par le calcul

lettres dans l'application de l’Algebre à tous les usages, c'est 10. qu'après avoir fait quelques-unes des operations dont on vient de parler sur les lettres, on en connoît non seulement le résultat , mais on connoît & on distingue en même tems toutes les quantitez qu'il renferme ; ce qui n'est point de même dans les résultats des mêmes operations faites sur les nombres.

20. Que les quantitez inconnues entrent dans le calcul aussi-bien que les connues, & que l'on opere avec la même facilité sur les unes que sur les autres. 3o. Que les Démonstrations

que

l'on fait algebrique sont generales , & qu'on ne sçauroit rien prouver par les nombres que par induction. ,

C'est précisément en ces trois choses que consiste le grand avantage qu'on tire du calcul algebrique dans son application à toutes les parties des Mathematiques, qu'on en démontre tous les Theorêmes , & qu'on en résout tous les Problèmes avec autant de facilité qu'il y auroit de difficulté à faire les mêmes choses selon la maniere des Anciens.

On s'est accoutumé à employer les premieres lettres de l’Alphabet a,b,c,d, &c. pour exprimer les quantitéz connues, & les dernieres m, n, p, q, r, s, t, u, x, y, z pour exprimer les inconnues.

1. Outre les lettres qu’on employe dans l’Algebre, il y a encore quelques autres signes qui servent pour marquer les operations que l'on fait sur les mêmes lettres. Ce figne +, signifie plas, & eft la marque de l’Addition. . Ainsi a+b, marque que b est ajoutée avec a.

Ce signe -, signifie moins, &'est la marque de la Soustraction. Ainsi a--6, marque que b est soustraire de a.

b Celui-ci x, fignifie fois, ou par, & est la marque de la

, multiplication. Ainsi axb, marque que a & b, font multipliées l'une par l'autre.

On néglige très-souvent ce signe, parcequ'on est convenu que lorsque deux ou plusieurs lettres sont jointes ensemble fans aucun figne qui fépare ces lettres, où les

1,

quantirez qu'elles expriment, sont multipliées, par exemple ab marque assez que a & b se multiplient : mais on s'en sert toujours pour marquer que deux quantitez ex

. primées par des lettres majuscules de l’Alphabet, se multiplient. Ainsi ABCD; marque que la grandeur exprimée par AB est multipliée par la grandeur exprimée par CD. On employe encore le signe de multiplication en d'autres occasions qu'on trouvera dans la suite. Ce figner, signifie égal, & marque qu'il y a égalité

у entre les quantitez qui le précedent, & celles qui le suivent. Ainsi a=b marque que a est egale à b. Celui-ci > signifie plus grand. Ainsi a > b marque que

b a furpaffe b.

Celui-ci < signifie plus petit. Ainsi a <b, marque que a est moindre

que

b. Celui-ci co signifie infini. Ainsi x=00, marque que % est une quantité infiniment grande.

2. Les lettres de l'Alphabet font nommées quantitez algebriques, lorfqu'on les employe pour exprimer des grandeurs sur lesquelles on veut operer.

3. Les quantitez algebriques font nommées fimples, incomplexes ou monomes, lorsqu'elles ne font point liées ensemble

par les signes + &—; a, ab, are &c. font des quantitez incomplexes.

4. Elles sont nommées composées, ou complexes, ou polynomes, lorsqu'elles sont liées enfemble par les signes +&-;.a+b, ab + bb, abbc + cd, at bb, font des

, quantitez complexes.

s. Les parties des quantitez complexes diftinguées par les signes + &- sont nommées termes. ab + bc - cd, est une quantité complexe, qui renferme trois termes, ab, bc & cd. Il y a quelques remarques à faire sur le mot de terme qu'on trouvera ailleurs.

6. Les quantitez complexes qui n'ont que deux termes font nommées binomes; celles qui en ont trois, trinomes, &c. 7. Les quantitez incomplexes qui sont précedées du

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a

signe +, ou plutôt qui ne sont précedées d'aucun signe (car les quantitez incomplexes, & les premiers termes des quantitez complexes qui ne sont précedées d'aucun signe sont supposées être précedées du signe + ) sont nommées positives, & celles qui sont précedées du signe

négatives; d'où ii suit que les quantitez complexes font positives, lorsque les termes qui ont le signe + surpassent ceux qui ont le signe -- ; négatives , lorsque les termes précedez du signe — surpassent ceux qui sont précedez du signe +

8. Les quantitez incomplexes, & les termes des quantitez complexes qui contiennent les mêmes lettres sont nommées semblables. 2 abc & abc sont des quantitez incomplexes semblables; zaab— 2aab+4abb est une quantité complexe qui renferme deux termes semblables zaab &- 2aab; le troisiéme terme 4abb, n'a point de semblable.

9. Pour s'appercevoir plus facilement de la similitude des quantitez algebriques, il faut toujours écrire les premieres lettres de l'Alphabet les premieres, & les autres dans leur ordre , c'est-à-dire par exemple, qu'au lieu d'écrire bac, ou cab, il faut écrire abc.

