xx-aa

b-y

Ainsi pour ôter la fraction de cette équation ayant multiplié c par b-y, l'on aura xx-aa=bc-су.

Il en est ainsi des autres.

se. Il suit aussi qu'on peut délivrer une lettre, ou telle puissance qu'on voudra d'une même lettre, qui se trouve dans une équation, de toutes autres quantitez qui l'accompagnent; ce qu'on appelle trouver la valeur d'une lettre ou d'une puissance: car il n'y a pour cela qu'à divifer toute l'équation par les quantitez qui multiplient cette lettre après avoir mis dans un des membres tous les termes où se trouve cette lettre, & tous les autres termes dans l'autre membre-, & qu'à faire ensuite la réduction. Par exemple, fi dans cette équation ax = bc, l'on veut mettre * seule dans le premier membre, l'on aura en divisant

toute l'équation par a,

ax

= =x;

a

réduit.

bc

donc x=1. Le second membre ne peut être

a

Si dans celle-ci ax = ab + bx - bc, l'on veut avoir seule dans un des membres, l'on aura en transposant, & en supposant que furpasse b, ax - bx =ab-bc, & ab-bc a-b

a

en divisant tout par a - b, l'on aura mais (art. 1. no. 43, ou 46.) 46.)

ab-bc

a-b

ax-bx

a-b

ax-bx
a-b

=x; donc x

Si dans cette équation ax - bx = aa - bb, l'on veut

1

avoir x seule, en divisant par a-b, l'on aura

:

:

: 3

Laxyy +

Si dans cette équation aaxx + aayy - 2ax3xxyy = 0, , l'on veut mettre yy seule dans le premier membre, l'on aura en transposant aayy 2axyy + xxyy -aaxx, & en divisant chaque membre par aaIl en est ainsi des

=

2ax3

2ax+ xx, autres.

l'on aura yy

=

2ax3aaxx aa-2ax+xx

ΑΧΙΟΜΕ I I.

24. LES puissances & les racines des quantitez égales font égales.

Ainfi fi x = + a, l'on aura en quarrant chaque membre xx = aa; & fi xx = aa, aa, les racines feront x = +a; fi xx = ab, les racines feront x=+Vab. Sixx=-ab, les racines feront x=+√-ab, qu'on appelle racine imaginaire, parce que l'on n'en peut pas exprimer la valeur, relles font toutes les quantitez irrationnelles negatives.

(

:

V2ax
Vaa

mais (art. 1. no. 66.) √2ax - aaxx = x√2ax

Vaa

4

Sixx

- aaxx

- 24x + xx

-aa,

1

:

&

= ax + bb, les racines feront x = a +

Vaabb: car en transposant, l'on a xx or fi l'on extrait (art. 1. no. 62.) la racine du premier membre xx - ax, on trouvera qu'il y manque +aa, afin qu'il foit quarré; c'est pourquoi en ajoutant de part

mais √xx & la racine du second membre ne s'extrait que par le

I

2

moyen du signe radical; donc x-a=+√aa+66

owen transposant x = a+Vaa+66. Si les fignes

2

étoient

étoient differens, cela n'apporteroit aucun changement dans l'operation.

C'est aussi parceque les puissances des quantitez égales sont égales, que l'on peut délivrer une équation des quantitez irrationnelles qui s'y rencontrent : ce qu'on appelle faire évanouir les fignes radicaux : car s'il ne s'y en rencontre qu'une, après l'avoir mise seule dans un des membres de l'équation par les Corollaires précedens; il n'y aura qu'à élever chaque membre à la puissance qui a pour exposant celui du signe radical. Ainsi pour délivrer des quantitez irrationnelles, cette équation xx=a-xx

√xx+yy, l'on aura en divisant par a -x,

xx

✓xx+yy, ou en divisant par vxx + yy, Vxx + yy

-x, & en quarrant chaque membre, l'on aura

=

xx+yy

= aa-2ax+xx, où il n'y a plus de quantitez irrationnelles.

tranf

Mais s'il se rencontre deux quantitez irrationnelles dans une même équation, on la délivrera de l'une, & ensuite de l'autre comme on vient de dire. Par exemple, pour délivrer de quantitez irrationnelles, cette équation √xx+yy+Vaa-2ax+xx+yy=b, l'on aura en posant, Vaa 2ax + xx + yy = b. =b-√xx + yy, & en quarrant chaque membre, l'on aura aa - 2ax + xx+ 2b√xx + yy + xx+yy, & en ôtant ce qui se détruit par la réduction, & transposant, il vient 2bVxx+yy =bb-aa+2ax, & en quarrant encore chaque membre, l'on a 4bbxx+ a2+4abbx-4ax +4aaxx, où il n'y a plus de quantitez irrationnelles.

