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Ainfi pour ôter la fraction de cette équation

-aa

b-y

ayant multiplié c par b—y, l'on aura xx―aa―bc—cy. Il en est ainfi des autres.

se. Il fuit auffi qu'on peut délivrer une lettre, ou telle puiffance qu'on voudra d'une même lettre, qui fe trouve dans une équation, de toutes autres quantitez qui l'accompagnent; ce qu'on appelle trouver la valeur d'une lettre ou d'une puiffance: car il n'y a pour cela qu'à divifer toute l'équation par les quantitez qui multiplient cette lettre après avoir mis dans un des membres tous les termes où fe trouve cette lettre, & tous les autres termes dans l'au tre membre, & qu'à faire enfuite la réduction. Par exemple, fi dans cette équation ax = bc, l'on veut mettre x feule dans le premier membre, l'on aura en divisant

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réduit.

bc

a

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Si dans celle-ci axab + bx bc, l'on veut avoir feule dans un des membres, l'on aura en transposant, & bx ab- bc, & en fuppofant que a furpaffe b, ax

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-bx

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a-b

ab-bc

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avoir x feule, en divifant par a—b, l'on aura

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ax -bse

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+

Si dans cette équation aaxx+aayy — 2ax3 — 2axyy → xxyy = 0, l'on veut mettre yy feule dans le premier membre, l'on aura en tranfpofant aayy zaxyy + xxyj = 2ax3— aaxx, & en divifant chaque membre par aazax + xx, l'on aura yy = Il en eft ainfi des

autres.

24x3 -aaxx aa - 2ax+xx'

AXIOME I I.

24. LES puiffances & les racines des quantitez égales font égales.

=

ab

Ainfi fix=+a, +a, l'on aura en quarrant chaque membre xx=aa; & fi xxaa, les racines feront x=+a; fi xx ab, les racines feront xvab. Sixx—— les racines feront x=+V-ab, qu'on appelle racine imaginaire, parce que l'on n'en peut pas exprimer la valeur, telles font toutes les quantitez irrationnelles negatives.

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Viar

V

— aaxx = x√2ax

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- aaxx

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a1x

3

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a +

bb:

Si xx ax + bb, les racines feront.x= aabb: car en tranfpofant, l'on a xx — ax = or fi l'on extrait (art. 1. n°. 62.) la racine du premier membre xx — ax, on trouvera qu'il y manque + aa, afin qu'il foit quarré; c'eft pourquoi en ajoutant de part & d'autre aa, l'on aura xx➡ax+ aa——

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& la racine du fecond membre ne s'extrait que par le

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étoient differens, cela n'apporteroit aucun changement dans l'operation.

C'eft auffi parceque les puiffances des quantitez égales font égales, que l'on peut délivrer une équation des quantitez irrationnelles qui s'y rencontrent : ce qu'on appelle faire évanouir les fignes radicaux: car s'il ne s'y en rencontre qu'une, après l'avoir mife seule dans un des membres de l'équation par les Corollaires précedens; il n'y aura qu'à élever chaque membre à la puiffance qui à pour exposant celui du signe radical. Ainfi délivrer des quantitez irrationnelles, cette équation xx=a—xx √xx+yy, l'on aura en divifant par a —x,

pour

xx

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vxx+yy, ou en divifant par √xx+yy, vxx+yy -x, & en quarrant chaque membre, l'on aura

=aa

nelles.

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xx+yy

zax + xx, où il n'y a plus de quantitez irration.

=b

Mais s'il fe rencontre deux quantitez irrationnelles dans une même équation, on la délivrera de l'une, & enfuite de l'autre comme on vient de dire. Par exemple, pour délivrer de quantitez irrationnelles, cette équation √xx+yy+Vaa —zax+xx+yy=b, l'on aura en tranfpofant, Vaa2ax + xx+yy - √xx jy, & en quarrant chaque membre, l'on aura aa — 2ax + xx+ vy = 2b√xx+yy+xx+yy, & en ôtant ce qui se détruit par la réduction, & tranfpofant, il vient 2bVxx+yy bb — aa+2ax, & en quarrant encore chaque membre, zaabb + aˆ+4abbx — 4a3x l'on a 4bbxx+4bbyy = b*. ✈✦4aaxx, où il n'y a plus de quantitez irrationnelles.

=

bb

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AXIOM E III.

