teur du poids en fa faveur fuivant une même directions AX, contre la feule force verticale E de la puiffance P, qui par fon action en fens contraire fuivant cette même direction, les foutient feule toutes deux en équilibre ; cette force verticale E, qui foutient ainfi feule ces deuxlà réunies contr'elle en fens directement contraire au fien, doit ( Lem. 3. Corol. 2. nomb. 3.) en égaler la fomme, & être E=F➡K, ou E-F-K. Mais le prefent Th. 2. donnant E. F:: AE. AF. donne confequemment E. E—F :: AE. AF-AF. Donc E.K:: AE. AE-AF. Mais la part. 1. du Lem. 3. donne P. E :: AB. AE. Donc (en raifon ordonnée) P. K:: AB. AE-AF. on trouvera de même R.. K:: AC. AE—AF. Mais les triangles (conftr.) femblables BAE, CDF, ayant AB DČ, ont auffi AE=DF.. Donc P. K:: AB. DF-AF:: AB. AD. Et R. K:: AC. DE -AF:: AC. AD.

COROLLAIRE. VII.

FIG. 52.

Les Corol. 4. 6. donnant P. K :: AB. AD. Et R. K:: 54.55.56. AC. AD. dans tous les cas imaginables d'équilibre entre deux puiffances P, R, avec des cordes feulement; chacune des puiffances P, R, fera toujours au poids K en équilibre Hyp.) avec elles, comme chacun des côtez AB, AC, du parallelogramme ABDC, pris fur leurs directions, fera à la diagonale AD de ce parallelogramme,prife fur la direction de ce poids, ainsi qu'on l'a déja vû dans les part. 3. 4. du Th. 1. Et de-là fuit encore tout ce qu'on a tiré des Corollaires de ces part. 3.4. du Th. 1.

COROLLAIRE VIII.

Donc, puifque (Corol. 4.) AD=AEAF, lorfque les puiffances P, R, tirent toutes deux de bas en haut contre le poids K, comme dans les Fig. 52. 53. 55. 56. & ( Corol. 6.) AD=AE-AF, lorfqu'une de ces puiffances, comme P dans la Fig. 54. tire de bas en haut contre ce poids, & l'autre R de haut en bas en fa faveur ; ces deux puiffances P, R feront (Corol. 7.) à ce poids K, comme

leurs proportionnelles AB, AC, à la fomme AF-AF de leurs fublimitez dans le premier cas, & comme leurs proportionnelles à la difference AE-AF, dont la sublimité de l'une furpasse la profondeur de l'autre dans le second.

COROLLAIRE IX.

Si les cordes GP, HR, des puiffances P, R, étoient paralleles entr'elles, & confequemment auffi (Theor. I. part. 1.) toutes deux paralleles à la direction XD du poids K en équilibre (Hyp.) avec elles ; leurs fublimitez AE, AF, dans les Fig. 52. 55. 56. où la fublimité AE de P, & la profondeur AF de R dans la Fig. 54. fe confondant alors avec leurs proportionnelles AB, AC.

1o. Le poids K feroit (Corol. 8.) à chacune de ces deux puiflances P, R, comme la fomme ou la difference de leurs proportionnelles feroit à chacune de ces mêmes proportionnelles correfpondantes: fçavoir, comme la fomme ABAC, lorfque ces puiffances tirent toutes deux de bas en haut ; & comme la difference ABAC, lorfqu'une d'elles tire de bas en haut, & l'autre de haut en bas. D'où il fuit que dans ce cas de directions paralleles de deux puiffances, & d'un poids en équilibre avec elles, ce poids fera toujours égal à la fomme ou à la difference de ces deux puiffances, ainsi qu'on l'a déja vû dans le Corol. II.

2°. Lorfque ces puiffances P, R, tirent toutes deux de bas en haut, les parties du poids K, qu'elles foûtiennent chacune pour fa part, font entr'elles (Corol. 2. nomb. 1.) comme les proportionnelles de ces puiffances; & chacune de pefanteur égale ( Corol. 4.) à chacune de ces puiffances. Ce qui fuit encore immediatement de l'Ax. 4.

Voilà (Corol. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.) pour ce qui concerne tous les cas dans lefquels les puiffances P, R, tirent toutes deux de bas en haut, ou une de bas en haut, & l'autre de haut en basi voici prefentement pour le cas où une de ces puissances tire debas en haut, & l'autre horisontalement.

F.1 0.53.

COROLLAIRE X.

Lorfqu'une des deux puiffances, comme R dans la Fig. 53. tire de bas en haut contre le poids K, pendant que l'autre P tire horisontalement, c'est-à-dire ( Déf. 14) perpendiculairement à la direction XD de ce poids fuppofé en équilibre avec ces deux puiffances;

>

1o. Ce cas rendant AEo, en ce que lá perpendiculaire BE fur la diagonale AD tomberoit alors en A, la puiffance P n'auroit point ici de force verticale E ni pour ni contre le poids K fuivant fa direction KX. Cela fuit auffi de ce que le Corol. 1. donnant en general E. F::CF. FQ. le cas prefent, qui rend FQ infinie, & conconfequemment FĈ nulle par rapport à elle, à elle, rendroit auffi E nulle par rapport à F, c'est-à-dire, E=o, la force verticale Fde la puillance R étant finie.

