EXEMPLE III.

SOIT la quantité gaa + 12ab + 4bb dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance

2

Ayant supposé gad, ou ga2 = p, & 12ab+4bb=q; & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers

termes de la Formule p + mp q, l'on aura 9 a

20

+

I.

71 272-2

I
2 a

1

a+

2 ou √9 = 3; donc 3a+

I

X

a

3

1

× 12ab+466

-1

I

X

bb: mais le second terme 2a b = 16; c'est pourquoi ce fecond terme est le dernier, & le troisiême est nul. Ainsi

64. SI dans aucun terme la valeur de m, exposant de p, ne se trouvoit point = o, la racine de la quantité proposée seroit irrationnelle, & l'extraction se pourroit continuer à l'infini; ce qu'on appelle approximation des racines: mais cela n'est point nécessaire pour l'application de l'Algebre à la Geometrie : car lorsque la racine d'une quantité est irrationnelle, on se contente de l'exprimer par le moyen du signe radical qui lui convient, comme on a déja dit, & comme on pourra voir dans la suite.

Pour

Pour s'assurer fi on a bien extrait une racine, il est bon de l'élever à sa puissance: car s'il vient la quantité proposée, l'extraction aura été bien faite. Par exemple, l'on vient de trouver 3a + 2b pour la racine quarrée de gaa + 12ab+4bb. Or fi l'on multiplie 3a +26 par 3a + 2b, l'on trouvera 9aa+12ab+466 qui est la quantité proposée; c'est pourquoi l'extraction a été bien faite.

REDUCTION

Des quantitez irrationnelles à leurs plus fimples expressions. 65. IL y a des quantitez complexes, comme d'incomplexes, dont on ne peut point extraire exactement la racine demandée : mais il arrive souvent que ces quantitez font le produit de la puissance dont on veut extraire la racine par quelqu'autre quantité ; & en ce cas on peut extraire la racine en partie, en mettant devant le figne radical la racine de cette puissance, & l'autre quantité sous le signe radical. Par exemple, il est aisé de voir que aab + aac n'est point un quarré, & qu'on n'en peut par. conféquent extraire la racine quarrée, qu'en l'écrivant fous le signe radical en cette forte Vaab + aac : mais on voit aisement que aab + aac est le produit de aa qui est un quarré, par b+c, ou que Vaab+aac=Vaa × √b + c : or Vaa=a; donc Vaab + aac = a × √b+c=a√b+c; & c'est ce qu'on appelle extraire une racine en partie, ou plutôt ce qu'on appelle réduire une quantité irrationnelle à sa plus simple expression, ce qu'on doit toujours faire quand cela se peut, soit que les quantitez foient complexes ou incomplexes.

Lorsqu'on ne voit pas par la seule inspection des termes, si une quantité irrationnelle complexe ou incomplexe peut être réduite à une expression plus simple, on l'examinera en cherchant (no. 56. ou 57.) tous les diviseurs qui la peuvent exactement diviser; & s'il s'en trouve quelqu'un qui soit une puissance du même nom que la racine qu'on

e

veut extraire, la quantité proposée se pourra réduire à une plus fimple expression: car elle pourra être regardée comme le produit de cette puissance, & du quotient qui vient en la divisant par la même puissance. Par exemple, s'il faut extraire la racine quarrée de a3-3aab+ zabb - b3, en cherchant tous les diviseurs de cette quantité, on trouvera que aa - zab+bb, qui est un quarré, en est un, & qu'en divisant a

aa

b' par

2ab+bb, il vient au quotient a-b; c'est pourquoi Va3-3aab+3abb-b3=Vaa-2ab+bbx Va-b: or Vaa-2ab+bb=a-b; donc va3-3aab+3abb-b3

=a-ba-b.

Lorsqu'on trouve plusieurs diviseurs qui sont des puissances de même nom que les racines qu'on veut extraire, on ne se servira que du plus grand.

66. On ajoute, on soustrait, on multiplie, & on divife les quantitez irrationnelles comme les rationnelles ; & ces quatre operations se font de la même maniere pour les unes & pour les autres: mais pour une plus grande facilité, il les faut auparavant réduire à leurs expressions les plus fimples; & comme les quantitez irrationnelles ne different des rationnelles que par le signe radical qui cara. cterise de maniere celles qu'il précede, que quand elles contiendroient les mêmes lettres que celles qui le précedent, elles ne leur feroient pas pour cela semblables; de forte que les quantitez qui font hors du signe radical, ne doivent point être mêlées dans aucune de ces quatre operations, avec celles qui font fous le signe radical.