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25. On peut mettre en la place d'une quantité quelconque incomplexe ou complexe, une autre quantité égale incomplexe, ou complexe, ce qu'on appelle fubftituer:

g

C'est par le moyen de cet Axiome que l'on réduit plufieurs équations à une feule, & que l'on en fait évanouir les

lettres que l'on veut, veut, pourvû que chacune de ces lettres,

ou quelques-unes de leurs puiffances fe trouvent au moins dans deux de ces équations, & que l'on ait au moins une équation de plus qu'il y a de lettres que l'on veut faire évanouir. En voici la Méthode.

26. On choisit une des équations (c'eft ordinairement la plus fimple) & l'on met feule (axio. 1. & fes Coroll.) la lettre qu'on veut faire évanouir, dans un des membres; (c'est ordinairement dans le premier), & l'on sub. stitue dans les autres équations, en la place de cette lettre, ou de fes puiffances, fa valeur, ou celle de fes puiffances, qui fe trouve dans l'autre membre de l'équation que l'on a préparée, en forte que cette lettre ne fe trouve plus dans aucune, & l'on a alors une équation de moins. On recommence de nouveau à choifir la plus fimple des équations résultantes, & l'on met feule dans le premier membre, la lettre qu'on veut faire évanouir, & l'on fubftitue comme auparavant la valeur de cette lettre dans les autres équations. On réïtere la même operation jusqu'à ce que l'on ait fait évanouir l'une après l'autre, toutes les lettres que l'on a deffein de faire évanouir, ou jufqu'à ce que l'on n'ait plus qu'une feule équation. On va eclaireir ceci par des Exemples.

EXEMPLE S.

jer. SOIENT les trois équations A, B, C, dont on veut faire évanouir les deux lettres x & y.

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Je choifis l'équation C pour faire évanouir

tire y

=

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bz, & en quarrant chaque membre (parceque le quarré de y fe trouve dans l'équation A,) j'ai yỳ

yy

=bb — 2b2 + 2, & mettant dans l'équation A, pour fa valeur bb — 2b2+zz, & dans Péquation B, pour y fa valeur b-z, j'ai les deux équations D & F, où y ne fe trouve plus. Je choifis de nouveau l'équation E pour faire évanouir x, & j'en tire x = a+b-, & mettant dans l'équation D pour x fa valeur a+b-z, j'ai l'équation F, qui devient par la réduction, & par la transposition, l'équation G, où x &y ne fe trouvent plus.

2o. Soient les deux équations da+2ax+xx=2yy+2by +bb, & yy + by=aa+ax, d'où il faut faire évanouiry. Je remarque que fi la feconde équation étoit multipliée l'on auroit 2yy + 2by par 2, = 2aa+2ax, où les termes où y fe trouve, font les mêmes que dans la première ; c'est pourquoi fi l'on met dans la premiere pour 2yy+2by sa valeur +2aa+2ax tirée de la feconde, après l'avoir multipliée par 2, l'on aura aa + 2ax + xx=2aa + 2ax+bb, qui fe réduit à xx=aa+bb. Il en eft ainfi des autrés.

3

27. On peut encore par le moyen de cet Axiome faire certains changemens dans une équation en faifant certaines fuppofitions. Par exemple, fi l'on a x'= aab, en fuppofant ay=xx ; & mettant cette valeur de xx dans l'équation x'=aab, l'on aura axy=aab, ou'xy=ab; en divifant toute l'équation par a.

De même, fi l'on a xx=ax+bb, en fuppofant ac= =bb, l'on aura xx=ax+ac; & fi l'on a xx=ax+ac, en fuppofant bbac, l'on aura xx = ax + bb. Ce qu'on appelle changer un rectangle en quarré, ou un quarré en rectangle. On a fouvent befoin de faire ces changemens.

Pour ce qui reste à dire fur les équations: voyez l'Application de l'Algebre à la Geometrie, Section I. art. 2 & 3.

On trouve dans les Ouvrages de plufieurs Sçavans Geometres un grand nombre de Theorêmes démontrez fur les raports, proportions, & progreffions; mais il y manque la Méthode de les démontrer tous par le même principe, qui eft ce qu'il y a de plus à defirer tant en cette occafion que dans toutes les autres parties des Mathematiques.

On pourroit tirer de ce que nous avons dit, no. 18, 19,

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