2o. Cela étant, la puiffance P ne foûtiendroit ici rien Lem. 3. Corol. 2. nomb. 1.) de la pefanteur du poids K: elle n'y ferviroit qu'à foûtenir l'effort horifontal ( Lem. Corol. 2.nomb. 1. 2.) de la puiffance R, auquel cette puiffance P directement oppofée, & en équilibre avec lui, feroit (Lem. 3. Corol. z. nomb. 3.) égale.

3.

3°. L'effort vertical F de la puiffance R, qui doit ici tirer de bas en haut, y foûtiendroit donc feul la pefanteur du poids K; & confequemment ( Lem. 3. Corol. 2. nomb. 3.) il lui feroit égal. Ce qui fuit auffi de ce que la part. 1. du Lem. 3. donnant F. R :: AF. AC. Et le Corol 6. donnant R.K:: AC. AD. l'on auroit ici ( en raifon ordonnée) F. K:: AF. AD. de forte que la conftruction donnant ici AF AD, l'on y auroit auffi FK, ainsi qu'on le vient de voir.

4°. Ayant ici AF-AD, les puiffances P, R, y feront au poids K (Corol. 8:) comme leurs proportionnelles AB, AC, à la fublimité AF de la feconde R de ces deux puiffances.

SCHOLI E.

I. Des deux forces, l'une verticale, & l'autre horifon FIG. 52. 53. tale, dont eft compofée ( Lem. 2. Corol. 2.) l'oblique de 54. 55. 56. chacune des puiffances P, R, voilà jufqu'ici l'ufage de la premiere, c'est-à-dire, de la force verticale de chacune de ces deux puiffances, lequel ufage confifte en ce que cette force verticale eft employée toute entiere contre ou pour le poids K fuivant fa direction, felon que la puiffance qui l'employe, tire de bas en haut, ou de haut en bas ; de forte que les forces horifontales fuivant AS, AV, des puiffances P, R, ne faifant ni pour ni contre la pefanteur du poids K, tout ce qui reite d'action à ces deux puiffances pour foûtenir ce poids, confifte dans la fomme ou dans la difference de leurs forces verticales fuivant AE, AF, felon que ces mêmes puiflances obliques tirent toutes deux de bas en haut, ou l'une de bas en haut plus fort que l'autre de haut en bas : & comme cette fomine ou difference de forces verticales eft ( Déf. 14.) directement oppofée à la pefanteur du poids K, l'égalité de cette pefanteur du poids K avec cette fomme de forces verticales des puiffances P, R, dans le premier cas, ou avec la difference de ces mêmes forces verticales dans le fecond, doit mettre ( Ax. 3.) ce poids K en équilibre avec ces deux puiffances P, R; & reciproquement s'il y a équilibre entre lui & elle, l'une ou l'autre de ces deux égalitez doit ( Ax. 4.) s'y trouver. Tel eft l'ufage qu'on viene de voir des forces verticales fuivant AE, AF, des puiffances P, R, dans la démonftration du prefent Th. 2. &dans fes Corollai es: ·

Єtions

par

II. Pour ce qui eft des forces horisontales de ces mêmes puiffances P, R, fi dans le plan PAR de leurs direleur concours A, on fait SV horisontale, c'est-à-dire (Déf. 14.) perpendiculaire à la direction XD du poids K, laquelle horifontale foit rencontrée en S, V3‚· par B, CV, paralleles à cette direction XD; on verra ainfi que dans la démonftration de la part. 3.du Lem. 3.) - }

FIG. 48. .59.

ni con

.que
les forces horisontales fuivant AS, AV, des puiffan-
ces obliques P, R, font directement oppofées & égales
entr'elles de forte que n'ayant rien ni pour
tre le poids K, ne tendant ni à le faire defcendre, ni à le
faire monter; tout leur emploi & tout leur ufage eft de
s'empêcher mutuellement par leur égalité & leur directe
contrarieté de le mouvoir à droit ni à gauche, ainsi qu'on
vient de voir (art. 1.) que l'égalité & l'oppofition directe
de la pefanteur de ce poids avec la fomme ou avec la dif-
ference des forces verticales de ces mêmes puiffances
obliques P, R, empêche ce poids de monter ni defcendre.
C'eft par ce double empêchement d'aller ni à droit ni à
gauche, de monter ni defcendre, que fe fait le repos &
le parfait équilibre de ce poids K avec ces deux puiffan-
ces P, R.

DEFINITION XV II.

Si d'un angle quelconque E d'un triangle rectiligne auffi quelconque BEC, fur le milieu H de fon côté oppofé BC, on mene dans la Fig. 58. une ligne droite ÊH, laquelle foit divifée de maniere que EA foit double de AH; ce point A s'appelle d'ordinaire le centre de gravité de ce triangle. Et fi dans la Fig. 59. la droite FA menée du fommet F d'une pyramide BECF à ce centre de gravité A de fa base BEC, est divifée en G, de maniere que FG foit triple de AG; ce point G s'appelle ordinairement auffi le centre de gravité de cette pyramide.

Nous parlerons ici le méme langage, fans cependant nous mettre encore en peine fi la proprieté qu'on attribue à ces deux points A, G, d'etre tels (Déf. 14.) qu'en quelque fituation que le triangle BEC feul, foit appuyé fur le premier 4 de ces points, & la pyramide BECF jur le fecond G, ces deux figures y demeureront toûjours en équilibre chacune par la feule pefanteur uniforme dans toutes fes parties, d'autres proprietez de ces points A, G, par rapport à cette Section-ci, nous engagent à en parler, & confequemment à leur donner des noms, ceux-là en valent bien d'autres.

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