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COROLLAIRE X. Lorsqu'une des deux puissances, comme R dans la Fig: 53. tiré de bas en haut contre le poids K, pendant que l'autre P tire horisontalement, c'est-à-dire ( Déf. 14:) perpendiculairement à la direction XD de ce poids supposé en équilibre avec ces deux puissances ;

1°. Ce cas rendant AE=0, en ce que li perpendiculaire BE sur la diagonale AD tomberóit alors en A, la puissance P n'auroit point ici de force verticale E, ni pour ni contre le poids K suivant fa direction KX. Cela fuit auff de ce que le Corol. 1. donnant en general E. F::CF. FQ. le cas present , qui rend FQ_infinie, & conconsequemment FC nulle par rapport à elle , rendroit ausli Ê nulle par rapport à Ê, c'est-à-dire, E=o; la force verticale Fde la puiilance R étant finie.

2°. Cela étant , la puissance P ne soùciendroit ici rien (Lem. 3. Corol. 2: nomb. 1.) de la pesanteur du poids K: elle n'y serviroit qu'à soutenir l'effort horisontal ( Lem. 3. Corol

. 2.nomb. 1. 2.) de la puissance R, auquel cette puissance P directement opposée , & en équilibre avec lui, seroit ( Lem. 3. Corol. z: nomb. 3.) égale.

3o. L'effort vertical F de la puissance R , qui doit ici cirer de bas en haut , y loûtiendroit donc feul la pesanteur du poids K; & consequemment ( Lem. 3. Corol. 2. nomb. 3. ) il lui seroit égal. Ce qui fuit aufli de ce que la part: 1. du Lem. 3. donnant F. R :: AF. AC. Et le CoroL 6. donnant R.K:: AC. AD. l'on auroit ici ( en raison or. donnée ) F. K::AF. AD. de sorte que la construction donnant ici AF=AD, l'on y auroit aussi F=K, ainsi qu'on le vient de voir.

4o. Ayant ici AF=AD , les puissances P,R , y seront au poids K ( Corol. 8:) comme leurs proportionnelles AB, AC, à la subliinité AF de la seconde R de ces deux puisfancesi,

la puis

SCHOLIE. s. Des deux forces, l'une verticale , & l'autre horison: 510.52.53 tale, dont est composée ( Lem. 2. Corol. 2:) l'oblique de 5498.86 chacune des puissances P, R, voilà jusqu'ici l'usage de la premiere, c'est-à-dire, de la force verticale de chacune de ces deux puissances , lequel usage consiste en ce que cette force verticale est employée toute entiere contre ou pour le poids K suivant sa direction, selon

que lance qui l'employe, tire de bas en haut, ou de haut er bas ; de forte que les forces horisontales suivant AS, AV, des puissances P, R., ne faisant ni pour ni contre la pefanteur du poids K , tout ce qui relte d'action à ces deux. puissances pour foûtenir ce poids

, confiste dans la somme ou dans la difference de leurs forces verticales suivant AE, AF, selon que ces mêmes puissances obliques tirent toutes deux de bas en haut , ou l'une de bas en haut plus fort que

l'autre de haut en bas : & comme cette somine ou difference de forces verticales est ( Déf. 14. ) directe ment opposée à la pesanteur du poids K, l'égalité de cette pesanteur du poids K avec cette somme de forces ver: ticales des puissances P, R, dans le premier cas, ou avec la difference de ces mêmes forces verticales dans le feu cond, doit mettre ( Ax. 3. ) ce poids K en équilibre avec ces deux puissances P, R ; & reciproquement s'il'y a équilibre entre lui & elle, l'une ou l'autre de ces deux égalitez doit ( Ax. 4.) s'y trouver. Tel est l'usage qu'on viene de voir des forces verticales fuivant AE, AF, des puissances P, R, dans la démonstration du present Th. 2: &dans ses Corollai es

I I. Pour ce qui est des forces horisontales de ces mêmes puissances P, R, si dans le plan PAR de leurs dire.. ctions leur concours A, on fait SV horisonta'le , c'est-à-dire ( Déf. 14.-) perpendiculaire à la direction XD du poids K, laquelle horisontale soit rencontrée en S,V, par B), CV, paralleles à cette direction XD;-on verra" (ain G que dans la démonstration de la part. 3.du Lem: 3 :).?

ز

: que les forces horisontales suivant AS, AV, des puissances obliques P, R, font directement opposées & égales entr'elles : de sorte que n'ayant rien ni pour ni contre le poids K, ne tendant ni à le faire descendre, ni à le faire monter ; tout leur emploi & tout leur usage est de s'empêcher mutuellement par leur égalité & leur directe contrarieté de le mouvoir à droit ni à gauche , ainsi qu'on vient de voir ( art. 1.) que l'égalité & l'opposition directe de la pesanteur de ce poids avec la somme ou avec la difference des forces verticales de ces mêmes puissances obliques P,R , empêche ce poids de monter ni descendre

. Celt par ce double empêchement d'aller ni à droit ni à gauche, de monter ni descendre, que se fait le

repos

& le parfait équilibre de ce poids K avec ces deux puissances P, R.

DEFINITION XVII.

