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EX E M P. L E III. Soit la quantité 9aa + 12ab + 466 dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance

IT

1

2

Ayant supposé gaa, ou ga =p, & 12ab +4b6=9, & mercant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers

P termes de la Formule p + mp

l'on aura 9 a

2 m

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I 2

-I

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Х

x T2ab +466:mais 9 2 ou V9=3; donc 3a + }

x 12ab + 466, ou 3a + ő a * J 2ab + 466, ou 3 atoa 64승 bb, ou 3a + 2aob+į a

+20 bb : mais le second terme za b=16; c'est pourquoi ce second terme est le dernier, & le troisiême est nul. Ainsi

2 gaa + 12ab + 466 ou vgaa + 12ab +466= 32+26.

2

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REM A R Q U E. 64. Si dans aucun terme la valeur de m, exposant de ne se trouvoit point='o, la racine de la quantité propo

o sée seroit irrationnelle, & l'extraction se pourroit continuer à l'infini; ce qu'on appelle approximation des racines : mais cela n'est point nécessaire pour l'application de l’Algebre à la Géometrie : car lorsque la racine d'une quantité est irrationnelle, on se contente de l'exprimer

moyen du signe radical qui lui convient, comme on a déja dit, & comme on pourra voir dans la suite,

:

Pour

par le

a

Pour s'assurer fi on a bien extrait une racine, il est bon de l'élever à la puissance : car s'il vient la quantité proposée, l'extra&tion aura été bien faite. Par exemple, l'on vient de trouver 3a + 26 pour la racine quarrée de 9aa + 12ab +4bb. Or si l'on multiplie 3a + 26 par 3a + 2b, l'on trouvera 9aa + 12ab+46b qui est la quantité proposée ; c'est pourquoi l'extraction a été bien faite.

R E'DUCTION Des quantitez irrationnelles à leurs plus simples expressions. 65. Il y a des quantitez complexes, comme d'incomplexes , dont on ne peut point extraire exactement la racine demandée : mais il arrive souvent que ces quantitez sont le produit de la puissance dont on veut extraire la racine par quelqu'autre quantité ; & en ce cas on peut extraire la racine en partie, en mettant devant le signe radical la racine de cette puissance, & l'autre quantité sous le signe radical. Par exemple, il est aisé de voir que aab + aac n'est point un quarré, & qu'on n'en peut par. conséquent extraire la racine quarrée, qu'en l'écrivant fous le signe radical en certe forte Vāab+aac : mais on voit aisément

que aab + aac est le produit de aa qui est un quarré, par 6+1, ou que Vaab+aac=Vaa x V6+r: or Vaara; donc Vaab + aacra x Vb+c=aV6+6;

+= & c'est ce qu'on appelle extraire une racine en partie, ou plutôt ce qu'on appelle réduire une quantité irrationnelle à sa plus simple expression, ce qu'on doit toujours faire quand cela se peut, foit que les quantitez soient complexes ou incomplexes.

Lorsqu'on ne voit pas par la seule inspe&tion des termes, si une quantité irrationnelle complexe ou incomplexe peut être réduite à une expression plus simple, on l'examinera en cherchant ( no. 56. ou 57:) tous les diviseurs qui la peuvent exactement diviser; & s'il s'en trouve quelqu'un qui soit une puissance du même nom que la racine qu'on

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C

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veut extraire , la quantité proposée se pourra réduire à une plus simple expression : car elle pourra être

regardée comme le produit de cette puissance, & du quotient qui vient en la divisant par la même puissance. Par exemple, s'il faut extraire la racine quarrée de a'— 3aab to 3abb - 6',.en cherchant tous les diviseurs de cette quantité, on trouvera que aa - 2ab + bb, qui est un quarré, en est un, & qu'en divisant a' - zaab + 3abb b' par

2ab + bb, il vient au quotient amb; c'est pourquoi Val-3aab+3abb-b=Vaa-2ab +obb x Vab:

-. or Vaa - 2ab +66=2-6; donc vai ---3aab +3abb-63 =a-va-b.

Lorsqu'on trouve plusieurs diviseurs qui font des puissances de même nom que les racines qu'on veut extraire, on ne se servira que du plus grand.

66. On ajoute, on soustrait, on multiplie, & on divise les quantitez irrationnelles comme les rationnelles ; & ces quatre operations fe font de la même maniere

pour

les unes & pour les autres : mais pour une plus grande facilité, il les faut auparavant réduire à leurs expreffions les plus fimples; & comme les quantitez irrationnelles ne dif

& ferent des racionnelles que par le signe radical qui cara. cterise de maniere celles qu'il précede, que quand elles contiendroient les mêmes lettres que celles qui le précedent, elles ne leur feroient pas pour cela semblables ; ,

de forte

que les quantitez qui sont hors du signe radical, ne doivent point être mêlées dans aucune de ces quatre operations, avec celles qui sont fous le signe radical.

