COROLLAIRE X...

Lorfqu'une des deux puiffances, comme R dans la Fig. 3. tire de bas en haut contre le poids K, pendant que l'autre P tire horisontalement, c'est-à-dire ( Déf. 14.) perpendiculairement à la direction XD de ce poids fuppofé en équilibre avec ces deux puiffances;

1o. Ce cas rendant AEo, en ce que lá perpendiculaire BE fur la diagonale AD tomberoit alors en A, la puiffance P n'auroit point ici de force verticale E, ni pour ni contre le poids K fuivant fa direction KX. Cela fuit auffi de ce que le Corol. 1. donnant en general E. F::CF. FQ. le cas prefent, qui rend FQ infinie, & conconfequemment FĈ nulle par rapport à elle, rendron auffi É nulle par rapport à È, c'est-à-dire, E=o, la force verticale F de la puiilance R étant finie.

2o. Cela étant, la puiffance P ne foûtiendroit ici rien Lem. 3. Corol. 2: nomb. 1.) de la pefanteur du poids K: elle n'y ferviroit qu'à foûtenir l'effort horifontal (Len. 3. Corol. 2.nomb. 1. 2.) de la puiffance R, auquel cette puiffance P directement oppofée, & en équilibre avec lui, feroit (Lem. 3. Corol. z. nomb. 3.) égale.

3o. L'effort vertical F de la puiffance R, qui doit ici tirer de bas en haut, y foûtiendroit donc feul la pefanteur du poids K; & confequemment ( Lem. 3. Corol. 2. nomb. 3.) il lui feroit égal. Ce qui fuit auffi de ce que la part. 1. du Lem. 3. donnant F. R:: AF. AC. Et le Corol 6. donnant R.K:: AC. AD. l'on auroit ici ( en raifon ordonnée) F. K:: AF. AD. de forte que la conftruction donnant ici AF AD, l'on y auroit auffi FK, ainfi qu'on

le vient de voir.

4°. Ayant ici AF AD, les puiffances P, R, y feront au poids K (Corol. 8:) comme leurs proportionnelles AB, AC, à la fublimité AF de la feconde R de ces deux puiffances..

SCHOLI E.

I. Des deux forces, l'une verticale, & l'autre horifon F16.52. 53. tale, dont eft compofée (Lem. 2. Corol. 2.) l'oblique de 54. 55. 56. chacune des puiffances P, R, voilà jufqu'ici l'ufage de la premiere, c'est-à-dire, de la force verticale de chacune de ces deux puiffances, lequel ufage confifte en ce que cette force verticale eft employée totite entiere contre ou pour le poids K fuivant fa direction, felon que la puifTance qui l'employe, tire de bas en haut, ou de haut en bas ; de forte que les forces horifontales fuivant AS, AV, des puiffances P, R, ne faifant ni pour ni contre la pefanteur du poids K, tout ce qui reite d'action à ces deux puiflances pour foûtenir ce poids, confifte dans la fomme ou dans la difference de leurs forces verticales fuivant AE, AF, felon que ces mêmes puiffances obliques tirent toutes deux de bas en haut, ou l'une de bas en haut plus fort que l'autre de haut en bas : & comme cette fomine ou difference de forces verticales eft ( Déf. 14. ) directement oppofée à la pefanteur du poids K, l'égalité de cette pefanteur du poids K avec cette fomme de forces verticales des puiffances P, R, dans le premier cas, ou avec la difference de ces mêmes forces verticales dans le fecond, doit mettre ( Ax. 3.) ce poids K en équilibre avec ces deux puiffances P, R; & reciproquement s'il y a équilibre entre lui & elle, l'une ou l'autre de ces deux égalitez doit (Ax. 4.) s'y trouver. Tel eft l'ufage qu'on vient de voir des forces verticales fuivant AE, AF, des puiffances P, R, dans la démonftration du prefent Th. 2. &dans fes Corollai es:

II. Pour ce qui eft des forces horisontales de ces mê→ mes puiffances P, R, fi dans le plan PAR de leurs dire-ctions, par leur concours A, on fait SV horifontale, c'est-à-dire (Déf. 14.) perpendiculaire à la direction XD du poids K, laquelle horifontale foit rencontrée en S,V, par B, CV, paralleles à cette direction XD; on verra ainfi que dans la démonstration de la part. 3.du Lem. 3.)

FIG. 58.

59.

2

ni con

que les forces horisontales fuivant AS, AV, des puiffan-
ces obliques P, R, font directement oppofées & égales
entr'elles de forte que n'ayant rien ni pour
tre le poids K, ne tendant ni à le faire defcendre, ni à le
faire monter; tout leur emploi & tout leur ufage eft de
s'empêcher mutuellement par leur égalité & leur directe
contrarieté de le mouvoir à droit ni à gauche, ainfi qu'on
vient de voir (art. 1.) que l'égalité & l'oppofition directe
de la pefanteur de ce poids avec la fomme ou avec la dif-
ference des forces verticales de ces mêmes puiffances
obliques P, R, empêche ce poids de monter ni descendre.
C'eft par ce double empêchement d'aller ni à droit ni à
gauche, de monter ni defcendre, que fe fait le repos &
le parfait équilibre de ce poids K avec ces deux puiffan-
ces P, R.

DEFINITION XVII.

