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C

2

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1b1 =(no. 23.)

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plié les exposans 2, 4 & 6 par l'on aura a b

을 ou ab? c' après avoir réduit les exposans fra&tionnaires en entier, de sorte que Va+b*c*=abc', ce qui est évident.

1 De même, Va+b=ab? = aVb : car a est la racine de aa, ou a', & 6% est la même chose que vb ; Vab =

= z b = -Vab; c'est-à-dire que Vab est une quantité toute irrationnelle ; Vab=a161

Val = a b = a* 1 2 6 2 2 2 a'at bi=aVab; V72 a?b=babyzab: car il est clair = }=

par les Exemples précedens, que Va’b} = abvab, & je démontre que V72 = 6V2 en cette sorte. Si l'on cherche (no. 56.) tous les diviseurs de 72, & qu'on examine tou's

) les quarrez qui s'y rencontrent (s'il s'agissoit de la racine cube, il faudroit examiner tous les cubes, & ainsi des autres racines ) on trouvera que 36 est le plus grand. Or=2 = 2 & 36x2=72; c'est pourquoi V72 peut être

3 regardée comme le produit de V36 xV2:mais V36=6; donc V72=6V2, & partant V72 a'b? =

6ab2ab. On trouvera de même que Vizaab=2aV36, &

que

Vbaabc= av6bc; parceque 6 ne peut être divisé par aucun quarré. Il en est ainsi des autres.

72 36

x

E X IR ACTION

Des racines des Polynomes. 62. La Méthode d'extraire les racines des Polynomes,

A selon la maniere ordinaire , est semblable à celle d'extraire la racine des nombres.

E x E M P L E I. Soit la quantité aa + 2ab + bb + 2ac + 2bc + 10, dont il faut 'extraire la racine quarrée. Diviseurs. Quantité proposée. Racine , ou Quot.

aa +- 2ab+b6+2ac+2bc +-6. (a+b+c.

T

aa.

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1. 2a to b.

A. 0+ 2ab+bb to 206+- 2bc+0

- 2ab -bb 2. 2a+-2b+c. B.

Otzac + 260 + cc

- 2bc_CC Ic.

O Je dis, le premier terme aa est un quarré, dont la racine est a que j'écris au Quotient, & je soustrais le quarré de a qui est aa du premier terme aa de la quantité proposée, en l'écrivant au-dessous avec le signe - Je réduis à la maniere de la division la quantité proposée, & le quarré soustrait, & j'écris la Réduction A au-dessous d'une ligne.

Je double le Quotient a, ce qui me donne 2a que j'écris à la gauche de la Réduction A, & qui fait partie du premier diviseur. Je divise le premier terme + 2ab de la quantité A par 2a; ce qui me donne + 6 que j'écris au Quotient, & à la droite du diviseur 2a, &j'ai le premier diviseur complet 2a +b que je multiplie par le nouveau Quotient b, & j'ai plus 2ab + bb que je soustrais de la quantité A, en l'écrivant au-dessous avec des signes contraires, & la Réduction de ces deux quantitez me donne la quantité B. Je double le Quotient a +b, & j'ai 2a + 2b pour une partie du nouveau diviseur que j'écris à la gauche de B. Je divise de nouveau le premier terme 2ac de la quantité B par + 2a, ce qui me donne +6 que j'écris au Quotient, & à la droite du nouveau diviseur 2a + 2b; ce qui fait 2a + 2b + c pour le second diviseur complet. Je multiplie ce second diviseur 24

INTRODUCTION

xxix

zat +26+ c par le nouveau Quotient c, & j'ai 2ac + 2bc + c que j'écris au-dessous de la quantité B avec des lignes contraires ; & réduisant ces deux quantitez je trouve zero pour la troisième Réduction ; d'où je conclus que l'operation est achevée, & que par consequent, Vaa + 2ab +66 + 2ac + 2bc+c=a+6+6,

E x E M P L E II. Soit la quantité gaa - 12ab + 466 dont il faut extraire la racine quarrée. Diviseurs. Quantité proposée. Racine , ou Quotient.