Il faut néanmoins remarquer que les quantitez irrationnelles sont semblables, lorsque celles qui sont sous les signes radicaux, ne different en rien du tout les unes des autres, & lorsque celles qui sont hors des signes radicaux ne different de même en rien du tout, ou ne different que par leurs coéficiens. Ainsi zava & zava; zava+b; & ava +b; Vax - xx, & vax

,

— *x, sont des quan

XX

titez irrationnelles semblables. On suppose que le signe radical soit le même, ce qui arrive toujours dans l'Ap-· plication de l’Algebre à la Géometrie.

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XX

XX

ADDITION

Des quantitez irrationnelles. 67. ON les écrira de suite , ou au-dessous les unes des autres avec les signes qu'on leur trouve, & lorsqu'elles

& seront femblables, on en fera (no. 11.) la réduction comme si c'étoit des quantirez rationnelles. Ainsi pour ajouter 2avb avec zadb, l'on écrira 2adb + 3aVb, qui fe réduit à Savb. Pour ajouter 3 avb avec 2016, l'on écrira 3 av b + 2016, & il est indifferent de laisser ces quantitez en cet étac, ou de les écrire en cette sorte 3a + 2016. Pour ajouter avax — xx avec bax — xx, Pon écrira avax –

. + bax - xx, ou a + b Vax —xx. Pour ajouter 3 avb avec 20d, l'on écrira zav6+200d qui ne peut point avoir d'autre expression.

SOUS T R ACTION

Des quantitez irrationnelles. 68. ON les écrira de fuite en changeant les signes de celles qui doivent être fouftraites ; & lorsqu'elles seront femblables, on en fera ( 19. 11.) la rédu&ion comme si c'étoit des quantitez rationnelles. Ainsi pour soustraire 3 avb de sarb, l'on écrira savb - 3 avb qui fe réduit à 2avb. Pour fouftraire 3 av 26 de 56V 26, l'on écrira sbv 26

- 3 av 26, ou 56 - 3aV 26. Pour soustraire - 2bVax-xx de 3bvax - xx,

l'on écrira 36vax

1x — *x + 2bVax -xx, qui se réduit à sbvax —xx. Pour soustraire 2c6d de 3avb, l'on écrira 3avb- 2000, qui ne peut avoir d'autre expression.

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· X

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MULTIPLICATION

ce

x

3

3

3

Des quantitez irrationnelles. 69. Si les quantitez que l'on veut multiplier sont incomplexes, l’on multipliera la partie rationnelle par la rationnelle ; & la partie irrationnelle par l'irrationnelle, & l'on écrira le produit des parties rationnelles devant le signe radical & le produit des irrationnelles après, & l'on réduira le produit total à son expression la plus simple. Ainsi avbx (=avbb: mais vbb =b; donc acvbb=abc; d'où l'on voit que lorsque les parties irrationnelles sont semblables, il n'y a qu'à multiplier le produit des rationnelles

par qui se trouve sous le signe radical. De même avbxVc; ou avb x IVc (car on prend l'unité pour partie rationnelle, lorsqu'il n'y en a point d'autre) av bc ; 2avb x 36, ou 2avb x 36V 1 babvb; 2av bc x bvab 2 abv

abbc 2 abbvac ; 2aV3bc 36V bab = babV 1 8abbc = 18abbv 2 ac ; aV 26 x 26V36 = zabv6bc. Vab x Vab=Vaabb; 2avab x 3baa= babřáb=6aab'b. Il en est ainsi des autres.

70. Si les quantitez que l'on veut multiplier sont complexes, on multipliera tous les termes de l'une

par

cha. cun de ceux de l'autre, en suivant les regles des quan. titez incomplexes , & la Réduction des produits particuliers étant faite , l'on aura le produit total. Ainsi Vaa + 66 x Vaa + bb = aa + bb; Vaa-bbx - Vaa— 66

=- aa + bb; 2avaa + 66 x baa+b6 = 2db + 2ab',

Ceci est évident; car lorsque la même quantité se trouve sous le signe radical V, en ôtant le signe radical, cette quantité se trouve multipliée par elle-même. Ce qu'on peut encore prouver en cette sorte : Vaa + bb x Vaa + bb = aa + bb i xaa+bb. aq

( no. 34.) aa + 66

661 +

ou (no. 33. ) aa + bb * x3

= aa + bb. Il en est aing des

x

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X

zabt

1

ܐ

X2

autres,

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