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y eft contenu. De forte que si l'antecedent contient deux, trois, quatre fois, &c. fon consequent, le raport sera nom. mé double, triple,quadruple,&c. & si l'antecedent eft contenu deux, trois, quatre fois, &c. dans le consequent, le raport sera nommé foûdouble, foûtriple, soûquadruple, &c. Ainsi est un raport triple, & est un raport foûtriple.

12

4

4

12

10. On appelle équation deux quantitez algebriques differentes, entre lesquelles se trouve le signe d'égalité; ainsi a=b; ax - xx = yy; x = sont des équations.

ab

11. Les deux quantitez algebriques qui se trouvent de part & d'autre du signe d'égalité sont nommées membres de l'équation; celle qui le précede est nommée le premier membre, & celle qui le suit, le second. D'où l'on voit que les deux membres d'une équation sont les expref. sions algebriques d'une même quantité, ou de deux quantitez égales.

COROLLAIRE.

12.IL est évident que deux raports égaux arithmetiques, ou géometriques, peuvent toujours former une équation. Ainsi si a furpasse, ou est surpassée par b, de la même quantité que e surpasse ou est surpassée par d, l'on aura toujours a -b=c-d, oub-a= d-c. De même si a contient ou eft contenue dans b, comme c contient ou est contenue dans d, l'on aura toujours ÷=÷, ou

d

13. Mais si au lieu de former une équation de deux raports égaux, arithmetiques, ou geometriques, on arrange leurs quatre termes de suite, en forte que l'antecedent de l'un des deux raports soit le premier, son consequent, le second ; l'antecedent de l'autre raport, le troisiême, & fon consequent le quatrième, en séparant les deux raports par quatre points, & les deux termes de chaque raport par un seul point, en cette forte a . b ::c.d, (en supposant que a-b=c-d, ou=); on appellera proportion, ou analogie cette disposition des quatre termes de deux raports égaux. De forte que proportion ou analogie, n'est autre chose que l'égalité de deux raports arrangez autrement qu'en équation. Si les raports font arithmetiques, on la nommera proportion arithmetique; s'ils font géometriques, on la nommera proportion géometrique. une autre, donne au quotient n, la même quantité b, divisée par le quotient n donnera cette autre.

14. Pour énoncer une proportion, comme celle-ci a. b :: c. d; on dira, si elle est arithmetique, a furpasse b, ou est surpassée par b, comme c furpasse d, ou est surpaf. sée par d; & fi elle est géometrique, on dira a contient b, ou est contenue dans b, comme c contient d, ou est contenue dans d. Mais pour abreger, soit que la proportion soit arithmetique, ou géometrique, on dit a est à b, comme c est à d, ou comme a est à b, ainsi c est à d, en observant neanmoins que le mot est signifie furpasse, ou eft furpassé dans la proportion arithmetique ; & que dans la géometrie, il fignifie contient ou eft contenu.

L'on diftingue deux fortes de proportions, tant arithmetiques que géometriques, la difcrete, & la continue. 15. La proportion difcrete est celle dont les quatre termes font differens, comme celle ci a. b :: c. d.

16. La proportion continue, est celle où la même quantité est le consequent du premier raport & l'antecedent du second, comme celle-ci a. b :: b. c.

17. Les quantitez qui forment une proportion font nommées proportionnelles. Ainsi la proportion discrete renferme quatre proportionnelles, & la continue n'en renferme que trois, & celle du milieu est nommée moyenne proportionnelle, arithmetique ou géometrique, selon que la proportion est arithmetique ou géometrique, & dans l'une & dans l'autre proportion, le premier & le dernier termes font nommez extrémes, & les deux du milieu, moyens.

18. Lorsqu'une proportion continue renferme plus de

:

trois termes : ou plutôt lorsque plusieurs grandeurs dont le nombre furpasse 3, font rangées de suite, de maniere que chacune d'elles puisse servir de consequent à celle qui la précede, & d'antecedent à celle qui la suit, cette rangée de grandeurs est appellée progression, arithmetique ou géometrique, felon que les raports, que les grandeurs qui la composent, ont entr'elles, font arithmetiques ou géometriques. A, B, C, font des progressions arithmetiques. D, E, F, des progressions géometriques.

