y est contenu. De sorte que si l'antecedent contient deux, trois, quatre fois, &c. son consequent, le raport sera nommé double , triple ,quadruple , &c. & si l'antecedent est contenu deux, trois, quatre fois, &c. dans le consequent, le raport sera nommé soudouble, sóútriple, foủquadruple, &c. Ainsi est un raport triple, & i, est un raport soll- . triple.

10. On appelle équation deux quantitez algebriques differentes, entre lesquelles se trouve le signe d'égalité ; ainsi a=b; ax

--XX

-xx=yy; x= sont des équations. 11. Les deux quantitez algebriques qui se trouvent de part & d'autre du signe d'égalité sont nommées membres de l'équation; celle qui le précede est nommée le premier membre, & celle qui le suit, le second. D'où l'on voit que les deux membres d'une équation sont les expresa sions algebriques d'une même quantité, ou de deux quantitez égales.

COROLLA I R E. 12. Il est évident que deux raports égaux arithmetiques, ou géometriques, peuvent toujours former une équation. Ainsi si a surpasse, ou est surpassée par b, de la même quantité que c surpasse ou est surpaffée par d, l'on aura toujours a-b=i-d, ou b-a=d-c. De même si a contient ou est contenue dans b, comme c contient ou est contenue dans d, l'on aura toujours i =, ou :=

13. Mais si au lieu de former une équation de deux raports égaux, arithmetiques, ou géometriques, on arrange leurs quatre termes de suite, en sorte que l'antecedent de l'un des deux raports soit le premier, son consequent, le second; l'antecedent de l'autre raport, le troisième, & son consequent le quatriéme, en séparant les deux raports par quatre points, & les deux termes de

chaque raport par un seul point, en cette forte a.b::cod, (en supposant que a—b=r-d, ou ;=á); on appellera proportion , ou analogie cette disposition des quatre termes de deux raports égaux. De sorte que proportion ou analogie , n'est autre chose que l'égalité de deux raports arrangez autrement qu'en équation. Si les raports sont arithmetiques, on la nommera proportion arithmetique ; s'ils sont géometriques, on la nommera proportion géometrique.

14. Pour énoncer une proportion, comme celle-ci a.b::c.d; on dira , si elle est arithmetique, a surpasse 6, ou est,surpassée par b, comme c surpassed, ou est surpalsée par d; & si elle est géometrique, on dira a contient b, ou est contenue dans b, comme c contient d, ou est contenue dans d. Mais pour abreger, soit que la proportion soit arithmetique, ou géometrique, on dit a est à b, comme c est à d, ou comme a est à b, ainsi c est à d, en observant neanmoins que le mot est signifie surpasse , ou eft surpassé dans la proportion arithmetique ; & que dans la geometrie, il signifie contient ou eft contenu.

L'on distingue deux sortes de proportions, tant arithmeriques que géometriques, la discrete, & la continue.

15. La proportion discrete est celle dont les quatre termes sont differens, comme celle ci a. 6:: c. d.

. 16. La proportion continue, est celle où la même quantité est le consequent du premier raport & l'antecedent du second, comme celle-ci à. b::b.s.

17. Les quancitez qui forment une proportion sont nommées proportionnelles. Ainsi la proportion discrete renferme quatre proportionnelles, & la continue n'en renferme que trois, & celle du milieu est nommée moyenne proportionnelle , arithmetique ou géometrique, selon que la proportion est arithmetique ou géometrique, & dans l'une & dans l'autre proportion, le premier & le dernier termes sont nommez extrêmes, & les deux du milieu , moyens. 18. Lorsqu'une proportion continue renferme plus de

.

-ܐ ܝܘ . ܐ .4 .C

trois termes : ou plutôt lorsque plusieurs grandeurs dont le nombre surpasse 3, sont rangées de suite, de maniere que chacune d'elles puisse servir de consequent à celle qui la précede, & d'antecedent à celle qui la suit, cette rangée de grandeurs est appellée progression, arithmetique ou géometrique, selon que les raports, que les grandeurs qui la compolent, ont entr'elles, font arithmetiques ou géometriques. A, B, C, sont des progressions arithmetiques. D, E, F, des progressions géometriques.

A.1. 2. 3. 4. 5, &c. D. I. 2.4.8.16, &c. . B, 10.8.6.4.2, Owc. E. 81, 27.9.3.1, &c.

-4,&c.
F. 4. 2. r. &c.