Il faut néanmoins remarquer que les quantitez irrationnelles sont semblables, lorsque celles qui sont sous les signes radicaux, ne different en rien du tout les unes des autres, & lorsque celles qui font hors des signes radicaux ne different de même en rien du tout, ou ne different que par leurs coeficiens. Ainsi zava & 2ava; za√a+b;

& ava + b; Vax - xx, & Vax - xx, font des quan

b

titez irrationnelles semblables. On suppose que le signe radical soit le même, ce qui arrive toujours dans l'Ap-. plication de l'Algebre à la Geometrie.

ADDITION

Des quantitez irrationnelles.

67. ON les écrira de suite, ou au-dessous les unes des autres avec les signes qu'on leur trouve, & lorsqu'elles feront semblables, on en fera (no. 11.) la réduction comme si c'étoit des quantitez rationnelles. Ainfi pour ajouter 2a√b avec zavb, l'on écrira 2avb + 3avb, qui se réduit à Savb. Pour ajouter zavb avec 2016, l'on écrira zavb+ 2016, & il est indifferent de laisser ces quantitez en cet état, ou de les écrire en cette forte 3a+2cV6. Pour ajouter avax - xx avec blax - xx, l'on écrira avax - xx +blax-xx, ou a + b Vax - xx. Pour ajouter zavb avec 2cvd, l'on écrira zavb+2cvd qui ne peut point avoir d'autre expression.

SOUSTRACTION

Des quantitez irrationnelles.

68. ON les écrira de fuite en changeant les signes de celles qui doivent être souftraites, & lorsqu'elles feront semblables, on en fera (no. 11.) la réduction comme si c'étoit des quantitez rationnelles. Ainsi pour soustraire zavb de savb, l'on écrira savb - zavb qui se réduit à 2avb. Pour soustraire zav26 de 56126, l'on écrira sbv26 -3a26, ou 56 - 34√26. Pour soustraire - 2bVax - xx de 3bvax-xx, l'on écrira 3bvax - xx + 2bVax - xx, qui se réduit à sbvax-xx. Pour soustraire 2cvd de zavb, l'on écrira zavb-2cvd, qui ne peut avoir d'autre expression.

MULTIPLICATION

Des quantitez irrationnelles.

69. SI les quantitez que l'on veut multiplier sont incomplexes, l'on multipliera la partie rationnelle par la rationnelle; & la partie irrationnelle par l'irrationnelle, & l'on écrira le produit des parties rationnelles devant le signe radical & le produit des irrationnelles après, & l'on réduira le produit total à son expression la plus simple. Ainsi avbx cvbacvbb: mais √bb=b; donc ac√bb = abc; d'où l'on voit que lorsque les parties irrationnelles sont semblables, il n'y a qu'à multiplier le produit des rationnelles par ce qui se trouve sous le signe radical. De même avb x Vc, ou avb x ivc (car on prend l'unité pour partie rationnelle, lorsqu'il n'y en a point d'autre) = avbc ; 2a√b × 36, ou 2aV6 x 36V1 = 6abvb; 2a√bc x blab = 2ab√abbc = zabbVac; 2a√3bcx 3bV6ab = 6ab√ 18abbc = 18abb√2ac;

3

3

3

3

a√ 26 x 26√3c2ab6bc. Vab x Vab=Vaabb; 2avab x baabib. Il en est ainsi des autres.

3bvaa=6abvab=

3

70. Si les quantitez que l'on veut multiplier sont complexes, on multipliera tous les termes de l'une par chacun de ceux de l'autre, en suivant les regles des quantitez incomplexes, & la Réduction des produits particuliers étant faite, l'on aura le produit total. Ainsi Vaa+bbx Vaa+bb=aa+bb; Vaa-bbx - Vaa-bb =- aa + bb; 2 avaa + bb x b√aa+bb = 2ab + 2ab. Ceci est évident; car lorsque la même quantité se trouve sous le signe radical ✓, en ôtant le signe radical, cette quantité se trouve multipliée par elle-même. Ce qu'on peut encore prouver en cette forte : Vaa + bb × Vaa + bb