d'elles ; & confequemment ce poids K fera ici égal à cette force refultante du concours d'action de ces deux puiffances P, R, contre lui. Donc la direction de cette force venant d'être trouvée de A vers D fuivant AD, & celle du poids K étant (Hyp.) de D vers A fuivant la même DA ce poids & cette force, c'est-à-dire, ce poids & les deux puiffances P, R, du concours defquelles cette force refulte, demeureront ici (Ax. 3. & Corol. 1. du princ. gener.) en équilibre entr'eux. Ce qu'il falloit 6°. dé

montrer.

COROLLAIRE I.

En cas d'équilibre la part. 3. de ce Théoreme-ci donnant P. K:: AB. AD. Et K. R:: AD. AC. l'on aura ici (en raison ordonnée ) P. R:: AB. AC. comme dans la part. 4. c'est-à-dire, les puiffances P, R, entr'elles en raifon des côtez AB, AC, qui leur répondent fur leurs directions dans le parallelogramme ABDC. Par confequent fi d'un point quelconque L de fa diagonale AD prolongée, on mene LM, LN, perpendiculaires fur les directions AP, AR, de ces deux puiffances P, R; ces mêmes puiffances feront auffi entr'elles (Lem..8.) en raison reciproque de ces perpendiculaires : c'eft-à-dire, P. R:: LN.LM. Ce qui donnant PxLM RxLN, on voit qu'en cas d'équilibre entre les puiffances P, R, & le poids K, les produits de ces deux puiffances P,R, par les perpendiculaires LM, LN, menée de quelque point L que ce foit de la direction du poids K, font toûjours alors égaux

entr'eux.

COROLLAIRE II.

Mais en prenant AL pour le finus total, on fçait ( Déf. 9. Corol. 1.) que ces perpendiculaires LN, LM, font les finus des angles LAN, LAM. Donc auffi Corol. 1.) les puiffances P,R, font pareillement ici en raison reciproque des finus des angles LAM, LAN, que leurs directions AP, AR, y font avec celle AD du poids K ; & par con

y

fequent ( Déf. 9. Corol. 2.) ces mêmes puiffances P, R, font auffi entr'elles en raison reciproque des finus des angles PAX, RAX, complemens chacun de chacun de ces deux-là à deux droits ; c'eft-à-dire, que P eft ici à R, comme le finus de l'angle LAN au finus de l'angle LAM; ou P à R, comme le finus de l'angle RAX au finus de l'angle PAX.

COROLLARE HII.

Si pour nous exprimer plus aifément, on fuppofe une troifiéme puiffance appellée K à la place du poids de ce nom, laquelle fuivant la direction KX ou AD de ce poids, faffe comme lui équilibre avec les deux P, R, qui le foûtiennent ; on trouvera par le Lem.8. comme dans le Corol. 1.que ces trois puiffances P, R, K, prifes à volonté deux à deux, font toûjours entr'elles en raifon reciproque des perpendiculaires menées d'un point quelconque de la direction de la troifiéme fur les leurs ; c'est-à-dire, en raison reciproque des distances de leurs directions à quelque point que ce foit de celle de la troifiéme de ces puiffances; & confequemment (comme dans le Corol. 2.) que deux de ces trois puiffances prises ainfi à volonté, font toûjours entr'elles en raifon reciproque des finus des angles que leurs directions font avec celle de la troifiéme puiffance.

On ne trace point ici les perpendiculaires mentionnées dans le précedent Corol. 3. de peur d'embrouiller les Figures par la multiplicité des lignes, il eft aifé de les imaginer fur celles du Lem. 8.

COROLLAIRE IV.

De plus puifque (Corol. 1.) en ce cas d'équilibre P. R :: AB.AC. Et R.K:: AC. AD. les trois puiffances P, R,K, y feront toujours entr'elles en raifon des lignes AB, AC, AD, ou (à cause de BD=AC) en raison des côtez AB, BD, AD, du triangle ABD ; & confequemment auffi toûjours entr'elles ( Lem. 8. Corol. 2.) en raison des finus

des angles ADB, DAB, DBA, ou ( Déf. 9. Corol. 2.) des finus des angles DAR, DAP, PAR, ou bien auffi ( Lem. 8. Corol. 5.) des finus des angles RAX, PAX, PAR, complemens chacun de chacun de ceux-là à deux droits; c'est-à-dire, que ces trois puiffances P, R, K, feront toujours ici entr'elles en raifon des finus des angles RAX, PAX, PAR, que leurs directions prolongées traverferoient, ou traverfent en effet.

COROLLA FRE V.

D'où l'on voit que de ces trois puiffances P, R, K, fuppofées en équilibre entr'elles, de quelque maniere qu'on les prenne, & quelques angles que leurs directions faffent entr'elles, chacune fera toûjours à chacune des deux autres, comme le finus de l'angle que font entreelles les cordes ou directions de ces deux autres puillances, fera à chacun des finus des angles que ces directions reciproquement prifes font avec la fienne, qui (part. 1.) fe trouve toujours dans le concours de ces deux-là, & dans leur plan: par exemple, K fera à P, comme le finus de l'angle PAR au finus de l'angle RAX, ou RAD; K fera à R, comme le finus du même angle PAR au finus de l'angle PAX ou PAD; & conformément au Corol. 2. P fera à R, comme le finus de l'angle RAX ou RAD, au finus de l'angle PAX ou PAD.

