Application de l'algebre à la geometrie

plié les exposans 2, 4 & 6 par, l'on aura a ou abc' après avoir réduit les exposans fractionnaires en entier, de forte que va2bcabc', ce qui est évident.

De même, Varb ab2= a√b: car a est la racine de

aa, ou a, & best la même chose que vb; Vab

1 I

√ab = a = b = a2+b

6=Vab; c'est-à-dire que vab est une quantité toute irrationnelle; ៖ =(no. 23.) d'ab b=avab; √72 a'b3 = baby2ab: car il est clair par les Exemples précedens, que Va'b' = abvab, & je démontre que √72 = 6√2 en cette forte. Si l'on cherche (n°. 56.) tous les diviseurs de 72, & qu'on examine tous les quarrez qui s'y rencontrent (s'il s'agissoit de la racine cube, il faudroit examiner tous les cubes, & ainfi des autres racines) on trouvera que 36 est le plus grand. Or 72 = 2 & 36 x 2 =72; c'est pourquoi √72 peut être

regardée comme le produit de √36 × √2 : mais √36=6; donc √72 = 6√2, & partant √72 a'b3 = 6ab2ab. On trouvera de même que Vizaab=2a√36, & que √6aabc= av6bc; parceque 6 ne peut être divisé par aucun quarré. Il en est ainsi des autres.

EXTRACTION

Des racines des Polynomes.

62. LA Méthode d'extraire les racines des Polynomes, selon la maniere ordinaire, est semblable à celle d'extraire la racine des nombres.

EXEMPLE I.

SOIT la quantité aa + 2ab + bb + 2ac + 2bc + cc, dont il faut extraire la racine quarrée.

Je dis, le premier terme aa est un quarré, dont la racine est a que j'écris au Quotient, & je soustrais le quarré de a qui est aa du premier terme aa de la quantité proposée, en l'écrivant au-dessous avec le signe. Je réduis à la maniere de la division la quantité proposée, & le quarré soustrait, & j'écris la Réduction A au-dessous d'une ligne.

Je double le Quotient a, ce qui me donne 2a que j'écris à la gauche de la Réduction A, & qui fait partie du premier diviseur. Je divise le premier terme + 2ab de la quantité A par 24; ce qui me donne + 6 que j'écris au Quotient, & à la droite du diviseur 2a, & j'ai le premier diviseur complet 2a+b que je multiplie par le nouveau Quotient b, & j'ai plus 2ab+bb que je soustrais de la quantité A, en l'écrivant au-dessous avec des signes contraires, & la Réduction de ces deux quantitez me donne la quantité B. Je double le Quotient a + b, & j'ai 2a + 2b pour une partie du nouveau diviseur que j'écris à la gauche de B. Je divise de nouveau le premier terme 2ac de la quantité B par + 2a, ce qui me donne + c que j'écris au Quotient, & à la droite du nouveau diviseur 2a + 26; ce qui fait 2a +26 + c pour le second diviseur complet. Je multiplie ce second diviseur 24 + 2b + c par le nouveau Quotient c, & j'ai 2ac + 2bc + cc que j'écris au-dessous de la quantité B avec des signes contraires ; & réduisant ces deux quantitez je trouve zero pour la troisième Réduction; d'où je conclus que l'operation est achevée, & que par consequent,

Vaa+2ab+bb+2ac+2bc+cc=a+b+c.

EXEMPLE I I.

Soir la quantité gaa - 12ab +466 dont il faut ex

Le premier terme gaa étant un quarré dont la racine est za; j'écris za au Quotient, & fon quarré gaa au-defsous de gaa avec le signe -, & la premiere Réduction est la quantité A. Je double le Quotient za, ce qui me donne 6a, qui font partie du premier diviseur, & que j'écris à la gauche de la quantité A. Je divise -12ab par + 6a, ce qui me donne 26 que j'écris au Quotient & à la droite de 6a, j'ai par ce moyen le diviseur complet 6a 26. Je multiplie 6a - 26 par 26, ce qui me donne - 12ab + 4bb, & j'écris + 12ab 4bb audessous de la quantité A. Je réduis ces deux dernieres quantitez, & la Réduction B qui se trouve égale à zero, fait voir que la quantité proposée est un quarré dont la racine est 3a-26, c'est-à-dire, que Vgaa - 12ab+466

за

26.

S'il venoit une Réduction qui ne pût être divisée par le double du Quotient, ce seroit une marque que la quantité proposée ne feroit point quarrée ; & il faudroit alors se contenter de la mettre sous le signe radical. Par exemple, fi on vouloit extraire la racine quarrée de aa+bb, l'on trouveroit que la racine de aa est a : mais on ne pourroit diviser la Réduction bb par 2a, ce qui feroit voir que aa + bb, n'est point un quarré; c'est pourquoi il faudroit se contenter d'en exprimer la racine en cette forte Vaa + bb. Il en est ainsi des autres.

Au reste, il est aisé de connoître par la formation des puissances, ou lorsqu'on a un peu d'habitude dans le calcul algebrique, si une quantité proposée est quarrée, ou cube, &c. & d'en extraire par consequent la racine sans le secours d'aucune operation, ou par la seule inspection des termes de la quantité proposée.

63. Mais fans cela, & fans le secours des Regles que nous venons de donner, l'on peut avec toute la facilité possible extraire toutes fortes de racines, quarrées, cubes, quarrées quarrées, &c. par le moyen de la formule generale proposée no. 30: car pour cela il n'y a qu'à regarder les quantitez dont on veut extraire une racine quelconque, comme des quantitez qu'il faut élever à une puissance dont l'exposant soit celui de la racine qu'on

veut extraire, c'est-à-dire, que cet exposant soit:

, fi

c'est la racine quarrée; -, si c'est la racine cube; c'est la racine quarrée quarrée, &c. ce qui est facile en suivant ce qui est prescrit n°. 31, comme on va voir par les Exemples qui suivent.

EXEMPLE I.

SOIT la quantité a3-3aab + 3abb -b dont il faut extraire la racine cube, ou ce qui est la même chose,

qu'il faut élever à la puissance.

Ayant fait a'

-заав+завь — b=

tant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers ter

mes, p + mp