:

20 & 21, une Méthode pour démontrer très facilement

toutes les propriecez des proportions, & des progressions tane arithmetiques que geometriques : mais elle n'est pas assez generale , & ne convient qu'aux grandeurs proportionnelles; c'est pourquoi je me suis déterminé à prendre une autre voye; qui convienne tout à la fois, non seulement aux grandeurs proportionnelles, mais encore à tous les Theorêmes que l'on le propose de démontrer par l'Algebre dans toutes les parties des Mathematiques. Voici le principe.

PRINCIPE. 28. A Pre's avoir nommé les quantitez qui doivent entrer dans la question par des lettres, l'on écrira l'Hypothese en équation, & la consequence aussi en équation; & en suivant les trois Axiomes précedens, & leurs Corol. laires, on fera en sorte de rendre l'Hypothese semblable à la consequence, & alors le Theorême sera démontré. Et si les termes de l'équation qui renfermera la consequence, se trouvent entierement semblables ; de sorte que par la réduction, elle puisse devenir o=o. Le Theorême sera aussi démontré : car les termes d'une équation ne sçauroient être entierement semblables sans être égaux, & ne sçauroient se détruire sans être semblables.

EXPLICATION DU PRINCIPE. 10. UN Theorême contient deux parties, l'Hypothese & la Consequence; l'Hypothese est ce que l'on y suppose ; & la Consequence est la verité qu'il s'agit de démontrer.

20. Le principe demande qu’on écrive toujours l’Hypothese en équation. Souvent l'Hypothese renferme cette équation, ou une proportion qu'il est aisé de changer en équation: car si l'on a, a,b::c.d, l'on aura (no. 11.)a-b =r-d, fi la proportion est arithmetique, & ;= 2 si la proportion est geometrique, puisque proportion n'est autre chose que l'égalité de deux raports,

>

30. Si l'Hypothese ne renferme ni équation ni proportion, on égalera les quantitez qu'elle renferme à d'autres lettres priles arbitrairement, & l'on aura par ce moyen des équations, comme on verra par les Exemples.

40. On cirera de l'Hypothese autant d'équations qu'on pourra: car cela ne peut que faciliter les moyens de rendre I Hypothese semblable à la Consequence.

Lorsqu'il s'agit de démontrer quelques proprierez touchant les grandeurs inégales , & touchant les raports inégaux, l'on exprimera l'Hypothese, & la consequence par le moyen du signe >, ou <, en cette forte a > ou <b, --> ou <-,& on se servira de ces expressions, que l'on pourroit appeller inégaliter, comme si c'étoient des équations: car il est clair qu'on peut ajouter, soustraire, multiplier, & diviser les deux membres de ces inégalitez par une même quantité, ou par des quantitez égales, les combiner, comme on voudra avec des équations, les élever à des puissances, en extraire les racines; en un mot, on peut les traiter à la maniere des équations, pourvû qu'on ne les combine point ensemble, ( si ce n'est par addition & par multiplication : car quoique 12 > 8 & 6> 1, l'on a 12 — 6 38 — 1 &?? < ?) sans que le membre le plus

< grand cesse d'être le plus grand; de sorte qu'on aura les mêmes moyens de rendre l'Hypothese semblable à la Consequence , ou la Consequence semblable à l'Hypothese, que fi c'étoit des équations, & de démontrer par conse- : quent toutes les proprietez des raports inégaux, de la même maniere que celle des rapports égaux.

5o. Il est quelquefois à propos & même necessaire, pour rendre plus facilement l'équation qui renferme l'Hypothese semblable à celle qui renferme la Consequence, de nommer les grandeurs proportionnelles, comme nous avons dit no. 19, 20, 21 & 22 ; & de nommer par les mê. . mes lettres les quantirez inégales qui ne sont point proportionnelles, en caracterisant les unes par quelque signe, ou par quelque lettre qui fasse voir leur inégalité, Par

- I

12 CM

exemple , si l'on veut démontrer quelque proprieté qui convienne à trois grandeurs differentes A, B, C; ayant

C nommé A, a, au lieu de nommer B, 6; & C,c; on peut. nommer B, ma, (m signifie multiple, ou soumultiple ) ou a+p;& C, na (n signifie multiple, ou foúmultiple, different de m), ou a +p+r, en se servant du signe +ou selon que les quantitez qu'on veut exprimer, sont moindres, ou plus grandes que celle qui est exprimée par la premiere lettre a.

Ce qu'on dira dans la suite des raports & des proportions, le doit entendre des raports & proportions geometriques, à moins qu'on n'avertisse que c'est des raports & proportions arithmetiques qu'on veut parler.

Τ Η Ε Ο R Ε Μ Ε I. 29. SI quatre grandeurs a, b, c, d, font en proportion geometrique, le produit des extrêmes sera égal au produit des moyens.

Il faut prouver que si a. b::c.d, l'on aura ad=bc. L'on a par l'Hypothese a. b::c.d; donc ( no. 11.)