9aa - 12ab + 466. ( 39 - 26.

gaa

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64 - 2b. A. O

Izab + 466 + Izab

466 B. Le premier terme gaa érant un quarré dont la racine est 3a ; j'écris za au Quotient, & son quarré gaa au-defsous de gaa avec le signe & la premiere Réduction est la quantité A. Je double le Quotient 3a, ce qui me donne 6a, qui font partie du premier diviseur, & que j'ém cris à la gauche de la quantité A. Je divise — 12 ab par +6a, ce qui me donne - 26 que j'écris au Quotient & à la droite de 6a , j'ai par ce moyen le diviseur complet 6a – 26. Je multiplie 6a — 26 par — 26, ce qui me donne

12ab + 466, & j'écris + 12ab - 4bb audessous de la quantité A. Je réduis ces deux dernieres quantitez, & la Réduction B qui se trouve égale à zero, fait voir que la quantité proposée est un quarré dont la racine est ;a — 26, c'est-à-dire, que v9aa - 12ab + 466 S'il venoit une Réduction qui ne pût être divisée

par le double du Quotient, ce seroit une marque que la quantité proposée ne seroit point quarrée ; & il faudroit alors se contenter de la mettre sous le signe radical. Par

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za 26.

exemple, si on vouloit extraire la racine quarrée de aa + , l'on trouveroit que la racine de aa est a : mais on ne pourroit diviser la Réduction bb par 2a, ce qui feroit voir que aa + bb, n'est point un quarré; c'est pourquoi il faudroit se contenter d'en exprimer la racine en cette sorte Vaa+bb. Il en est ainsi des autres.

Au reste, il est aisé de connoître par la formation des puissances, ou lorsqu'on a un peu d'habitude dans le calcul algebrique, si une quantité proposée est quarrée, ou cube, &c. & d’en extraire par consequent la racine sans le secours d'aucune operation, ou par la seule inspection des termes de la quantité proposée.

63. Mais fans cela , & sans le secours des Regles que nous venons de donner , l'on peut avec toute la facilité possible extraire toutes sortes de racines, quarrées, cubes, quarrées quarrées, &c. par le moyen de la formu- . le generale proposée no. 30 : car pour cela il n'y a qu'à regarder les quantitez dont on veut extraire une racine quelconque, comme des quantitez qu'il faut élever à une puissance dont l'exposant soit celui de la racine qu'on veut extraire , c'est-à-dire , que cet exposant soit , fi c'est la racine quarrée ; , fi c'est la racine cube;

fi c'est la racine quarrée quarrée, &c. ce qui est facile en suivant ce qui est prescrit no. 31, comme on va voir par les Exemples qui suivent.

EXE M P I E I. Soit la quantité ai — Zaab + 3abb -b dont il faut extraire la racine cube, ou ce qui est la même chose , qu'il faut élever à la puissance Ayant fait d'=p, — 3aab + 3abb 6=9, & met

tant ces valeurs de p & de

9

dans les deux premiers termes, p + mp 9

de la formule generale proposée no.

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4

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C

P

P

3m

30; (car les autres termes sont inutiles, lorsque les racines qu'on veut extraire, sont rationnelles ;) l'on aura a

zaab + 3abb — 63, & faisant encore m

3 = 5, l'on aura s+ a'+

zaab +3abb 6, ou

3m 3 to ma

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1

2

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Х

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le second terme a b= aoba-Ibbile troisiême & quatriême termes sont nuls Ainsi l'on a amb pour la racine cherchée, c'est-à-dire, que

3

3

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i ou Val

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S

P

a m

à - 3aab + 3abb 63

- Zaab + abb - 68 =ab.

EXE M P L E II. Soit la quantité aa+2ab 2ac+bb.- 2bc+ cc dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance

Ayant fait aą ou a=p, + zab 2ac + bb - 26cto c=9,& mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers termes de la Formule p + mp

P

9, l'on aura 2 m 2 to ma

x 2ab

2ac + bb 2bc + cc, ou en fai1, at 1 a x zab 2ac+bb

2+1
6+Ia

bb bc+a

cc. Mais parceque le second & le troisième termes deviennent +6,&c; il suit que tous les au, c

. tres termes, où b, & c se rencontrent sont nuls. Ainsi

¿ac to bb-2bc + cc 3 aa + 2ab Vax + 2ab - 246 + bb - 2bc+c=a+b-6.

2ac

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