Imágenes de páginas
PDF
EPUB

lettres dans l'application de l'Algebre à tous ses usages, c'est 10. qu'après avoir fait quelques-unes des operations dont on vient de parler sur les lettres, on en connoît non seulement le résultat, mais on connoît & on diftingue en même tems toutes les quantitez qu'il renferme; се qui n'est point de même dans les résultats des mêmes operations faites sur les nombres.

20. Que les quantitez inconnues entrent dans le calcul aussi-bien que les connues, & que l'on opere avec la même facilité sur les unes que sur les autres.

30. Que les Démonstrations que l'on fait par le calcul algebrique font generales, & qu'on ne sçauroit rien prouver par les nombres que par induction.

C'est précisément en ces trois choses que consiste le grand avantage qu'on tire du calcul algebrique dans son application à toutes les parties des Mathematiques, qu'on en démontre tous les Theorêmes, & qu'on en résout tous les Problêmes avec autant de facilité qu'il y auroit de difficulté à faire les mêmes choses selon la maniere des Anciens.

On s'est accoutumé à employer les premieres lettres de l'Alphabet a, b, c, d, &c. pour exprimer les quantitez connues, & les dernieres m, n, p, q r s t, u, X, Y, Z pour exprimer les inconnues.

1. Outre les lettres qu'on employe dans l'Algebre, il y a encore quelques autres signes qui servent pour marquer les operations que l'on fait sur les mêmes lettres. Ce figne +, signifie plus, & est la marque de l'Addition. Ainsi a+b, marque que b est ajoutée avec a.

Ce figne-, ,fignifie moins, & est la marque de la Soustraction. Ainsi a-b, marque que b est soustraite de a. Celui-ci x, fignifie fois, ou par, & eft la marque de la multiplication. Ainsi axb, marque que a & b, font multipliées l'une par l'autre.

On néglige très-fouvent ce signe, parcequ'on eft convenu que lorsque deux ou plufieurs lettres font jointes ensemble fans aucun figne qui sépare ces lettres, où les quantitez qu'elles expriment, sont multipliées, par exemple ab marque assez que a & b se multiplient : mais on s'en fert toujours pour marquer que deux quantitez exprimées par des lettres majuscules de l'Alphabet, se multiplient. Ainsi ABCD; marque que la grandeur exprimée par AB est multipliée par la grandeur exprimée par CD. On employe encore le signe de multiplication en d'autres occasions qu'on trouvera dans la suite.

Ce figne, signifie égal, & marque qu'il y a égalité entre les quantitez qui le précedent, & celles qui le suivent. Ainfi a=b marque que a est egale à b.

Celui-ci > fignifie plus grand. Ainsi a > b marque que a furpasse b.

Celui-ci signifie plus petit. Ainsi a < b, marque que a est moindre que b.

Celui-ci o fignifie infini. Ainfi x = ∞, marque que * est une quantité infiniment grande.

2. Les lettres de l'Alphabet font nommées quantitez algebriques, lorsqu'on les employe pour exprimer des grandeurs fur lesquelles on veut operer.

3. Les quantitez algebriques font nommées fimples, incomplexes ou monomes, lorsqu'elles ne font point liées ensemble par les fignes + & -; a, ab, &c. font des quantitez incomplexes.

4. Elles font nommées composées, ou complexes, ou polynomes, lorsqu'elles font liées ensemble par les signes +&-; a+b, ab+bb, ab + cd, b, font des quantitez complexes.

bc

d

5. Les parties des quantitez complexes diftinguées par les signes + & - font nommées termes. ab+bc-cd, eft une quantité complexe, qui renferme trois termes, ab, bc & cd. Il y a quelques remarques à faire sur le mot de terme qu'on trouvera ailleurs.

6. Les quantitez complexes qui n'ont que deux termes font nommées binomes; celles qui en ont trois, trinomes,

&c.

7. Les quantitez incomplexes qui sont précedées du figne +, ou plutôt qui ne font précedées d'aucun figne (car les quantitez incomplexes, & les premiers termes des quantitez complexes qui ne font précedées d'aucun figne font supposées être précedées du signe +) font nommées positives, & celles qui sont précedées du signe - négatives; d'où il suit que les quantitez complexes font positives, lorsque les termes qui ont le figne + furpassent ceux qui ont le signe -; négatives, lorsque les termes précedez du signe - furpassent ceux qui font précedez du signe+.

8. Les quantitez incomplexes, & les termes des quantitez complexes qui contiennent les mêmes lettres sont nommées semblables. 2abc & abc sont des quantitez incomplexes semblables; 3aab-2aab+4abb est une quantité complexe qui renferme deux termes semblables zaab &- 2aab; le troisiéme terme 4abb, n'a point de semblable. 9. Pour s'appercevoir plus facilement de la similitude des quantitez algebriques, il faut toujours écrire les premieres lettres de l'Alphabet les premieres, & les autres dans leur ordre, c'est-à-dire par exemple, qu'au lieu d'écrire bac, ou cab, il faut écrire abc.