-: or il est clair ( Axio. 1. Coroll. 4.) qu'en ôtant les fractions, on aura ad=bc, qui est semblable à la Consequence. C. Q. F. D.

30. On prouvera de même que dans une proportion continue le produit des extrêmes est égal au quarré de la moyenne. Ainsi li a.b::b.c, l'on aura ac=bb.

. Ce Theorême fournit un autre moyen dont nous nous servirons dans la suite, de changer une proportion en équation.

COROLLA I R E S. 16. Il suit que connoissant trois des termes a, erIL

b, c, d'une proportion, on pourra toujours trouver le 4e que je nomme x: car puisque (Hyp.) a. b::c.x, l'on aura (no. 29.) ax = bc ; donc en divisant toute cette équation par a, l'on aura x =

d'où l'on voit que la valeur de bc divisée par la valeur de a, donnera celle de x.

a

d

X

bc

a

abi

A

31.

ab.df ::

ab

8

2'. De même dans la proportion continue, connoissant les extrêmes a & b, on trouvera la moyenne que je nomme y; car puisque ( Hyp.) a.y::y.b, l'on aura yy= & partant ( Axio. 2.)y=+Vab; c'est pourquoi la racine de la valeur de ab será la valeur de y. Les valeurs negatives ne satisfont point aux Problêmes. On en expliquera l'usage ailleurs.

Τ Η Ε Ο Α Ε Μ Ε II. Les racines des produits qui forment chaque membre d'une équation sont reciproquement proportionnelles, c'est-àdire qu'en prenant les racines d'un des membres pour les extrê. mes, a les racines de l'autre pour les

moyens , ces quatre racines formeront une proportion.

Soit l'équation abc=dfg. Il faut prouver que g.c, ou afin que la consequence soit en équation

df : car l'équation ne peut être vraye que la proportion ne le soit aussi. En divisant toute l'équation abc = dfg, par go,

l'on dfg

df ou ( art. 1. no. 37.)

, qui est sem. blable à la consequence, C. Q. F. D.

COROLLAIRES. jer ON ic. On peut tirer de la même équation abc = dfg plusieurs autres proporcions, & les démontrer de la même maniere, pourvû qu'on prenne les extrêmes dans un membre, & les moyens dans l'autre, & qu'on garde la Loi des Homogenes, c'est-à-dire que les termes de chaque raport ayent un pareil nombre de dimensions : par exemple, on en peut tirer a. d::f8:bc; b.f::dg.ac , &c. mais quoiqu'on le puisse, on n'en doit pas tirer a. df :: g. bc: car on compareroit des quantitez de differens genres, comme une ligne avec un plan. Il en est ainsi des autres.

2e. Il est clair qu'afin qu'une equation puisse être ré.

ab

abc aura

gc

g

:

8

=

-66

duite en proportion, il faut que chaque membré soit le produit de deux quantitez qui se puisse séparer par la division; c'est pourquoi il est souvent necessaire de la changer

d'état pour la réduire en proportion. Par exemple, on ne peut réduire cette équation xx = ax + bb en proportion dans l'état où elle est : car le second membre ne peut être divisé

par aucune quantité : mais en transposant , l'on a xx — ax=bb, d'où l'on peut tirer x.b:: 6.x- á. De celle-ci xx=aa_bb, on peut tirer a-b.xix.a+b. . De celle-ci xx=aa+bb, ou xx — aa=bb, on peut tirer

— = x-a.b:: b.x+å. Mais pour changer celle-ci xx=aa — bc en proportion ; il faut changer bc en un quarré, ou aa en un rečtangle dont un côté soit b, ou c; faisant donc, par exemple, bo=dd, l'on aura xx= aa — dd, d'où l'on tire a-d.x:: x.a+d. Il en est ainsi des autres.

3€. Il suic aussi qu'un raport ou une fraction comme est un des termes d'une proportion, & renferme les trois autres : car faisanc

l'on aura en multipliant par C, ab=0x; donc (no. 31.) c.a:: 6. x, ou c.a :: b.

ab

C

ab

ab

en

ab

remettant pour x sa valeur

44. Il suit aussi des deux Theorêmes précedens que fi quatre grandeurs a, b, c, d, font proportionnelles, c'està-dire que a. b:: 6. d, elles seront aussi proportionnelles dans les quatre variations suivantes.

1. a.c:: b.d, ce qu'on appelle , permutando.
2. b.a:: d.1, ce qu'on appelle, invertendo.
3. a +6.6::c+did, ce qu'on appelle, componendo.
4. a -6.6::c-d.d, ce qu'on appelle, dividendo.

Car fi les équations que l'on tirera (no: 29. ) de ces quatre analogies font vrayes, les analogies le feront aussi. 'Or la premiere & la seconde analogie donnent ad=bc, la troisiéme donne ad + bd=bc + bd, & la quatriéme ad bobd=bc-bd: mais l'Hypothese a.b:icod,donne ad=bc,

qui