66

= -2

4bbyy=

b-zaabb+

ΑΧΙΟΜE III.

25. ON peut mettre en la place d'une quantité quelconque incomplexe ou complexe, une autre quantité égale incomplexe, ou complexe, ce qu'on appelle substituer :

8

C'est par le moyen de cet Axiome que l'on réduit plusieurs équations à une seule, & que l'on en fait évanouir les lettres que l'on veut, pourvû que chacune de ces lettres, ou quelques-unes de leurs puissances se trouvent au moins dans deux de ces équations, & que l'on ait au moins une équation de plus qu'il y a de lettres que l'on veut faire évanouir. En voici la Méthode.

26. On choisit une des équations (c'est ordinairement la plus simple) & l'on met seule (axio. 1. & ses Coroll.) la lettre qu'on veut faire évanouir, dans un des membres; (c'est ordinairement dans le premier), & l'on fub. stitue dans les autres équations, en la place de cette lettre, ou de ses puissances, sa valeur, ou celle de ses puissances, qui se trouve dans l'autre membre de l'équation que l'on a préparée; en sorte que cette lettre ne se trouve plus dans aucune, & l'on a alors une équation de moins. On recommence de nouveau à choisir la plus simple des équations résultantes, & l'on met seule dans le premier membre, la lettre qu'on veut faire évanouir, & l'on fubstitue comme auparavant la valeur de cette lettre dans les autres équations. On réïtere la même operation jusqu'à ce que l'on ait fait évanouir l'une après l'autre, toutes les lettres que l'on a dessein de faire évanouir, ou jusqu'à ce que l'on n'ait plus qu'une seule équation. On va eclaircir ceci par des Exemples.

EXEMPLES.

15. SOIENT les trois équations A, B, C, dont on veut faire évanouir les deux lettres x & y.

x-y=A. E.

x-b+z=a.

C.

z+y=B. F. az+bz-zz=66-262+

G. 222=3bz+az - bb.

Je choifis l'équation C pour faire évanouir y, & j'en tire y = b z, & en quarrant chaque membre (parce

que le quarré de y se trouve dans l'équation A,) j'ai yy

1

=bb-2bz+z, & mettant dans l'équation A, pour yy sa valeur bb - 2bz+zz, & dans l'équation B, pour y sa valeur b - z, j'ai les deux équations D & F, où y ne le trouve plus. Je choisis de nouveau l'équation E pour faire évanouir x, & j'en tire x = a+b-z, & mettant dans l'équation D pour x sa valeur a+b-z, j'ai l'équation F, qui devient par la réduction, & par la transposition, l'équation G, où x & y ne se trouvent plus.

2o. Soient les deux équations aa+2ax+xx=2yy+2by +bb, & yy+by=aa+ax, d'où il faut faire évanouir y. Je remarque que si la seconde équation étoit multipliće par 2, l'on auroit 2yy + 2by = 2aa + 2ax, où les termes où y se trouve, sont les mêmes que dans la premiere; c'est pourquoi si l'on met dans la premiere pour 2yy + 2by la valeur+2aa+2ax tirée de la seconde, après l'avoir multipliée par 2, l'on aura aa + 2ax + xx = 2a + 2ax+bb, qui se réduit à xx=aa+bb. Il en est ainsi des autrés.

3

27. On peut encore par le moyen de cet Axiome faire certains changemens dans une équation en faisant certaines suppositions. Par exemple, si l'on a x'= aab, en fupposant ay = xx ; & mettant cette valeur de xx dans l'équation x aab, l'on aura axy aab, ou xy= ab; en divisant toute l'équation par a.

=

=

De même, si l'on a xx=ax+bb, en supposant ac=bb, l'on aura xx=ax+ac; & fi l'on a xx=ax+ac, en supposant bb=ac, l'on aura xx = ax + bb. Ce qu'on appelle changer un rectangle en quarré, ou un quarré en rectangle. On a souvent besoin de faire ces changemens.

Pour ce qui reste à dire sur les équations : voyez l'Application de l'Algebre à la Geometrie, Section I. art. 2 & 3. On trouve dans les Ouvrages de plusieurs Sçavans Geometres un grand nombre de Theorêmes démontrez sur les raports, proportions, & progressions; mais il y manque la Méthode de les démontrer tous par le même principe, qui est ce qu'il y a de plus à desirer tant en cette occafion que dans toutes les autres parties des Mathematiques. On pourroit tirer de ce que nous avons dit, no. 18, 19,