20 & 21, une Méthode pour démontrer très-facilement toutes les proprietez des proportions, & des progressions tant arithmetiques que geometriques : mais elle n'est pas affez generale, & ne convient qu'aux grandeurs proportionnelles; c'est pourquoi je me suis déterminé à prendre une autre voye, qui convienne tout à la fois, non seulement aux grandeurs proportionnelles, mais encore à tous les Theorêmes que l'on se propose de démontrer par l'Al gebre dans toutes les parties des Mathematiques. Voici le principe. PRINCIPE. 28. APRE's avoir nommé les quantitez qui doivent entrer dans la question par des lettres, l'on écrira l'Hypothese en équation, & la consequence aussi en équation; & en suivant les trois Axiomes précedens, & leurs Corol. laires, on fera en sorte de rendre l'Hypothese semblable à la consequence, & alors le Theorême sera démontré. Et si les termes de l'équation qui renfermera la consequence, se trouvent entierement semblables; de forte que par la réduction, elle puisse devenir o = 0. Le Theorême sera aussi démontré : car les termes d'une équation ne scauroient être entierement semblables sans être égaux, & ne sçauroient se détruire sans être semblables. EXPLICATION DU PRINCIPE. 10. UN Theorême contient deux parties, l'Hypothese & la Consequence; l'Hypothese est ce que l'on y suppose; & la Consequence est la verité qu'il s'agit de démontrer. 20. Le principe demande qu'on écrive toujours l'Hypothese en équation. Souvent l'Hypothese renferme cette équation, ou une proportion qu'il est aisé de changer en équation : car si l'ona, a. b :: c. d, l'on aura (no. 11.) a-b a =c-d, fi la proportion est arithmetique, & ÷=÷ 6 d si la proportion est geometrique, puisque proportion n'est autre chose que l'égalité de deux raports, 4 30. Si l'Hypothese ne renferme ni équation ni proportion, on égalera les quantitez qu'elle renferme à d'autres lettres prises arbitrairement, & l'on aura par ce moyen des équations, comme on verra par les Exemples. 40. On tirera de l'Hypothese autant d'équations qu'on pourra : car cela ne peut que faciliter les moyens de rendre I'Hypothese semblable à la Consequence. 6 d Lorsqu'il s'agit de démontrer quelques proprietez touchant les grandeurs inégales, & touchant les raports inégaux, l'on exprimera l'Hypothese, & la consequence par le moyen du signe, ou 4, en cette forte a > ou <b> ou <, & on se servira de ces expressions, que l'on pourroit appeller inégaliter, comme si c'étoient des équations: car il est clair qu'on peut ajouter, soustraire, multiplier, & diviser les deux membres de ces inégalitez par une même quantité, ou par des quantitez égales, les combiner, comme on voudra avec des équations, les élever à des puissances, en extraire les racines; en un mot, on peut les traiter à la maniere des équations, pourvû qu'on ne les combine point ensemble, (si ce n'est par addition & par multiplication : car quoique 1 2 > 8 & 61, l'on a 12-6 <8-1& <) sans que le membre le plus grand cesse d'être le plus grand; de forte qu'on aura les mêmes moyens de rendre l'Hypothese semblable à la Consequence, ou la Consequence semblable à l'Hypothese, que si c'étoit des équations, & de démontrer par consequent toutes les proprietez des raports inégaux, de la même maniere que celle des rapports égaux. 5o. Il est quelquefois à propos & même necessaire, pour rendre plus facilement l'équation qui renferme l'Hypothese semblable à celle qui renferme la Consequence, de nommer les grandeurs proportionnelles, comme nous avons dit no. 19, 20, 21 & 22 ; & de nommer par les mê mes lettres les quantitez inégales qui ne font point proportionnelles, en caracterisant les unes par quelque signe, ou par quelque lettre qui fasse voir leur inégalité, Par exemple, si l'on veut démontrer quelque proprieté qui convienne à trois grandeurs differentes A, B, C; ayant nommé A, a, au lieu de nommer B, b; & C, c; on peut nommer B, ma, (m signifie multiple, ou foumultiple) ou a+p; & C, na (n signifie multiple, ou foumultiple, different de m), ou a +p+r, en se servant du signe+ou-, felon que les quantitez qu'on veut exprimer, sont moindres, ou plus grandes que celle qui est exprimée par la premiere lettre a. Ce qu'on dira dans la suite des raports & des proportions, se doit entendre des raports & proportions geometriques, à moins qu'on n'avertisse que c'est des raports & proportions arithmetiques qu'on veut parler. 