10. Les nombres qui precedent les quantitez algebriques sont nommez coefficiens. Dans cette quantité aa + 3 ab + 466, 3

& 4 sont les coefficiens des termes 3 ab, & 4bb. L'on prend l'unité pour coefficient des quantitez qui ne sont précedées d'aucun nombre, & quoique l'on n'ait point accoutumé de l'écrire, on la doit neanmoins toujours supposer. Ainsi aa doit être regardée comme s'il y avoit laa.

R E DUCTION

Des quantitez complexes algebriques à leurs plus

simples expressions. 11. Il faut ajouter les coefficiens des termes semblables, lorsqu'ils ont le même signe + ou -, & donner à la

fomme le même signę: & lorsqu'ils ont differens signes,

il faut soustraire les plus petits coefficiens des plus grands, & donner au reste le signe du plus grand. Ainsi 3 ab+ 2 ab étant réduite , devient sab; 4ac + 4ab-bab devient 4ac 401 - 2ab; 3a — sa devient -- 2a; 3abc - abc, ou

3abc - Tabe, devient 2 abc. Il en est ainsi des autres.

Dans tous les calculs algebriques, il ne faut jamais laisser de termes semblables sans être réduits.

ADDITION Des quantitez algebriques incomplexes e complexes. 12. Il n'y a qu'à les écrire de suite , ou au-dessous les unes des autres avec leurs signes, & réduire ensuite les termes semblables, & l'on aura la somme des quantitez qu'il falloit ajouter ensemble. Ainsi pour ajouter 3 ab. 46c + scd avec 2 ab — 3cd, l'on écrira 3 ab — 460 + scd

3cd, qui se réduit à sab - 46c+ 26d. Pour ajouter sabc-4bcd avec sabd - 8abc + 6bcd, l'on écrira sabc — 46cd+ sabd— 8 abc + 6bcd, qui se réduit à sabd = 3abc + 2 bed. Pour ajouter 6a-36 avec 2a+36, Pon écrira 6a 36+ 2a +36, qui se réduit à 8a. Il én est ainsi des autres.

+ 2ab

SOUSTRACTION Des quantitez algebriques incomplexes & complexes. 13. Il n'y a qu'à les écrire de suite, ou au-dessous l'une de l'autre en changeant tous les signes de celles qui doivent être soustraites; & l'on aura après la réduction des termes semblables, la difference des quantitez proposées. Pour soustraire 38 — 26+ 30 de sa36-5c, l'on

sa -- 36-56-39+26—3c, qui se réduit à 2a6-86Pour soustraire zab — 2bc+ 2cd de sab-4bc + + 2cd, l'on écrira sab — 466+ 2cd — 3 ab+ 26c. 2cd, qui se réduit à 2ab - 2bci Il en est ainsi des autres.

écrira sa —

ya

MULTIPLICATION
Des quantitez algebriques incomplexes, & de leurs

puissances. 14. ON est convenu que pour multiplier deux ou plusieurs lettres, il n'y a qu'à les écrire de suite sans aucun signe qui les sépare, & l'on aura le produit cherché. Ainsi pour multiplier a par b, l'on écrira ab. Pour multiplier ab par ac, l'on écrira aabc. Il en est ainsi des autres.

Il a souvent des nombres, ou coefficiens qui précedent les quantitez algebriques qu'il s'agit de multiplier ; il faut ausli avoir égard à leurs signes. Voici la regle qu'il faut suivre.

15. On multipliera les coefficiens, ensuite les lettres, & on donnera au produit le signe + si les deux quantitez sont précedées du même signe + ou , & on lui don- . nera le signe , si l'une des quantitez est précedée du figne + & l'autre du signe

Pour multiplier 3a par 26, on dira trois fois deux font fix, a par b fait ou donne, ou est égal à ab; ainsi l'on

; aura 6ab

pour le produit de 3a x 2b. De même zab X-2ab- = baabb. 3 ab x — 2cd=+ 6abcd. sab x

cd, ou icd= Sabcd. aab x abb =44abbb , ou abs : car lorsque la même lettre se trouve plus de deux fois dans un produit, on l'écrit seulement une fois, & l'on écrit à la droite un caractere arithmetique qui exprime combien de fois cette lettre doit être écrite. Ainsi pour aaaa, l'on écrira a'; pour aaabbb, l'on a écrit al b; on peut aussi pour aa écrire a'; pour bb, 6, &c.

' D E F INI TI O N. 16. LE caractere arithmetique qui marque combien de fois une lettre doit être écrite dans un produit, est nommé expofant. Ainsi dans a'b*, 3 eft l'exposant de a,&4, celui de b; dans a'b, 3 est l'expofant de a, & i l'exposant de b: car quand une lettre est seule, ou qu'elle ne doit être écrite qu'une fois dans un produit, on doit supposer

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