Si d'un angle quelconque E d'un triangle rectiligne auffi quelconque BEC, fur le milieu H de fon côté oppofé BC, on mene dans la Fig. 58. une ligne droite EH, laquelle foit divifée de maniere que EA foit double de AH; ce point A s'appelle d'ordinaire le centre de gravité de ce triangle. Et fi dans la Fig. 59. la droite FA menée du fommet F d'une pyramide BECF à ce centre de gravité A de fa bafe BEC, eft divifée en G, de maniere que FG foit triple de AG; ce point G s'appelle ordinairement auffi le centre de gravité de cette pyramide.

Nous parlerons ici le même langage, fans cependant nous mettre encore en peine fi la proprieté qu'on attribue à ces deux points A, G, d'etre tels (Déf. 14.) qu'en quelque fituation que le triangle BEC feul, foit appuyé fur le premier A de ces points, & la pyramide BECF jur le fecond G, ces deux figures y demeureront toujours en équilibre chacune par la feule pefanteur uniforme dans toutes fes parties, d'autres proprietez de ces points A, G, par rapport à cette Section-ci, nous ¡engagent à en parler, & confequemment à leur donner des noms, ceux-là en valent bien d'autres.

THEOREME III.

I. Si trois puissances P, R, K, appliquées à des cordes feu- F 16.58; lement, font en équilibre entr'elles, leurs directions ou cordes PB, RC, KE, prolongées, fe rencontreront dans le centre de gravité d'un triangle rectiligne, par les trois angles duquel elles pafferont.

II. Ces cordes ou directions prolongées auront leurs parties. comprifes entre ce centre de gravité & ces angles, en raifon de ces mémes puiffances.

III. Reciproquement trois puiffances P, R, K, étant appliquées à trois cordes AP, AR, AK, qui paffent par les trois angles B, C, E, d'un triangle rectiligne quelconque BEC, au centre A de gravité duquel foit le naud qui retient ces trois cordes attachées enfemble; ces trois puissances P, R, K, fe foûtiendront mutuellement en équilibre en cet état (de leurs cordes) fi elles font entr'elles comme les diftances AB, AC, AE, de ce centre A, aux angles B, C, E, par où l'on fuppofe que leurs directions paffent.

DEMONSTRATION.

PART. I. Puifque (Hyp.) les trois puiffances P, R, K, font ici en équilibre entr'elles fuivant des directions differentes, la part. 1. du Th. 1. fait voir que leurs cordes PB, RC, KË, feront en même plan, & que prolongées elles s'y rencontreront toutes trois en un même point quelconque A. Cela étant, fur une d'elles, par exemple, fur KA prolongée foit prife AD à volonté, fur laquelle, comme diagonale, foit fait le parallelogramme ABDC, dont les côtez AB, AC, foient fur les deux autres directions AP, AR. Cela fait, fi l'on prend AE AD für AK, & qu'on mene les droites BC, BE, CE, dont la premiere BC, rencontre AD en H; l'on aura 2×AH AD (conftr.) AE. Donc ( Def. 17.) le point A eft le centre de gravité du triangle BEC. Par confequent les dire-tions ou cordes prolongées PB, RC, KE, fe rencontreront toutes trois dans le centre de gravité A d'un triangle

rectiligne BEC, par les angles B, C, E, duquel elles paffe ront. Ce qu'il falloit 1°. demontrer.

PART. II. En ce cas d'équilibre entre les trois puiffançes P, R, K, la part. 3. du Th. 1. fait voir qu'elles font entr'elles comme les lignes AB, AC, AD. Mais (conftr.) AE=AD. Donc ces trois puiffances P, R, K, font auffi entr'elles comme les parties AB, AC, AE, de leurs directions, comprifes entre le point A (part. 1.) centre de gravité du triangle BEC, & les angles B, C, E, de ce triangle, par lefquelles ces directions paffent: c'eft-à-dire, comme les distances de ce centre de gravité A à ces angles B, C, E. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

PART. III. Sur KA prolongée vers D foit prife AD= AE, laquelle rencontre en H le côté BC du triangle fuppofé BEC. Le point A étant ( Hyp.) le centre de gravité de ce triangle, l'on aura ( Déf. 16.) BH=HC, & AH=

AE (conftr.) AD, & confequemment_AH=HD. Donc en menant les droites BD, DC, le quadrilatere ABDC fera un parallelogramme qui aura fa diagonale AD à fes côtez AB, AC, comme AE eft à ces mêmes côtez. Mais (Hyp.) AE eft ici à ces côtez AB, AC, comme la puiffance K eft aux puiffances P, R. Donc ce parallelogramme ABDC aura pareillement ici fa diagonale AD à les côtez AB, AC, en raifon de la puiffance K aux deux autres P, R. Donc (Th. 1.part. 5.) ces trois puiffances K, P, R, feront ici en équilibre entr'elles. Ce qu'il falloit 3°. démontrer

COROLLAIRE.

Cette part, 3. jointe au Corol. 4. du Th. 1. fait voir en Géométrie que les diftances AB, AC, AE, du centre de gravité A d'un triangle rectiligne quelconque BEC à fes angles B, C, E, font toujours entr'elles comme les finus des angles EAC, EAB, BAC, que prolongées elles traverferoient: puifque trois puillances P, R, K, en raifon de ces trois distances AB, AC, AE, & appliquées cha

cune