29.SI quatre grandeurs a, b, c, d, sont en proportion geo metrique, metrique, le le produit produit des des extrèmes extr sera égal au produit des moyens. a 6 Il faut prouver que si a. b :: c. d, l'on aura ad = bc. L'on a par l'Hypothese a . b :: c.d; donc (no. II.) C =:or il eft clair (Axio. 1. Coroll. 4.) qu'en ôtant d les fractions, on aura ad= bc, qui est semblable à la Consequence. C. Q. F. D. 30. On prouvera de même que dans une proportion continue le produit des extrêmes est égal au quarré de la moyenne. Ainfsi si a. b :: b. c, l'on aura ac = bb. Ce Theorême fournit un autre moyen dont nous nous fervirons dans la suite, de changer une proportion en équation. COROLLAIRES. 1. IL fuit que connoissant trois des termes a, b, c, d'une proportion, on pourra toujours trouver le 4e que je nomme x: car puisque (Hyp.) a. b::c.x, l'on aura (no. 29.) ax = bc ; donc en divisant toute cette équation par a, bc l'on aura x = −, d'où l'on voit que la valeur de be divi a sée par la valeur de a, donnera celle de x. 2o. De même dans la proportion continue, connoissant les extrêmes a & b, on trouvera la moyenne que je nomme y; car puisque (Hyp.) a. y :: y. 6, l'on aura yy = ab; & partant (Axio. 2.) y=+√ab; c'est pourquoi la racine de la valeur de ab sera la valeur de y. Les valeurs negatives ne satisfont point aux Problêmes. On en expliquera l'usage ailleurs. THEOREME II. 31. LES racines des produits qui forment chaque membre d'une équation font reciproquement proportionnelles, c'est-àdire qu'en prenant les racines d'un des membres pour les extrèmes, & les racines de l'autre pour les moyens, ces quatre racines formeront une proportion. df. ab C Soit l'équation abc =dfg. Il faut prouver que ab. df :: g. c, ou afin que la consequence soit en équation car l'équation ne peut être vraye que la proportion ne le foit auffi. En divisant toute l'équation abc = dfg, par ge, l'on 1. ON N peut tirer de la même équation abc = dfg plusieurs autres proportions, & les démontrer de la même maniere, pourvû qu'on prenne les extrêmes dans un membre, & les moyens dans l'autre, & qu'on garde la Loi des Homogenes, c'est-à-dire que les termes de chaque raport ayent un pareil nombre de dimensions : par exemple, on en peut tirer a. d::fg.bc; b. f::dg.ac, &c. mais quoiqu'on le puisse, on n'en doit pas tirer a. df :: g. bc: car on compareroit des quantitez de differens genres, comme une ligne avec un plan. Il en est ainsi des autres. 2e. Il est clair qu'afin qu'une équation puisse être ré. duite en proportion, il faut que chaque membre soit le produit de deux quantitez qui se puisse séparer par la division; c'est pourquoi il est souvent necessaire de la changer d'état pour la réduire en proportion. Par exemple, on xx = ax + bb en ne peut réduire cette équation proportion dans l'état où elle est : car le second membre ne peut être divisé par aucune quantité: mais en transposant, l'on a xx - ax=bb, d'où l'on peut tirer x. b :: 6. x — a. De celle-ci xx = aa - bb, on peut tirer a - b . x :: x. a+b. De celle-ci xx=aa+bb, ou xx - aa=bb, on peut tirer x-a.b :: b.x+a. Mais pour changer celle-ci xx = aa be en proportion; il faut changer be en un quarré, ou aa en un rectangle dont un côté soit b, ou c; faisant donc, par exemple, bc=dd, l'on aura xx = aa tire ad. x :: x. a+d. Il en est ainsi des autres. dd, d'où l'on ab 35. Il suit aussi qu'un raport ou une fraction comme est un des termes d'une proportion, & renferme les trois autres: car faisant -=x, = x, l'on aura en multipliant par ab C ab c, ab=cx ; donc (no. 31.) c. a :: b. x, ou c. a :: b. en C C 4o. Il suit aussi des deux Theorêmes précedens que fi quatre grandeurs a, b, c, d, font proportionnelles, c'està-dire que a . b :: c. d, elles seront aussi proportionnelles dans les quatre variations suivantes. 1. a. c:: b. d, ce qu'on appelle, permutando. 2. b. a::d.c, ce qu'on appelle, invertendo. 3. a+b.b::c+d.d, ce qu'on appelle, componendo. 4. а-b. b :: с— d. d, ce qu'on appelle, dividendo. Car si les équations que l'on tirera (no. 29.) de ces quatre analogies font vrayes, les analogies le seront aussi. Or la premiere & la seconde analogie donnent ad=bc, la troisieme donne ad + bd = bc + bd, & la quatrième ad -bdbc-bd:mais l'Hypothese a.b:c.d, donne ad=bc, |