Il faut prouver que a+c+d. b+d+e::a.b, ou, afin que la consequence soit en équation, que ab + bc +bd=ab+ad+ae, ou en ôtant de part & d'autre le terme ab qui se détruit par la réduction, bc+bd=ad+ae.

Les deux premiers raports égaux (Hyp.) donnent ad = bc, le premier & le troisième donnent ae=bd; donc (Axio. 1. Coroll. 1.) bc+bd=ad+ae. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

37. IL fuit de ce Theorême, que connoissant les deux premiers termes a & b, & le dernier c, d'une progression geometrique, on trouvera aisément la somme de tous les termes qui la composent: car nommant la somme des antecedens x ; la somme des confequens sera x - a + c. Or par ce Theorême, x. x-a+c :: a. b; donc (Theor. 1.) bx=ax-aa+ac; ou, en transposant, & en supposant ab, ax-bx=aa - ac ; d'où l'on tire. (Axio. 1. Cor. 5.)

Si ab, ou ce qui est la même chose, si la progression va en diminuant, & qu'on la suppose infinie, en faisant

aa

le dernier terme c = 0, l'on aura x = pour la va

a-b

leur de tous les termes de la progression: car le terme ac se détruit à cause de c = 0.

A

THEOREME VIII.

3o. LA plus grande a de deux quantitez inégales a & ba un plus grand rapport à une troisième grandeur e que la plus petite b; & la même grandeur c, a un plus grand raport à la plus petite b qu'à la plus grande a.

L'on a par l'Hyp. a b; donc (par le principe pré

par l'Hyp. a>b;

cedent, & ses explications)

donc (par 1
-> -, en divisant cha-

a

C

V!

C

:

a

que membre de cette inégalité par c. Ce qu'il faloit premierement démontrer.

L'on a encore (Hyp.) ab, donc en multipliant chaque membre de cette inégalité parc, & divisant chaque

membre par ab, l'on aura

C

C

ac

bc

>. Ce qu'il faloit en second lieu démontrer.

a

Nous avons supposé dans la Multiplication, & dans la Division, que + x +, & - ×| donnoit +; & que + - x + donnoit -. En voici la preuve, en supposant seulement que + x + donne +, dont personne ne doute.

- no '-x

39. Soit a

b à multiplier par + c. Je dis que le produit sera ac-bc: car ayant supposé a -b= p; l'on aura en transposant a = p + b, & multipliant cette équation par+c, l'on aura ac=pc + bc ; donc en transposant, ac

bc

=

pc; donc

40. Soit presentement a - b à multiplier par-c. Je dis

que le produit sera ac + bc : car ayant supposé a
=p, l'on aura en transposant a = p + b; donc en mul-
tipliant par-c, l'on aura (no.39.) -ac-pc-bc,
ou -ac+bc=-pc; donc a-bx-c-ac+bc.

diviseur par le quotient, doit donner le dividende, ce
qui n'arriveroit pas si le quotient étoit + b : car -ax+b
=-ab, qui n'est point le dividende. Au contraire
ax - b = + ab, qui est la quantité à diviser.

l'un & dans l'autre cas, le quotient doit être négatif, ce

que nous avons aussi suppose ailleurs.

REMARQUE.

1°. TOUT le Calcul algebrique est fondé fur les trois Axiomes précedens, & fur les quatre premiers Theorê

mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'usage de notre principe, & que par son moyen, on peut démontrer d'une maniere qui est toujours la même, toutes les proprietez des raports égaux, & inégaux, des proportions, & des progressions geometriques.

2°. L'on remarquera aussi qu'en suivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprietez des raports, proportions,& progressions arithmetiques.

3o. Que l'équation qui exprime la consequence ou la verité que l'on veut démontrer, peut toujours être délivrée de fractions, de signes radicaux, & réduite à ses plus simples termes, avant que de chercher à lui rendre semblable celle qui renferme l'Hypothese : car une équation étant vraye dans un état, elle le sera dans tous ceux qu'elle est capable de recevoir.

Il s'agit presentement d'ajouter, soustraire, multiplier, diviser, & extraire les racines des raports, ou fractions.

ADDITION, ET SOUSTRACTION.

43. POUR les ajouter, on les écrira de suite fans changer aucun signe; & pour les soustraire, on les écrira de suite en changeant les signes de celles qui doivent être soustraites, soit que leur dénominateur soit le même, ou non. On leur donnera ensuite un même dénominateur ; & après avoir réduit (art. 1. no. 11.) dans l'un & l'autre cas, les numerateurs semblables, on prendra pour la fomme, ou pour la difference, celles des deux exprefsions qui sera la plus simple.

ab

EXEMPLES.

ad

ab+ad

Pour ajouter avec l'on aura ab + ad. Pour ajou

ter

aab

a-zaabb++

aabb

+

د

-

C

avec

, C

ou après les avoir réduites en même déno

aab + a'bb - aab+
a-raabb+b+

at bb a+-2aabb+b

mination,
=(art. 1. no. II.)
qui est une expression plus simple que la premiere.
Pour soustraire
l'on écrira

ab c-d

ab
c-d

de

aa-bb

C

aa

bb

, ou, après leur avoir donné un même dénominateur

MULTIPLICATION.

44.ON multipliera les numerateurs, & ensuite les dénominateurs l'un par l'autre ; & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à son expression la plus simple.

bc

ac

bc

ac

Soit à multiplier par. Ayant suppose + = 1, &

b

=p,

La premiere supposition donne ac = bp, & la feconde, bc=dq; donc ( Axio. 1. Coroll. 1.) abcc = bdpq;

est appellé raport composé, ou raison composée ; & le produit

aa

bb

a

d'un raport, multiplié par lui-même, est appellé

b

raport doublé, ou raison doublée.

i

46. LE produit du numerateur du dividende parle dénominateur du diviseur sera le numerateur du quotient, & le produit du dénominateur du dividende par le numerateur du diviseur, sera le dénominateur du quotient. On. réduira ensuite le quotient à son expression la plus simple.

ab

ac

Soit proposé le raport - à divifer par. Ayant

ac

acb

=

b

q. Il faut prouver que

P

La premiere supposition donne ab = cp; la seconde,

ab

cp

ac=bq; donc (Axio. 1. Coroll. 1.) - = - ou, en mul

46

tipliant chaque membre par b, & divisant chaque membre

47. IL est clair par les regles de la multiplication des frations, que pour extraire leurs racines, il n'y a qu'à extraire celle du numerateur, & celle du dénominateur, & ces deux racines formeront une fraction, qui fera la

Les mêmes operations fur les fractions irrationnelles n'ont rien de particulier.