Х

Pour multiplier Va + b pär vab, on multipliera a + b par a-6, comme si c'étoit des quantitez rationnelles, & l'on aura Vaa. bb. De même a+ Vab x b: ab + bvab; a+Vab x Vbc = avbc+Vabbc

av bc + Vabbc = avbc + bac; 3a7bc2bVac x 20V ab=bacvabbc-4bcVaabc=babcvac -4abcvbc. Voici des Exemples plus composez.

a +Vaa—66 multiplié.
par a + Vāa-66
aa tavaa bb

to avaa bb + aa- 66 Produit aa + 2avaa -bb taabb.

a to Vaa

Vaa – xx multiplié par

Vaa—xx Produit aa + avaa —xx avaa

ad to XX

XX

XX

.

XX

.

Vab + Vaa

– xx multiplié par Vab + Vaa Produit ab + Våb — abxx

+ Våb - abxx + aa-xx =ab+2V2b-abxx + aa — xx. ac + braa – xx multiplié

- yy

· Prod. abcc+bbcvaa — xx - acc/aa-yy - bava

aayy+xxyy abcc + bbcvaa ---**

--xx-accvaa - yy
(vai - aaxx -
-b¢

par bc

waa

XX

DIVISION

Des quantitez irrationnelles. 71. ON écrira le dividende au-dessous du diviseur en forme de fra&ion, & l'on prendra cette fraction pour

le Quotient de la division. Mais lorsque l'on s'appercevra que le dividende sera le produit du diviseur par une autre quantité, ce qui est aisé dans les quantitez incomplexes, on prendra cette autre quantité pour le Quotient. Ét dans les quantitez complexes, lorsqu'on n'appercevra pas le Quotient, on examinera (no. 46.) si la division se peut faire ; & fi elle fe fait, l'on aura un Quotient sans fraction : mais fi elle ne se fait point, on se contentera de la division indiquée. Ainfi

= Vb;

Van — XX
wc;
=zaugai

=Va*: car a t * X 4

Va+*
x= aa xx. Il en est ainsi des autres.

Il y a d'autres Réductions pour les divisions indiquées qu'on trouvera ailleurs ; & tout ce que nous allons dire des raports & des fractions, le doit aulli entendre de ces fortes de divisions, soit qu'elles soient rarionnelles, ou irrationnelles.

Vab

acvbc

va

ayb

4672b

RA

corps, deux

Τ Η Ε Ο RI E
Des Raisons , ou Raports des Fraktions, des

Equations, des Proportions.

DE' FINITION S. II. Arson, ou Raport est la comparaison de deux

grandeurs de même genre, telles que foņe deux nombres, deux lignes , deux lurfaces, deux corps, espaces de temps, deux quantitez de mouvement, deux vitesses d’un même , ou de deux differens mobiles, deux poids, deux fons, doc.

Or comparer les grandeurs, c'eft operer sur les gran. deurs ; & comme l'on ne peut operer sur les grandeurs qu'en les ajoutant, soustrayant, multipliant, divisant , & en extrayant les racines; il faut necessairement

que

leur comparaison se fasse par quelques-unes de ces opera, tions.

Mais parceque l’Addition, & la Multiplication les con-', fondent, & n'en marquent point l'égalité, ou l'inégalité, en quoi consiste précisément la comparaison des gran.. deurs, & que l'extraction des racines n'agit que sur une seule ; & qu'au contraire la Soustraction fait connoître l'égalité de deux grandeurs, ou l'excès de l’une par-dessus l'autre, ou la difference de l'une à l'autre, & que la Division détermine combien de fois une grandeur en contient, ou est contenue dans une autre ; ou, ce qui est la même chose, indique la maniere dont une grandeur en contient, ou est contenue dans une autre, ou en marque l'égalité ; il suit qu'il n'y a que la Soustra&tion & la Division qui puissent servir à comparer les grandeurs.

1. La comparaison de deux grandeurs par la Souftra- . ction; ou, ce qui est la même chose, la Souftraction ellemême, est nommée raison ou raport arithmctique. Ainsi

4

I 2

b ou

12 – 4; 4-6, ou b-a,-&c. sont des raisons ou des raports arithmetiques

.

. 2. La comparaison de deux grandeurs par la Division; ou, ce qui est la même chose, la Division elle-même est appellée raison, ou ráport géometrique. Ainfi , ou os 1,046, &c, font des raisons ou des ráports géometriques.

. On prend ici la Soustraction indiquée pour la Soustra- . &tion même, ou pour la difference des deux grandeurs qui la composent ; & l'on prend de même la Division indiquée pour la Division même, ou pour le Quotient des deux quantitez qui la forment.

On'appellera dans la suite Rédułtion, le résultat de ces deux Regles ou de ces deux Raports, c'est-à-dire, la difference & le Quotient des deux quantitez qui les composent.

COROLLA I RE 3. Il est clair que les raisons ou raports tant arithme- . tiques que géometriques, sont égaux lorsque leurs Rédu&tions sont égales. Ainsi 12—4=16—8, parceque 12 -4=8, & 16—8= 8. De même * = , parceque = 3,& }

;= 3. Par la même raison, fi ó=f&i=f; l'on aura

b 4. Mais les Rédu&ions , ou les Quotiens des divisions, ou des raports géometriques, sont toujours égaux, lorfque

les dividendes contiennent, ou sont contenues de même maniere dans les diviseurs. C'est pourquoi lorfqu'une grandeur a contiendra , ou sera contenue dans une autre grandeur b, comme une troisième c contient ou est contenue dans une quatriême d, ces quatre grandeurs formeront toujours deux raports géometriques égaux,

I.

I 2

9

3

=

IO

I 2

16

I 2

16

:

= 2.

8

8

&

COROLLAIRE ! I.

II S.

Il est de même évident que les raisons, ou raports tant arithmetiques que géometriques , sont inégaux, lorsque leurs Réductions sont inégales, & que le plus grand est celui dont la Réduction est la plus grande. Ainsi 1 2 —4>

6: car 12 4= 8, & 10 — 6=4. De même > * : car = 3,&

6. Le premier terme d'un raport arithmetique , & le terme superieur d'un raport géometrique, sont nommez antecedens ; le second d'un raport arithmetique, & l'inferieur d'un raport géometrique, sont nommez consequens. Ainsi dans les raports a -6,& fi a est l'an

a tecedent, & b le consequent : mais comme les raisons ou les raports géometriques ne sont autre chose

que

des Divisions indiquées, & que ces Divisions sont, à

proprement parler, des fractions ; il suit qu'il n'y a aucune difference entre raison, raport, division, & fraction; de sorte que tout ce qu'on dira dans la suite des uns, se doit aussi entendre des autres. On remarquera seulement que pour parler comme les autres, lorsqu'il s'agira des raisons ou raports, on appellera les deux termes antecedent & confequent ; lorsqu'il s'agira de Divisions, on les appellera dividende & diviseur ; & lorsqu'il s'agira de fractions, on les appellera numerateur & dénominateur.

7. Lorsque l'antecedent d'une raison est égal à fon consequent, on l'appelle raison d'égalité ; & lorsque l'un surpasse l'autre, on l'appelle raison d'inégalité.

8. Lorsque l'antecedent d'un raport géometriqué, contient plusieurs fois exactement son consequent, il est nommé multiple de ce consequent; & lorsque l'antecedent est contenu plusieurs fois exactement dans son consequent, il est nommé foúmultiple du même consequent.

9. De tels raports tirent leur dénomination du nombré de fois que l'antecedent contient le consequent, ou

f