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Si d'un angle quelconque E d'un triangle rectiligne aussi quelconque BEC, sur le milieu H de son côté opposé BC, on mere dans la Fig. 5.8. une ligne droite EH, laquelle soit divisée de maniere que EX soit double de AH; ce point A s'appelle d'ordinaire le centre de gravité de ce triangle. Et si dans la Fig. 39. la droite FA menée du sommet F d'une pyramide BECF à ce centre de gravité A de la base BEC, est divilée en G, de maniere que FG soit triple de AG; ce point G s'appelle ordinairement aussi le centre de gravité de cette pyramide.

Nous parlerons ici le méme langage , sans cependant nous mettre encore en peine si la proprieté qu'on attribue à ces deux points A, G, d'étre tels (Déf. 14. ) gu'en quelque situation

(

) que le triangle BEC seul, soit appuyé sur le premier A de ces points , e la pyramide BECF jur le second G , ces deux figures y demeureront toûjours en équilibre chaci: ne par la seule pesanteur uniforme dans toutes ses parties , d'autres proprietez de ces points A, G, par rapport à cette Section-ci , nousiengagent à en parler , & confequemment à leur donner des noms, ceisx-en valent bien d'autres.

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Τ Η Ε Ο R Ε Μ Ε ΙΙΙ. I. Si trois puissances P, R, K, appliquées à des cordes sex- F 16.58? lement, sont en équilibre entielles , leurs directions ou cordes

. PB, RC,KE , prolongées, se rencontreront dans le centre de gravité d'un triangle rectiligne , par les trois angles duquel elles pafferont.

II. Ces cordes ou directions prolongées auront leurs parties comprises entre ce centre de gravité & ces angles , en raison de ces mémes puissances.

III. Reciproquement trois puissances P, R, K, étant apo pliquées à trois cordes AP, AR, AK, qui passent par les trois angles B, C, E, d'un triangle rectiligne quelconque BEC, au centre A de gravité duquel soit le næud qui retient ces trois cordes attachées ensemble ; ces trois puissances P, R, K, se foutiendront mutuellement en équilibre en cet état ( de leurs : Gordes ) si elles sont entr'elles comme les distances AB, AC, AE , de ce centre A, aux angles B, C, E, par l'on suppose que leurs directions passent.

DEMONSTRATION. PART. I. Puisque (Hyp.) les trois puissances P, R, K, font ici en équilibre entr'elles suivant des directions differentes, la part. 1. du Th. 1. fait voir que leurs cordes PB , RC, KĖ, seront en même plan, & que prolongées elles s'y rencontreront toutes trois en un même point quelconque A, Cela étant, sur une d'elles , par exemple, für KA prolongée soit prise AD à volonté, sur laquelle, coinme diagonale , soit fait le parallelogramme ABDC, dont les côtez AB, AC, soient sur les deux autres diredions AP , AR. Cela fait , si l'on prend AE=AD sur AK, & qu'on mene les droites BC , BE, CE, dont la premiere BC, rencontre AD en H; l'on aura 2xAHEAD (constr.) =AE. Donc ( Déf. 1.7:') le point. A est le centre de gravité du triangle BEC. Par consequent les dire-Gions ou cordes prolongées PB, RC ,KE, se rencontresont toutes trois dans le centre de gravité A d'un triangle

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1

rectiligne BEC, par les angles B, C, E, duquel elles passe-
ront. Ce qu'il falloit 1o. demontrer.

PART. II. En ce cas d'équilibre entre les trois puissan-
çes P, R, K, la part. 3. dù Th. 1. fait voir qu'elles sont
entr'elles comme les lignes AB, AC, AD. Mais (constr.)
AE=AD. Donc ces trois puissances P, R, K, sont aussi
entr'elles comme les parties AB, AC, AE, de leurs dire-
ctions, comprises entre le point A (part. 1.) centre de
gravité du triangle BEC, & les angles B,C,E, de ce
triangle, par lesquelles ces directions passent: c'est-à-dire,
comme les distances de ce centre de gravité A à ces an-
gles B, C, E. Ce qu'il falloit 2o. démontrer.

PART. III. Sur KA prolongée vers D soit prise. AD=
AE, laquelle rencontre en H le côté BC du triangle sup-
posé BEC. Le point A étant ( Hyp. ) le centre de gravité
de ce triangle, l'on aura ( Déf. 16.) BH=HC, & AH=
AE (constr.) = AD, & consequemment AH=HD.
Donc en menant les droites BD , DC , le quadrilatere
ABDC sera un parallelogramme qui aura sa diagonale
AD à ses côtez AB, AC, comme AE est à ces nêmes cô-
tez. Mais ( Hyp. ) AE est ici à ces côtez AB, AC, comme
la puissance K eft aux puissances P, R. Donc ce paralle-
loğramme ABDC aura pareillement ici fa diagonale AD
à les cộtez AB, AC, en raison de la puissance K aux deux
autres P, R. Donc ( Th. 1. part. 5.) ces trois puissances K,
P, R , seront ici en équilibre entr'elles. Ce qu'il falloit 3
démontrer,

COROLLA IRE.
Çetre part, 3. jointe au Corol. 4. du Th. 1. fait voir en
Géométrie que les distances AB, AC, AE, du centre de
gravité A d’un triangle rectiligne quelconque BEC à ses
angles B, C, E, sont toujours entr'elles comme les finus
des angles EAC, EAB, BAC, que prolongées elles tra-
verseroient: puisque trois puillances P, R, K, en raison
de ces trois distances AB, AC, AE, & appliquées cha-

cune

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