10. Les nombres qui précedent les quantitez algebriques font nommez coefficiens.

Dans cette quantité aa + 3ab + 4bb, 3 & 4 sont les coefficiens des termes 3ab, & 466. L'on prend l'unité pour coefficient des quantitez qui ne sont précedées d'aucun nombre, & quoique l'on n'ait point accoutumé de l'écrire, on la doit neanmoins toujours supposer. Ainfi aa doit être régardée comme s'il y avoit raa.

REDUCTION

Des quantitez complexes algebriques à leurs plus
fimples expressions.

11.IL faut ajouter les coefficiens des termes semblables, lorsqu'ils ont le même signe + ou —, & donner à la fomme le même signe: & lorsqu'ils ont differens signes,

il faut soustraire les plus petits coefficiens des plus grands, & donner au reste le signe du plus grand. Ainsi zab+ 2ab étant réduite, devient sab; 4ac + 4ab — 6ab devient 4ac-2ab; 3a-sa devient-2a; 3abc-abc, ou 3abc-1abc, devient 2abc. Il en est ainsi des autres.

Dans tous les calculs algebriques, il ne faut jamais laisser de termes semblables sans être réduits.

ADDITION

Des quantitez algebriques incomplexes & complexes.

12. IL n'y a qu'à les écrire de suite, ou au-dessous les unes des autres avec leurs fignes, & réduire ensuite les termes semblables, & l'on aura la somme des quantitez qu'il falloit ajouter ensemble. Ainsi pour ajouter zab 4bc + scd avec 2ab - 3 cd, l'on écrira 3ab - 4bc + scd -3cd, qui se réduit à sab-4bc2cd. Pour ajouter sabc-4bcd avec sabd-8abc+ 6bcd, l'on écrira Sabc-4bcd+sabd-8abc+6bcd, qui se réduit à sabd -3abc+2bcd. Pour ajouter 6a-36 avec 2a+36, l'on écrira ba -36+2a+36, qui se réduit à 8a. Il en est ainsi des autres.

+ 2ab

SOUSTRACTION

Des quantitez algebriques incomplexes & complexes.

13. IL n'y a qu'à les écrire de suite, ou au-dessous l'une de l'autre en changeant tous les signes de celles qui doivent être soustraites; & l'on aura après la réduction des termes semblables, la difference des quantitez proposées.

Pour soustraire 3a-2b+3c de sa-36-50, l'on écrira sa-36-5c-3a+26-36, qui se réduit à 24b-8c. Pour soustraire 3ab - 2bc+2cd de sab-4bc+ + 2cd, l'on écrira sab-4bc2cd-3ab26c-2cd, qui se réduit à 2ab2bc. Il en est ainsi des autres.

MULTIPLICATION

Des quantitez algebriques incomplexes, & de leurs puissances.

14. ON est convenu que pour multiplier deux ou plusieurs lettres, il n'y a qu'à les écrire de suite sans aucun signe qui les sépare, & l'on aura le produit cherché. Ainfi pour multiplier a par b, l'on écrira ab. Pour multiplier ab par ac, l'on écrira aabc. Il en est ainsi des autres.

Il y a souvent des nombres, ou coefficiens qui précedent les quantitez algebriques qu'il s'agit de multiplier; il faut aussi avoir égard à leurs signes. Voici la regle qu'il faut suivre.

15. On multipliera les coefficiens, ensuite les lettres, & on donnera au produit le signe + fi les deux quantitez font précedées du même signe + ou -, & on lui donnera le signe, si l'une des quantitez eft précedée du figne + & l'autre du signe-.

X

2ab

=

[ocr errors]

Gaabb.

X

Pour multiplier za par 26, on dira trois fois deux font fix, a par b fait ou donne, ou est égal à ab; ainsi l'on aura bab pour le produit de 34 x 26. De même zab 3ab -2cd+6abcd. sab x cd, ou Icd = sabcd. aab x abb = aaabbb, ou asb : car lorsque la même lettre se trouve plus de deux fois dans un produit, on l'écrit seulement une fois, & l'on écrit à sa droite un caractere arithmetique qui exprime combien de fois cette lettre doit être écrite. Ainsi pour aaaa, l'on écrira a'; pour aaabbb, l'on a écrit a b'; on peut aussi pour aa écrire a; pour bb, b', &c.

DEFINITION.

:

16. LE caractere arithmetique qui marque combien de fois une lettre doit être écrite dans un produit, est nommé expofant. Ainsi dans a'b', 3 est l'exposant de a, & 4, celui de b; dans a'b, 3 est l'exposant de a, & 1 l'exposant de b: car quand une lettre est seule, ou qu'elle ne doit être écrite qu'une fois dans un produit, on doit supposer

« AnteriorContinuar »