qu'il faut multiplier cinq fois, racine cube cube, ou fixiême racine, &c.

On se sert de ce caractere ✓ qu'on appelle signe radical, pour signifier le mot de racine: mais pour le déterminer à signifier une telle racine, on y joint l'exposant de la puissance à laquelle se rapporte la racine en question, & cet exposant est alors appellé exposant du signe radical. Ainsi, ou simplement v, signifie ra

3

cine quarrée, ou seconde racine; v, signifie racine cube, quatrième racine, &c. De forte que vab, ou Vaa+66, Vaa+2ab+bb, signifie qu'il faut extraire la racine quarrée de ab, ou de aa+bb, ou de aa+2ab+bb, &c.

Il y a des quantitez dont la racine proposée s'extrait exa&ement; d'autres, dont on ne la peut extraire qu'en partie; & d'autres, dont on ne la peut point du tout extraire.

59. Les quantitez dont on ne peut extraire exactement la racine, & qu'on est obligé d'exprimer par le moyen du signe radical, font nommées, fourdes ou irrationnelles, & celles qui ne font affectées d'aucun signe radical, font nommées rationnelles. Ainsi Vab, Vaa+bb, font des quantitez irrationnelles, parceque l'on n'en peut pas extraire la racine quarrée ; Vaab est une quantité irrationnelle, parceque l'on n'en peut pas extraire la racine cube, &ι.

3

EXTRACTION

Des racines des quantitez incomplexes.

60. PUISQUE (no. 22.) pour élever une quantité incomplexe à une puissance donnée, il faut multiplier les exposans de cette quantité par l'exposant de la puifssance proposée; il est clair que pour extraire la racine proposée d'une quantité incomplexe, il n'y a qu'à diviser les exposans de cette quantité par l'exposant du signe radical convenable; ou ce qui revient au même, multiplier les exposans de la quantité proposée par une fraction dont le numerateur soit l'unité, & le dénominateur soit l'expo

I

fant du figne radical dont il s'agit, c'est-à-dire, par, s'il s'agit de la racine quarrée; -, s'il s'agit de la racine cube;, s'il s'agit de la racine quarrée quarrée, &c. car les dénominateurs 2, 3 & 4 font les exposans des fi

4

d

gnes

2

3

4

radicaux, v,, &c. L'on rend par-là l'operation

de l'extraction des racines, semblable à celle de la formation des puissances, & l'on a des exposans pour les ra

I

cines aussi bien que pour les puissances: car est l'expo

2

fant de la racine quarrée;, l'exposant de la racine cube;

I

3

+, l'exposant de la racine quarrée quarrée, &c. & l'on

4

peut par confequent énoncer l'extraction des racines, en disant qu'il faut élever une quantité donnée à la puissance

I

2

I

-,, &c. au lieu de dire qu'il en faut extraire la racine quarrée, cube, quarrée quarrée, &c.

3

4

Si après la multiplication des exposans de la quantité proposée par les fractions dont on vient de parler, les exposans qui sont alors fractionnaires, se peuvent tous réduire en entier, la racine proposée sera une quantité rationnelle; si une partie de ces exposans se peut réduire en entier, & que l'autre partie demeure fractionnaire, la racine ne sera extraite qu'en partie, & l'on mettra la partie rationnelle devant le signe radical, & la partie irrationnelle après; si tous ces exposans demeurent fraAionnaires, la racine ne sera point extraite, & l'on se contentera de mettre le signe radical devant la quantité proposée; enfin si les exposans fractionnaires qui ne peuvent être réduits en entier surpassent l'unité, la puissance de la lettre dont ils sont exposans, sera en partie rationnelle, & en partie irrationnelle. Il faudra operer sur les coéficiens, comme sur les lettres, en y employant les extractions numeriques des racines, & la Méthode de trouver tous les diviseurs d'un nombre, expliquée no. 56. Tout ce qu'on vient de dire sera éclairci par les Exemples qui suivent.

EXEMPLES.

61. SOIT a b c dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance ; ayant multi

I

2