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19. IL eft clair (no. 18.) que dans une progression arithmetique, l'excès d'un terme quelconque par-dessus celui qui le suit, ou qui le précede, doit être toujours le même. De forte que si on nomme le premier terme d'une progression arithmetique a; & l'excès qui regne dans la progression m, (m peut signifier un nombre quelconque, entier, ou rompu, positif, ou negatif) l'on pourra former par le moyen de ces deux lettres, une progression arithmetique generale en cette sorte, a. a+m. a+2m.a+3m, &c.

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20. IL n'est pas moins évident que si dans la progression géometrique, l'on divise un terme quelconque par celui qui le suit, la réduction, ou le quotient sera toujours le même, c'est pourquoi si l'on nomme le premier terme d'une progression geometrique b, & la réduction ou quotient qui regne dans la progression n ( n signifie un nombre positif, entier, ou rompu), l'on pourra former une progression géometrique generale, en cette forte,

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21. Ceci se peut aussi appliquer aux proportions tant arithmetiques que géometriques. Soit par exemple, la proportion arithmetique suivante a. b :: c.d; si l'on nomme a-b, oub-a, m; c-doud-c sera aussi m; donc a. a-m::c.c-m, ou a. a+m::c.c+m, d'où • l'on voit que la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens, c'est-à-dire, a+c+m=a+m+c, puisque ces deux sommes, qui font les deux membres de cette équation, renferment les mêmes quantitez.

22. De même, si dans la proportion géometrique suivante a, b :: c. d, on fait = n, l'on aura aussi

6

-=n; & partant (no. 20.) a. ::c. ; d'où l'on voit aussi que le produit des extrêmes est égal au pro

duit des moyens, c'est-à-dire,=

n

ac

n

car ces deux pro

duits qui font les deux membres de cette équation, renferment les mêmes quantitez.

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23.SI l'on ajoute, ou si l'on soustrait, ou si l'on multiplie, ou si l'on divise des quantitez égales par des quantitez égales; les sommes, ou les differences, ou les produits, ou les quotiens, seront égaux.

COROLLAIRES.

1. IL suit qu'on peut ajouter, soustraire, multiplier, ou diviser les deux membres d'une équation par les deux membres d'une autre, chacun par chacun. Par exemple, fi a = b, & c = d, l'on aura a+c=b+d, ou a + d

ad=bc;

a

6

÷=÷

ou

d

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=b+c; ac=bd, ou 25. Il suit aussi de cet Axiome, & de ce que l'Addition & la Soustraction ont des effets contraires, que l'on peut passer tel terme que l'on voudra d'un membre d'une équation dans l'autre en changeant son signe, ce qu'on appelle transposition. On peut même passer tous les termes d'un des membres dans l'autre, ce qu'on appelle égaler tout à zero. Ainfi cette équation a+b=g se peut changer en celle-ci a+b=g+c, ou en celle-ci a=g+c-b, ou en celle-ci a+b-c-g=0, ouo=g-a-b+c: car par exemple, dans le premier changement, on ne fait qu'ajouter c de part & d'autre du signe d'égalité, parcequ'elle y est soustraite, ce qui donne a+bc+c=g+c, qui se réduit à a+b=g+c. Il en est ainsi des autres changemens.

3e. Il suit de ce Corollaire que l'on peut changer tous les signes d'une équation; car il n'y a qu'à supposer qu'on fait passer tous les termes d'un membre dans l'autre ; & que l'on peut mettre seuls, dans un des membres, les termes qu'on veut, avec les signes qu'on veut.

4e. Il suit encore du même Axiome, & de ce que la division détruit ce que fait la multiplication, & au contraire; qu'on peut délivrer une équation de toutes les fractions qui s'y peuvent rencontrer : car il n'y a qu'à multiplier toute l'équation par tous les dénominateurs l'un après l'autre, ou ce qui revient au même, la multiplier une seule fois par le produit de tous les dénominateurs, & ensuite réduire (art. 1. no. 37.) les termes fraCionnaires. Par exemple, pour ôter les fractions de cette

abx

équation

C

bcd

a

aabcx

C

+acgx=

abced :

a

+gx= on la multipliera par c & puis par a, ou une feule fois par ac, & l'on aura mais (art. 1. n°. 37.) aabx, & aabx + acgx=bccd qui n'a plus de fractions.

aabex

C

=

abced
= bccd; donc

a

L'on abrege l'operation, & particulierement quand les dénominateurs font des polynomes, en écrivant les numerateurs des termes fractionnaires fans y rien changer, & en multipliant les autres termes par les dénominateurs.

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