-* COROLLA IR E. I, Il est clair ( no. 18.) que dans une progression 19. arithmetique, l'excès d'un terme quelconque par-dessus celui qui le suit, ou qui le precede, doit être toujours le même. De sorte que si on nomme le premier terme d'une progression arithmetique a ; & l'excès qui regne dans la progression m, (m peut signifier un nombre quelconque , entier , ou rompu , positif, ou negatif) l'on pourra former

par

le moyen de ces deux lettres, une progression arithmetique generale en cette forte, a. a+m. 4+2m. a +3m, &c.

COROLLA I R E II. 20. Il n'est pas moins évident que si dans la progression géometrique, l'on divise un terme quelconque par celui qui le suit, la réduction, ou le quotient sera toujours le même ; c'est pourquoi fi l'on nomme le premier terme d'une progression géometrique b, & la réduction ou quotient qui regne dans la progression na n signifie un nombre positif, entier, ou rompu), l'on pourra former ụne progression géometrique generale, en cette sorte, :: 6. b

» &c. car fi une quantité b divisée par

.

b b b b

C.

13

AC

une autre, donne au quotient n, la même quantité b, divisée par le quotient n donnera cette autre.

21. Ceci se peut aussi appliquer aux proportions tant arithmetiques que geometriques. Soit par exemple, la proportion arithmetique suivante a. 6:: 6. di si l'on pomme a-6, ou b -6, ou b-a,mic-dou d-c sera aussi m; ;cd

; donc a. a-m:: 6.6 -m, ou a. a+m:: 6.6+m, d’ock • l'on voit que la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens , c'est-à-dire, a+c+m=a+m+6, puisque ces deux sommes, qui sont les deux membres de cette équation, renferment les mêmes quantitez.

2 2. De même, si dans la proportion géometrique suivante a, b ::c.d, on fait ;=n, l'on aura aussi =n; & partant (no, 20.)a. --::-.- ; d'où l'on

& voit aussi que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, c'est-à-dire, .."

:car ces deux produits qui sont les deux membres de cette équation, renferment les mêmes quantitez,

A X I OM E

XI Ο Ε I. 23. Si l'on ajoute, ou îi l'on soustrait, ou si l'on multiplie, ou si l'on divise des quantitez égales par des quantitez égales ; les sommes, ou les differences, ou les produits, ou les quotiens , seront égaux.

COROLLA I R E S. zet. Il suit qu'on peut ajouter, soustraire, multiplier, ou diviser les deux membres d'une équation par les deux membres d'une autre, chacun par chacun. Par exemple, si a=b,&=d, l'on aura a+c=b+d, ou a 6

todo +6+r; ac=bd, ou ad=bc;

12

ua

ou

d

passer tel terme que l'on voudra d’un membre d'une équation dans l'autre en changeant son signe, ce qu'on appelle transposition. On peut même passer tous les termes d'un des membres dans l'autre, ce qu'on appelle égaler tout à zero. Ainsi cette équation a +b-1=g se peut changer

fe en celle-ci a+b=5+r, ou en celle-ci a=8+1-6, ou en celle-ci a+b=c-g=o, ou o=8-0-6+1:

-gbc

. car par exemple, dans le premier changement, on ne fait qu'ajouter de

part

& d'autre du signe d'égalité, parcequ'elle y est soustraite, ce quj donne a+b-c+r=8+1,

qui se réduit à a+b=8+6. Il en est ainsi des autres changemens. 3e. Il suit de ce Corollaire

que

l'on peut changer tous les signes d'une équation ;, car il n'y a qu'à supposer qu'on fait passer tous les termes d'un membre dans l'autre; & que

l'on peut mecere seuls, dans un des membres, les termes qu'on veut, avec les signes qu'on veut.

4o. Il luit encore du même Axiome, & de ce que la division détruit ce que fait la multiplication , & au contraire ; qu'on peut délivrer une équation de toutes les fractions qui s'y peuvent rencontrer : car il n'y a qu'à multiplier toute l'équation par tous les dénominateurs l'un après l'autre , ou ce qui revient àu niême, la multiplier 'une seule fois par le produit de tous les dénominateurs, & ensuite réduire (art. 1. no. 37.) les termes fra&ionnaires. Par exemple, pour ôter les fractions de cette équation

on la multipliera par c & puis par

abx

.bcd

+ gx

a

aabcx

abccd

a

a, ou une seule fois

par ac,

& l'on aura - +acgx aabox

abocd mais (art. 1. no. 37.)

aabx, & bocd; donc a abx + acgx=bccd qui n'a plus de fractions.

L'on abrege l'operation, & particulierement quand les dénominateurs sont des polynomes, en écrivant les numerateurs des termes fractionnaires sans y rien changer, & en multipliant les autres termes par les dénominateurs.