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Pour multiplier va + b par va−b, on multipliera a+b par a-b, comme fi c'étoit des quantitez rationnelles, & l'on aura Vaa- bb. De même a+√ab x b= ab+b√ab; a+√ab × √bc = av bc +√abbc = av bc + b√ ac; 3 a√bc — 2b√ac × 2c√ab—6ac√abbc —4bc√aabc—6abc√ac -4abcvbc. Voici des Exemples plus compofez.

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-aaxx

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=abcc + bbc aa-xx- - accvaa-yy

(—bç√ a® — aaxx — aayy+xxyy.

a*

DIVISION

Des quantitez irrationnelles.

71.ON écrira le dividende au-deffous du diviseur en forme de fraction, & l'on prendra cette fraction pour le Quotient de la divifion. Mais lorfque l'on s'appercevra que le dividende fera le produit du divifeur par une autre quantité, ce qui eft aisé dans les quantitez incomplexes, on prendra cette autre quantité pour le Quotient. Ét dans les quantitez complexes, lorfqu'on n'appercevra pas le Quotient, on examinera (no. 46.) fi la divifion fe peut faire; & fi elle fe fait, l'on aura un Quotient fans fraction: mais fi elle ne fe fait point, on fe contentera de la divifion indiquée. Ainfi = √b;

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Vab

acybc Va avb la-x:car a + x × a

-x=aa- xx. Il en eft ainfi des autres.

Il Y a d'autres Réductions pour les divifions indiquées qu'on trouvera ailleurs; & tout ce que nous allons dire des raports & des fractions, fe doit auffi entendre de ces fortes de divifions, foit qu'elles foient rationnelles, ou irra

tionnelles.

THEORIE

Des Raifons, ou Raports des Fractions, des
Equations, & des Proportions.

DEFINITION S.

II.RAISON, ou Raport eft la comparaifon de deux

grandeurs de même genre, telles que font deux nombres, deux lignes, deux furfaces, deux corps, deux efpaces de temps, deux quantitez de mouvement, deux viteffes d'un même, ou de deux differens mobiles, deux poids, deux fons, &c.

Or comparer les grandeurs, c'eft operer fur les fur les gran. deurs; & comme l'on ne peut operer fur les grandeurs qu'en les ajoutant, fouftrayant, multipliant, divifant, & en extrayant les racines; il faut neceffairement que leur comparaison fe faffe par quelques-unes de ces opera

tions.

Mais parceque l'Addition, & la Multiplication les confondent, & n'en marquent point l'égalité, ou l'inégalité, en quoi confifte précisément la comparaifon des gran.. deurs, & que l'extraction des racines n'agit que fur une feule, & qu'au contraire la Souftraction fait connoître l'égalité de deux grandeurs, ou l'excès de l'une par-deffus l'autre, ou la difference de l'une à l'autre, & que la Divifion détermine combien de fois une grandeur en contient, ou est contenue dans une autre; ou, ce qui eft la même chofe, indique la maniere dont une grandeur en contient, ou eft contenue dans une autre, ou en marque l'égalité; il fuit qu'il n'y a que la Souftraction & la Divifion qui puiffent fervir à comparer les grandeurs.

1. La comparaifon de deux grandeurs par la Souftraction; ou, ce qui eft la même chofe, la Souftraction ellemême, est nommée raison ou raport arithmetique. Ainfi

12 — 4 ; a—b, ou b—a, &c. font des raisons ou des raports arithmetiques.

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2

4

2. La comparaifon de deux grandeurs par la Divifion; ce qui eft la même chofe, la Divifion elle-même est appellée raison, ou raport géometrique. Ainfi —, ou ; ou -, &c, font des raisons ou des raports géometriques.

b

12

On prend ici la Soustraction indiquée pour la Souftraction même, ou pour la difference des deux grandeurs qui la compofent, & l'on prend de même la Divifion indiquée pour la Divifion même, ou pour le Quotient des deux quantitez qui la forment.

On appellera dans la fuite Réduction, le résultat de ces deux Regles ou de ces deux Raports, c'est-à-dire, la difference & le Quotient des deux quantitez qui les compofent.

COROLLAIRE I.

3. IL eft clair que les raisons ou raports tant arithmetiques que géometriques, font égaux lorsque leurs Réductions font égales. Ainfi 12-4=16-8, parceque 12

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I 2

9

12

parceque

2 = 3, & =3. Par la même raison, si ;=f&;=f;

l'on aura

que

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4. Mais les Réductions, ou les Quotiens des divifions, ou des raports geometriques, font toujours égaux, lorfles dividendes contiennent, ou font contenues de même maniere dans les divifeurs. C'eft pourquoi lorf qu'une grandeur a contiendra, ou fera contenue dans une autre grandeur b, comme une troifiême c contient ou eft contenue dans une quatriême d, ces quatre grandeurs formeront toujours deux raports géometriques égaux,

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COROLLAIRE I I.

5. IL eft de même évident que les raifons, ou raports tant arithmetiques que géometriques, font inégaux, lorfque leurs Réductions font inégales, & que le plus grand eft celui dont la Réduction eft la plus grande. Ainfi 12 -4> -4=8, & 10—6— 4. De même

ΙΟ

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6: car 12

12

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: car = 3 &

4

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b

6. Le premier terme d'un raport arithmetique, & le terme fuperieur d'un raport géometrique, font nommez antecedens; le fecond d'un raport arithmetique, & l'inferieur d'un raport géometrique, font nommez confequens. Ainfi dans les raports a—b, & %, a est l'antecedent, & b le confequent: mais comme les raisons ou les raports géometriques ne font autre chose que des Divifions indiquées, & que ces Divifions font, à proprement parler, des fractions; il fuit qu'il n'y a aucune difference entre raison, raport, divifion, & fraction; de forte que tout ce qu'on dira dans la fuite des uns, fe doit auffi entendre des autres. On remarquera feulement que pour parler comme les autres, lorfqu'il s'agira des raifons ou raports, on appellera les deux termes antecedent & confequent; lorfqu'il s'agira de Divifions, on les appellera dividende & divifeur; & lorsqu'il s'agira de fractions, on les appellera numerateur & dénominateur.

7. Lorfque l'antecedent d'une raison est égal à fon confequent, on l'appelle raifon d'égalité ; & lorfque l'un furpaffe l'autre, on l'appelle raifon d'inégalité.

8. Lorfque l'antecedent d'un raport géometrique, contient plufieurs fois exactement fon confequent, il eft nommé multiple de ce confequent; & lorfque l'antecedent eft contenu plufieurs fois exactement dans fon confequent, il eft nommé foûmultiple du même confequent.

9. De tels raports tirent leur dénomination du nombre de fois que l'antecedent contient le confequent, où

f

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