COROLLAIRE VI

Si l'on imagine prefentement un autre triangle ILM de trois côtez LM, LI, MI, perpendiculaires en M, N, O, aux trois directions ou cordons prolongez AP, AR, AX, de ces trois puiffances, P, R,K;le Corol. 8. du Lem. 8. fait voir que ces trois côtez LM, LI, MI, du triangle ILM, feront entr'eux comme les finus des angles RAX, PAX, PAR, que traverferoient, ou que traverfent en effet les directions prolongées, aufquelles ils font (Hyp.) perpendiculaires. Donc (Corol. 4.) ces trois côtez LM, LÌ, MI, de ce nouveau triangle ILM, feront

auffi entr'eux comme les trois puiffances P, R, K, aux directions defquelles ils font perpendiculaires. Par confequent en ce cas d'équilibre,

1o. Chacune de ces trois puiffances P, R, K, doit toûjours être plus petite que la fomme des deux autres.

2. Lorfque l'angle PAR devient infiniment aigu, c'est-à-dire (Lem. 6. Corol. 1.) lorfque les directions PG, RH, des puiffances P, R, fe trouvent paralleles entreelles, & confequemment auffi (Lem. 6. Corol. 1.) paralleles à la direction AX de la puiffance K, les angles PAD, RAD, fe trouvant auffi pour lors infiniment aigus ; alors le complement MLI (à deux droits) de l'angle PAR, fe trouvant (Corol. Déf. 11.) infiniment obtus, c'est-à-dire (Déf. 11.) ML, LI, en ligne droite, & confequemment la droite MI confondue avec elles, & égale à leur fomme; la puiffance Kdoit auffi pour lors être égale à la fomme des deux autres puiffances P, R, toûjours entr'elles, comme LM eft à LI.

3o. Si l'angle PAR devenoit infiniment obtus, alors fon complement MLI à deux droits fe trouvant (Déf. 1 1. Corol. ) infiniment aigu ; & confequemment (Lem. 6. Corol 3.) LM, LI, confondues ensemble, fans que MI, toûjours (Hyp.) perpendiculaire à AX prolongée, puiffe fe confondre avec elles ; l'on aura pour lors MI=o, & (Lem. 6. Corol. 3.) LM-LI: ainfi la puiffance K fera pareillement alors tout-à-fait anéantie ou nulle, & les deux autres puiffances P, R, égales entr'elles.

4°. Donc quelles que foient deux puiffances P, R, appliquées aux extrêmitez d'une corde parfaitement flexible, & quelque petite que puiffe être la pefanteur de cette corde, ou du poids K fuppofé au lieu de la pefanteur de cette même corde, & de direction qui faffe un angle avec celles des puiffances; jamais ces deux puiffances P, R, ne pourront bander cette corde en ligne droite, à moins qu'elles ne foient infinies par rapport à la pefanteur de cette corde, ou au poids K fuppofé à la place de cette pefanteur, fi l'on fuppofe cette corde n'en point avoir,

comme on l'a fuppofé jufqu'ici; puisque pour la bander en ligne droite, cette pefanteur, ou ce poids K doit être nul (nomb. 3.) par rapport aux puiffances P, R, qui ap-pliquées l'une contre l'autre, la banderoient ainfi.

COROLLA IRE. VI.

Il fuit pareillement des Corol. 4. 6. que fi l'on fait féparément un triangle qui ait fes trois côtez paralleles ou perpendiculaires aux directions des trois puiflances P, R, K, chacun à chacune de ces directions; ces trois côtez de ce nouveau triangle feront encore entr'eux en raison de ces trois puiffances P, R, K, aux directions defquelles ils feront (Hyp.) tous trois paralleles ou perpendiculaires chacun à chacune; puifque ce nouveau triangle fera pour lors femblable à celui ABD du Corol. 4. ou à celui MLI.du Corol. 6. felon que les trois côtez feront paralleles ou perpendiculaires aux trois directions AP, AR, AX, des trois puiffances P,R, K, proportionnelles (Corol. 4. 6.) aux trois côtez correfpondans de chacun de ces deux-ci ABD, MLI.

COROLLAIRE VIII.

Puifqu'en cas d'équilibre entre les puiffances P, R, K, ces trois puiffances font entr'elles (Corol. 4. 6. 7.) comme les côtez AB, BD, AD, du triangle ABD du Corol. 4. & comme les correfpondans de chacun des triangles des Corol. 6. 7. il eft vifible, que puifque chaque côté d'un triangle eft toûjours plus petit que la fomme des deux autres, de quelque maniere qu'on prenne ces trois puif-fances, chacune d'elle fera auffi toujours plus petite que la fomme des deux autres, tant que leurs directions feront angles entr'elles, ainfi qu'on l'a déja vû dans le nomb. 1. du Corol. 6.

COROLLAIRE IX.

En ce cas d'équilibre non feulement chacune des trois puiflances P, R, K, eit toûjours moindre (Corol. 8:) que

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